We take into account the liquid-level system of Figure 3-23.
In accordance with the definitions of the previous article (Dinámica de un sistema de nivel de líquidos), we focus on the capacitances C1 and C2, as well as on the resistors R1 and R2. Thus, the dynamics of this system is determined by the following equations:
From here we can obtain the transfer function depending on what variables we define as input and output. For example, suppose the input to the system is q and the output variable is q2,so to find the transfer function of the system we execute the following operations:
So:
That is to say:
In the other hand:
That is:
Also:
Applying Laplace to equations a, b and c, we obtain:
Clearing H1(s) of eand substituting this value in d we obtain:
An due to f the latter is:
The transfer function of the system is:
Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
Tomamos en cuenta el sistema de nivel de líquido de la Figura 3-23.
Atendiendo a las definiciones del artículo anterior (Dinámica de un sistema de nivel de líquidos), nos enfocamos en las capacitancias C1 y C2, así como en las resistencias R1 y R2. Así, la dinámica de este sistema está determinada por las siguientes ecuaciones:
A partir de aquí podemos obtener la función de transferencia dependiendo de a qué variables definimos como entrada y salida. Por ejemplo, supongamos que la entrada al sistema es q y la variable de salida es q2, entonces para hallar la función de transferencia del sistema ejecutamos las siguientes operaciones:
Por tanto:
O sea:
Por otra parte:
Es decir:
Además:
Aplicando Laplace a las ecuaciones a,b y c, obtenemos:
Despejando H1(s) de e y sustituyendo este valor en d obtenemos:
Que debido a f es:
La función de transferencia del sistema es:
2. El siguiente enunciado es un ejercicio resuelto totalmente, disponible por 14.5 euros pagados por Paypal…entrega por el Whatsapp +34633129287
El sistema de nivel de líquido se considera lineal si el flujo es laminar.
Los parámetros de un sistema de nivel de líquido son la resistencia y la capacitancia. Si consideramos un flujo de líquido a través de un tubo corto, la resistencia R para dicho flujo se define como la diferencia de nivel de líquido H de dos tanques necesaria para producir un cambio en la velocidad del flujo Q entre los dos tanques, entonces:
Por su parte, la capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario de la cantidad de líquido en el tanque para producir un cambio en el nivel de líquido H. Ahora bien, ese cambio de cantidad de líquido se puede representar en términos de la velocidad de flujo Q. Para darnos una idea gráfica, considere la Figura 3-22 (a):
(a)
Supongamos que al tanque entra líquido a un flujo constante , llamado también velocidad de flujo de líquido en estado estable porque es la misma a la entrada que a la salida del tanque. Intuitivamente podemos ver que para producir un pequeño cambio de cantidad de líquido dentro del tanque es necesario un cambio de flujo, igual a qi-qo, en un pequeño intervalo de tiempo dt. Entonces, en términos generales, de acuerdo a su definición:
Donde:
Si consideramos qi-qo=q, podemos escribir la ecuación 1 como:
Con respecto a este valor para la resistencia R, en la Figura 3-22(a) h es la diferencia de altura entre dos tanques necesaria para definir la resistencia, considerando que no hay un segundo tanque. Esta última ecuación se puede apoyar además si consideramos que el sistema de nivel de líquidos trabaja alrededor de un punto de operación donde la curva H(Q) tiene pendiente P, como se observa en la Figura 3-22(b):
Figura 3-22(b)
De ahora en adelante se consideran variaciones pequeñas para las variables de importancia, a partir de sus valores en estado estable.
Es interesante notar la analogía que se establece entre esta teoría y la de un circuito eléctrico de corriente i y voltaje v:
Circuito eléctrico
Sistema de nivel de líquidos
Resistencia:
Resistencia:
Capacitancia:
Capacitancia:
Atendiendo a esta analogía, podemos aplicar la teoría de circuitos a la Figura 3-22(a), donde tenemos una fuente de poder y una carga. La fuente de poder está conformada por la válvula de control y el tanque de capacitancia c, mientras la carga está constituida por la válvula de carga de resistencia r. De acuerdo con la definición para resistencia representada en la ecuación 1:
Así, podemos reescribir la ecuación 2 como:
De esta manera, la ecuación que determina la dinámica del sistema de la Figura 3-22(a) es entonces:
Si consideramos qi como la entrada y h como la salida, aplicando Laplace:
La función de transferencia de este sistema es:
Sin embargo, cuando se trata de sistemas colocados en serie, a diferencia de lo que se supone en el caso de un sistema eléctrico, los tanques que conforman el sistema interactúan entre sí. Por ello, la función de transferencia del sistema total no es igual a la multiplicación de las funciones de transferencia de cada sistema por separado.
Sistema de nivel de líquido con interacción
Tomamos en cuenta ahora el sistema de la Figura 3-23.
Atendiendo a las definiciones del apartado anterior, nos enfocamos en las capacitancias C1 y C2, así como en las resistencias R1 y R2. Así, la dinámica de este sistema está determinada por las siguientes ecuaciones:
A partir de aquí podemos obtener la función de transferencia dependiendo de a qué variables definimos como entrada y salida. Por ejemplo, supongamos que la entrada al sistema es q y la variable de salida es q2, entonces para hallar la función de transferencia del sistema ejecutamos las siguientes operaciones:
Por tanto:
O sea:
Por otra parte:
Es decir:
Además:
Aplicando Laplace a las ecuaciones a,b y c, obtenemos:
Despejando H1(s) de e y sustituyendo este valor en d obtenemos:
Que debido a f es:
La función de transferencia del sistema es:
Ejemplo 2
Hallar la función de transferencia Qo(s)/Qe(s) del sistema mostrado en la siguiente figura:
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SIGUIENTE: Ejemplos – Linealización de sistemas no lineales
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Suppose we have a system represented by the following function: Our task is to linearize f (x) around xo = π / 2. As: We find the following values and substitute them in the previous equation: Then we can represent our nonlinear system by means of the following negative line equation:
The result of the linearization of f (x) around xo = π / 2 can be seen in Figure 2.48:
Linearize a differential equation
Suppose now that our system is represented by the following differential equation: The presence of the term cosx makes the previous one a non-linear equation. It is requested to linearize said equation for small excursions around x = π / 4.
To replace the independent variable x with the excursion δx, we take advantage of the fact that: So:We proceed then to the substitution in the differential equation:We now apply the derivation rules:And for the term that involves the cosx function we apply the same methodology that we have just seen in the previous example for a given function, that is, linearize f (x) around xo = π / 4:
Note that in the previous equation the excursion is zero when the function is evaluated exactly at the point xo. The same happens when the slope is evaluated in xo:So:
Therefore, we can rewrite the differential equation in a linear fashion around the point xo =π /4 as follows:
Many components and actuators have non-linear characteristics and the effectiveness of their action requires that they remain at the point of operation where they act approximately linearly, which can be a very limited interval. For example, the music that we all hear must be amplified by a circuit composed of electronic devices that only amplify the signal when they are acting at the point of operation in which the system is designed to act linearly; proof of this is that the output of the system as a whole is proportional to the input, that is, a linear system.
What is linearization? It is to express a non-linear function or differential equation with an approximate linear version, only valid in a very small range of values of the independent variable. Something like expressing a quadratic function by the mathematical formula of a straight line. To what end? Well, to be able to apply to the system represented by this function all the control techniques for linear systems studied up to now. Our objective is to design a strategy to generate a linear equation that represents a non-linear system in a very limited region, a strategy that we configure next.
To obtain a linear mathematical model of a non-linear system it is necessary to suppose that the variable to be controlled only deviates very slightly from an operation point A of coordinates (xo, f (xo)), where xo is the input to the system and f (xo) is the output. At point A we can place a line with a certain slope and assume that for small changes δx around xo we have the output f (xo+δx) moving along this line, as shown in Figure 2-47:
We can use point A as a new center of coordinates where the independent variable δx corresponds to the input to the system, while the dependent variable δf (x) represents the output of the system. We make this convenient change of coordinates to use the equation of the slope ma of the line in the following way:
OrAnd so:
In the same way that:
The latter is a linear mathematical approximation for f (x).
This technique allows us to obtain a linear expression for f (x), around the point of operation A. Now, we are going to combine the obtained expressions for f (x) and δf (x). Another way of thinking it is to think that, around the point of operation A, f (x) has the value of f (xo) plus a small component of value maδx along a straight line of slope ma: Where (x-xo)is so small that it approaches δx. Mission accomplished, we will do this:
What theory allows us to do this? The Taylor series.
Taylor Series
The Taylor series are the expansion of a function f (x) in terms of the value of that function at a particular point xo, around that point and in terms of the derivatives of the function evaluated at that point:
When the excursion around the point xo is small, as the case that interests us, the derivatives of higher order can be ignored, so:
Knowing that the mx slope of a line at point xo is the derivative of the line evaluated in xo, we can adapt this last equation to our strategy and we obtain the formula that interests us: Where mx = df / dx evaluated at x = xo. Note that δx is now the independent variable, for which we use only a valid range of values around xo, so that δx is an excursion. Returning to Figure 2.47, this is the key tactic of the linearization process, we have created a coordinate system centered at point A, to replace the independent variable x with δx. We can continue using the δx notation or any other more practical notation such as: Let’s see how this works through examples.
Linearize a function
Suppose we have a system represented by the following function: Our task is to linearize f (x) around xo = π / 2. As: We find the following values and substitute them in the previous equation: Then we can represent our nonlinear system by means of the following negative line equation:
The result of the linearization of f (x) around xo = π / 2 can be seen in Figure 2.48:
Linearize a differential equation
Suppose now that our system is represented by the following differential equation: The presence of the term cosx makes the previous one a non-linear equation. It is requested to linearize said equation for small excursions around x = π / 4.
To replace the independent variable x with the excursion δx, we take advantage of the fact that: So:We proceed then to the substitution in the differential equation:We now apply the derivation rules:And for the term that involves the cosx function we apply the same methodology that we have just seen in the previous example for a given function, that is, linearize f (x) around xo = π / 4:
Note that in the previous equation the excursion is zero when the function is evaluated exactly at the point xo. The same happens when the slope is evaluated in xo:So:
Therefore, we can rewrite the differential equation in a linear fashion around the point xo =π /4 as follows:
That is to say:
Linearization of a system with two independent variables
The Taylor series enables us to work with functions or differential equations that have two independent variables. In this regard, the Taylor series applies the following formula:
Where the point of operation has the coordinates ¯x1y ¯x2. For small excursions around the equilibrium point, we can obviate the higher order derivatives. The linear mathematical model for this nonlinear system around the point of operation is obtained from:
Example. Linearization of a system with two independent variables.
Linearization of magnetic sphere levitation system.
The magnetic suspension system of a sphere is shown in Figure 1.
The objective of the system is to control the position of the steel sphere by adjusting the current in the electromagnet through the input voltage e(t). The dynamics of the system is represented by the following differential equations: Where:
It is requested to linearize the system around its equilibrium point.
En primer lugar es necesario identificar entre las ecuaciones o funciones que caracterizan el sistema (dinámica del sistema) aquellas que no son lineales. La Tabla 1 señala los casos más comunes:
2. En segundo lugar debemos calcular los valores en el punto de equilibrio
3. Linealizar utilizando la Tabla 2:
Ejemplo 1
Un modelo físico queda caracterizado por las siguientes ecuaciones diferenciales:
Se pide linealizar en torno a x0=1 y p0=2.
Solución:
En este caso:
En el punto de equilibrio:
Sustituyendo el valor de x0=1 y p0=2 obtenemos que:
Al linealizar, aplicando las equivalencias de la tabla 2, obtenemos que:
El sistema linealizado tiene la siguiente representación:
Al sustituir valores obtenemos que el sistema linealizado tiene la siguiente representación:
Ejemplo. Linealizar una función - aproximación teórica
Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función: Nuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:
Es decir, vamos a cambiar f(x)=5cosx, que es la representación de una curva con variable independiente x, por f(x)=f(x0)+mxXˆ, que es la representación de una recta con pendiente mx y una nueva variable independiente xˆ, que se supone intercepta al eje y en f(x0) (recordar cómo se interpreta la ecuación de una recta. Para un repaso completo ver: Linealización de sistemas no lineales) Esta nueva representación sólo es válida si la variable independiente xˆ se aleja muy poco de x0, por eso se le llama excursión.
Hallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:Entonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:
El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:
Linealizar una ecuación diferencial
Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:La presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.
Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:Así:
Alguien podría preguntar que significa lo anterior. Significa que x-xo es una pequeña distancia que indica lo que nos podemos alejar de xo=π/4, que es el punto «alrededor» del cual debemos hacer la linealización. A esa pequeña distancia se le llama excursión δx. Ya que el símbolo δx debe ser utilizado muchas veces, porque se convierte en la nueva variable independiente, preferimos llamarla xˆ. En el procedimiento anterior despejamos a la variable x para sustituir este resultado en la ecuación original para que dicha ecuación nos quede expresada en función de la nueva variable xˆ.
Ok. Procedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:Aplicamos ahora las reglas de derivación:Y para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir, linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:
Entonces de acuerdo con la ecuación (1):
Pero, ya que:Podemos afirmar que:
Por tanto, con estos resultados, podemos reescribir la ecuación diferencial:
de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:
O lo que es lo mismo:
Esta es la nueva representación de nuestra ecuación diferencial original, sólo válida si no nos alejamos mucho de xo=π/2. Note que esta nueva representación es una ecuación diferencial lineal, que es el objetivo del procedimiento.
Ejemplo - Linealización de Sistema de levitación magnética de una esfera.
El sistema de suspensión magnética de una esfera se muestra en la Figura 1.
El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada e(t). La dinámica del sistema está representada por las siguientes ecuaciones diferenciales:Donde:
Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.
Solución
La Figura 1 muestra que la bola metálica está sujeta a dos fuerzas: Fem y G; es decir, la fuerza electromagnética y la gravedad. De la dinámica del sistemas nos enfocamos en la ecuación que relaciona ambas fuerzas mediante la ley de Newton:
Esta ecuación es no lineal y es donde será necesario aplicar del proceso de linealización. Escribiendo esta ecuación de otra forma podemos ver que las fuerzas que actúan sobre la esfera tienen signo contrario, lo que indica que se oponen:
Donde:
Resulta lógico pensar que ambas fuerzas se igualan en el punto de equilibrio, de coordenada xo, cuando la bola levita y permanece inmóvil (Observación: equilibrio no significa reposo, se trata más bien de un equilibrio dinámico, no estático). Como el desplazamiento de la bola en este punto permanece constante, la velocidad y la aceleración de la bola son iguales a cero, así sabemos que:
Por tanto, en el punto de equilibrio:
Donde:
Volviendo a la dinámica del sistema, sólo una de las ecuaciones es no lineal:
Para linealizar esta ecuación diferencial, procedemos como hemos visto en: Linealización de sistemas no lineales.
La excursión alrededor del punto de equilibrio se representa mediante:
De donde:
Escribimos de nuevo la ecuación 1 sustituyendo sus términos por aquellos encontrados para el punto de equilibrio:
Aplicando ley de derivadas, tomando en cuenta que xo es una constante:
Para linealizar la fuerza electromagnética en el punto de equilibrio, aplicamos la siguiente serie de Taylor:
Entonces:
Donde
Sustituyendo estos últimos resultados en la ecuación 3 obtenemos:
Sustituimos ahora este resultado en la ecuación 2:
Y así logramos cumplir con el objetivo de representar el sistema no lineal mediante las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:
Nota: La segunda ecuación (e(t)=…) puede mantener su forma original porque es lineal, sólo se cambió la variable independiente i por aquella que representa la excursión.
Fuente: Modelling and simulation of a magnetic levitation system, Valer Dolga, Lia Dolga, 2007.
Linealización de un sistema con tres o más variables independientes
Un modelo muy simplificado de la dinámica de un cohete, se observa en la Figura 1. Una barra uniforme de masa m y longitud 2L, sometida a la fuerza de la gravedad en G (centro de gravedad de la barra) y a dos fuerzas exteriores aplicadas en su extremo inferior: una vertical V(t) y otra horizontal H(t). Se pide: i) Dibujar el diagrama de variables de entrada y salida. Caracterizar el punto de equilibrio determinado por x(0)=0, y(0)=0, .ii) Obtener el sistema de ecuaciones linealizado alrededor del punto de equilibrio. iii) Dibujar el diagrama de bloques del sistema. iV)Obtener a partir de él las funciones de transferencia:
Para ver la solución de este problema ver: Diagrama de bloques – Catálogo 8
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Muchos componentes y actuadores poseen características no lineales y la eficacia de su acción requiere mucho de que se mantengan en el punto de operación donde actúan aproximadamente de manera lineal, el cuál puede ser un intervalo muy limitado. Por ejemplo, la música que todos escuchamos debe ser amplificada por un circuito compuesto por dispositivos electrónicos que sólo amplifican cuando están actuando en el punto de operación en el que se diseña el sistema para que actúe linealmente; muestra de ello es que la salida del sistema en su totalidad es proporcional a la entrada, es decir, un sistema lineal.
¿En qué consiste linealizar? En expresar una función o ecuación diferencial no lineal con una versión lineal aproximada, sólo válida en un intervalo muy pequeño de valores de la variable independiente. Algo así como expresar una función cuadrática mediante la fórmula matemática de una línea recta. ¿Con qué fin? Pues, poder aplicarle al sistema representado por dicha función o ecuación diferencial, todas las técnicas de control para sistemas lineales estudiadas hasta ahora. Nuestro objetivo es diseñar una estrategia para generar una ecuación lineal que represente a un sistema no lineal en una región muy limitada, estrategia que configuramos a continuación.
Para obtener un modelo matemático lineal de un sistema no lineal es necesario suponer que la variable a controlar sólo se desvía muy ligeramente de un punto de operación A de coordenadas (xo, f(xo)), donde xo es la entrada al sistema y f(xo) es la salida. En el punto A podemos colocar una recta con cierta pendiente (slope) y suponer que para pequeños cambios δx alrededor de xo la salida f(xo+δx) se mueve a lo largo de esta recta, tal como se muestra en la Figura 2-47:
Podemos utilizar el punto A como un nuevo centro de coordenadas donde la variable independiente δx se corresponde con la entrada al sistema, mientras que la variable dependiente δf(x) representa la salida del sistema. Hacemos este conveniente cambio de coordenadas para utilizar la ecuación de la pendiente ma de la recta de la siguiente manera:
ÓY así:
Al igual que:
Esta última es una aproximación matemática lineal para f(x) , una función que a grandes rasgos no es lineal, como se puede constatar en la Figura 2-47.
Esta técnica nos permite entonces obtener una expresión lineal para f(x), alrededor del punto de operación A. Ahora, vamos a combinar las expresiones obtenidas para f(x) y δf(x). Otra forma de razonar es pensar que, alrededor del punto de operación A, f(x) tiene el valor de f(xo) más un pequeño componente de valor maδx a lo largo de una línea recta de pendiente ma:
Donde (x-xo) es tan pequeño que se aproxima a δx. Misión cumplida, haremos que:
¿Qué teoría nos permite hacer esto? Las series de Taylor son como guante a la mano.
Series de Taylor
Las series de Taylor son la expansión de una función f(x) en términos del valor de esa función en un punto xo en particular, alrededor de ese punto y en términos de las derivadas de la función evaluadas en ese punto:
Cuando la excursión alrededor del punto xo es pequeña, como el caso que nos interesa, las derivadas de orden mayor se pueden ignorar, por lo que:
Sabiendo que la pendiente mx de una recta en el punto xo es la derivada de la recta evaluada en xo, podemos adaptar esta última ecuación a nuestra estrategia y obtenemos la fórmula que nos interesa:Donde mx=df/dx evaluado en x=xo. Note que δx es ahora la variable independiente, para la cual utilizamos sólo un rango válido de valores alrededor de xo, por lo que a δx le llamamos excursión. Volviendo a la Figura 2.47, ésta es la táctica clave del proceso de linealización, hemos creado un sistema de coordenadas centrado en el punto A, para sustituir la variable independiente x por δx. Podemos seguir utilizando la notación δx o cualquier otra más práctica como:Veamos cómo funciona esto mediante ejemplos.
Linealizar una función
Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función: Nuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:Hallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:Entonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:
El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:
Linealizar una ecuación diferencial
Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:La presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.
Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:Así:Procedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:Aplicamos ahora las reglas de derivación:Y para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir, linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:
Observar que en la anterior ecuación la excursión vale cero cuando la función se evalúa exactamente en el punto xo. Lo mismo pasa cuando se evalúa la pendiente en xo:Así:
Por tanto, podemos reescribir la ecuación diferencial de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:
O lo que es lo mismo:
Linealización de un sistema con dos variables independientes
Las series de Taylor nos habilitan para trabajar con funciones o ecuaciones diferenciales que tienen dos variables independientes. Al respecto, la serie de Taylor aplica la siguiente fórmula:
Donde el punto de operación tiene las coordenadas ¯x1y ¯x2. Para excursiones pequeñas alrededor del punto de equilibrio, podemos obviar las derivadas de mayor orden. El modelo matemático lineal para este sistema no lineal alrededor del punto de operación se obtiene mediante:
Donde:
Ejemplo. Linealización de un sistema con dos variables independientes.
Linealización de Sistema de levitación magnética de una esfera.
El sistema de suspensión magnética de una esfera se muestra en la Figura 1.
El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada e(t). La dinámica del sistema está representada por las siguientes ecuaciones diferenciales:
Donde:
Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.
Para ver la solución de este problema ver: Ejemplo 1
Ejemplo: Linealización de un sistema con tres o más variables independientes
Un modelo muy simplificado de la dinámica de un cohete, se observa en la Figura 1. Una barra uniforme de masa m y longitud 2L, sometida a la fuerza de la gravedad en G (centro de gravedad de la barra) y a dos fuerzas exteriores aplicadas en su extremo inferior: una vertical V(t) y otra horizontal H(t). Se pide: i) Dibujar el diagrama de variables de entrada y salida. Caracterizar el punto de equilibrio determinado por x(0)=0, y(0)=0, .ii) Obtener el sistema de ecuaciones linealizado alrededor del punto de equilibrio. iii) Dibujar el diagrama de bloques del sistema. iV)Obtener a partir de él las funciones de transferencia:
So:
That is to say:
In the other hand:
That is:
Por tanto:
O sea:
Por otra parte:
Es decir:
(a)
2. El siguiente enunciado es un ejercicio resuelto totalmente, disponible por 14.5 euros pagados por Paypal…entrega por el Whatsapp +34633129287
Our task is to linearize f (x) around xo = π / 2. As:
We find the following values and substitute them in the previous equation:
Then we can represent our nonlinear system by means of the following negative line equation:
The presence of the term cosx makes the previous one a non-linear equation. It is requested to linearize said equation for small excursions around x = π / 4.
So:
We proceed then to the substitution in the differential equation:
We now apply the derivation rules:
And for the term that involves the cosx function we apply the same methodology that we have just seen in the previous example for a given function, that is, linearize f (x) around xo = π / 4:
So:
And so:
Where (x-xo) is so small that it approaches δx. Mission accomplished, we will do this:
Where mx = df / dx evaluated at x = xo. Note that δx is now the independent variable, for which we use only a valid range of values around xo, so that δx is an excursion. Returning to Figure 2.47, this is the key tactic of the linearization process, we have created a coordinate system centered at point A, to replace the independent variable x with δx. We can continue using the δx notation or any other more practical notation such as:
Let’s see how this works through examples.
Where:
2. En segundo lugar debemos calcular los valores en el punto de equilibrio
3. Linealizar utilizando la Tabla 2:
Se pide linealizar en torno a x0=1 y p0=2.
Solución:
En este caso:
En el punto de equilibrio:
Sustituyendo el valor de x0=1 y p0=2 obtenemos que:
Al linealizar, aplicando las equivalencias de la tabla 2, obtenemos que:
El sistema linealizado tiene la siguiente representación:
Al sustituir valores obtenemos que el sistema linealizado tiene la siguiente representación:
Entonces de acuerdo con la ecuación (1):
Pero, ya que:
Podemos afirmar que:
Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.
Donde:
Para ver la solución de este problema ver: 
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