Categoría: Lugar geométrico de las raíces

Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de Controlador PD utilizando sisotool de Matlab

carakenio73

Para determinar los valores de las constantes Kp y Td de un controlador PD, utilizaremos Matlab. Considere un Sistema con una planta inestable con función de transferencia Gp(s):

null
Función de transferencia de la Planta

Usando el enfoque del LGR diseñar un control proporcional-derivativo (determinar los valores de Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema en lazo cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada ωn sea 0.5 rad/seg.

Respuesta:

  1. Para describir cualitativamente el comportamiento de la planta, la incorporamos a un sistema de control elemental (realimentación unitaria) como el que se muestra en el siguiente diagrama de bloques, Figura 1:
null
Figura 1. Se incorpora la planta a un sistema de control con realimentación unitaria

Luego, observamos el Lugar Geométrico de sus Raíces (LGR) mediante el siguiente comando en Matlab (para un repaso de LGR ver:):

>> G=tf([1],[10000 0 -11772])

>> rlocus(G)

>> grid

null
Figura 2. Lugar Geométrico de las raíces de la planta antes de incorporar el controlador PD

Podemos ver en la Figura 2 que para ganancias cercanas a 1, el sistema tiene raíces ubicadas en el lado derecho del plano s, por lo tanto se trata de un sistema inestable (para un repaso de estabilidad ver:Estabilidad). Podemos además solicitar a Matlab las raíces de nuestra planta para la ganancia exactamente igual a 1 mediante:

>> pole(G)

ans =    1.0850     -1.0850

Para alcanzar las especificaciones solicitadas (factor de amortiguamiento ζ=0.7 y frecuencia natural no amortiguada ωn =0.5 rad/seg.), introducimos en la función de transferencia directa un controlador PD, Figura 3:

null
Figura 3. Se incorpora el controlador PD al sistema de control.

La justificación de aplicar un controlador PD es que las especificaciones involucran a la respuesta transitoria, etapa en la cual la aplicación del controlador PD es ideal, según se concluye en la teoría. Analíticamente ya se demostró en Controlador PD que los valores de las constantes son Kp =14272 y Td =0.49 s. En esta oportunidad vamos a determinar estos valores utilizando el Matlab Control System Toolbox, en especial el comando sisotool:

>> sisotool(G)

Esta herramienta ofrece una interface gráfica que facilita el diseño del controlador de acuerdo con los requerimientos solicitados (Graphical Tuning, Root Locus Design). En la Figura 4 podemos observar las dos pantallas iniciales:

Figura 4

Hacemos click derecho sobre el LGR, seleccionamos las pestañas según la Figura 5:

Figura 5

Al asignar el valor del parámetro ζ, obtenemos la siguiente gráfica:

Figura 6

Aplicamos el mismo procedimiento para asignar el valor de ωn:

Figura 7

Al asignar los valores solicitados en las ventanas para cada parámetro, obtenemos la siguiente gráfica:

Figura 8

En la Figura 8 el punto donde se interceptan las curvas negras señalan el lugar geométrico donde se cumplen ambas especificaciones.

Como ya sabemos, agregar un controlador PD es agregar un cero y una ganancia (ver Controlador PD). Ello lo podemos hacer utilizando el menú del LGR:

Figura 9

Procedemos agregar un cero al eje real del plano s:

Figura 10. Agregamos un cero al eje real del plano s.

Ahora arrastramos el cero a lo largo del eje real, utilizando click derecho, hasta que el LGR (líneas azules) coincida con el punto de intercepción de las líneas negras:

Figura 11. Arrastramos el cero a la izquierda del eje s hasta que el LGR coincida con la intercepción de las curvas negras.

Ahora, arrastramos los polos hasta el punto de intercepción de las curvas negras y el LGR:

Figura 12. Los polos coinciden con la intercepción de las curvas.

En el borde inferior izquierdo, mientras ubicamos los polos en el lugar correcto del LGR, podemos ver como evolucionan los valores de los parámetros damping y frecuencia natural;

Figura 13. Movemos los polos hasta que se cumplan los requerimientos.

Seleccionamos la pestaña “compensator editor” para ver los cambios en el controlador:

Figura 14. Valores de las constantes del compensador

Vemos que los valores del compensador se asemejan a los obtenidos de manera analítica:

Valores de las constantes del controlador PD

En la misma ventana del “compensator editor” seleccionamos la pestaña “Analysis Plots”:

Figura 15. Solicitud de gráfica de respuesta del sistema a la entrada escalón unitario.

De manera automática obtenemos la gráfica de respuesta del sistema a la entrada escalón unitario:

Figura 16

A la gráfica de la Figura 16 se le puede pedir otros valores de importancia en la respuesta transitoria del sistema, como por ejemplo el sobreimpulso:

Figura 17. Sobreimpulso de la respuesta del sistema al escalón unitario.
Otro Ejemplo

Utilice MATLAB y su «Control System Toobox«, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:

  1. Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
  2. Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
  3. En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
  4. En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
  5. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  6. Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
  7. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  8. Elija Settling time y click OK.
  9. Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
  10. Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
  11. Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
  12. Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
  13. Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
  14. Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
  15. Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.

Entradas Relacionadas:

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. 4 PD, PI, PID

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Se hacen trabajos, se resuelven ejercicios!!

WhatsApp:  +34633129287  Atención Inmediata!!

Twitter: @dademuch

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, España. telf – +34633129287

WhatsApp: +34633129287

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Efecto de añadir un zero – Ejemplo – Diseño de Sistema de control

carakenio73

Efectos de la adición de zeros: la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el LGR hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y además se acelera el asentamiento de la respuesta. El efecto de tal control es introducir un grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria.

Para ilustrar este efecto, veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Supongamos que estamos en presencia de un sistema con una planta inestable. Un ejemplo de semejante situación es la siguiente:

null

Donde G(s) es la función de transferencia de la planta y H(s)  es la función de transferencia del sensor utilizado para ensamblar el sistema a lazo cerrado, como se muestra en la Figura 1:

null

Figura 1

Sabemos por Álgebra de Bloques y la teoría sobre la Función de Transferencia, que la función de transferencia a lazo abierto de este sistema Gd(s) es:

null

Sabemos también que el LGR (Lugar Geométrico de las Raíces) se traza con la función de transferencia a lazo abierto Gd(s) de este sistema, para lo cual podemos hacer uso del siguiente comando en Matlab:

null

null

Gráfica 1

Análisis: En la gráfica 1 podemos ver que el sistema es inestable para todos los valores positivos de la ganancia K. Es decir, si nos desplazamos por las curvas azul y verde, variando el valor de K, como en la gráfica 2, donde K1=0.143; K2=3.66 y K1=30.5, respectivamente, vemos que los polos del sistema están ubicados en el lado derecho del plano s, y se trata por tanto de un sistema inestable:

null

Gráfica 2

Apliquemos el principio de la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto a este caso. Vamos a añadir un zero en s= -0.5 (Figura 2), por lo tanto la Gd(s) del sistema es ahora:

null

null

Figura 2

Veamos el efecto de añadir un zero al sistema mediante:

null

null

Gráfica 3

Análisis: En la gráfica 3 vemos que el LGR del sistema se ha desplazado hacia la izquierda y que el sistema es estable para cualquier valor positivo de la ganancia k, esto es, que todos los polos del sistema a lazo cerrado están ubicados en lado izquierdo del plano s (Gráfica 4), condición indispensable para que le sistema sea estable:

null

Gráfica 4

Fuente:

  1. Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 408-442-443.

Te puede interesar también:

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Se hacen trabajos, se resuelven ejercicios!!

WhatsApp:  +34633129287  Atención Inmediata!!

Twitter: @dademuch

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Valladolid, Quito, Guayaquil, Jaén, Villafranca de Ordizia, España – Telf. +34633129287

Se hacen ejercicios…Atención Inmediata!!

WhatsApp: +34633129287

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Diseño del error en estado estable de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

carakenio73

Analizamos dos vías para mejorar el error en estado estable de un sistema de control con realimentación, utilizando la compensación en cascada. Un objetivo fundamental de este diseño es mejorar el error en estado estable sin modificar significativamente la respuesta transitoria.

Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

Compensación en Cascada - Controlador PI

El error en estado estable de un sistema de control puede ser mejorado directamente, colocando un polo en el origen en el camino de transferencia directa (an open-loop pole at the origin), debido a que esto eleva el número de tipo del sistema. Pero generalmente interesa lograr esta reducción sin modificar la respuesta transitoria de dicho sistema.

Por ejemplo, un sistema de tipo 0, que responde a una entrada escalón unitario con un error finito, al ser elevado a sistema tipo 1, responderá a la misma entrada con un error en estado estable igual a cero.

Sin embargo, si añadimos un polo en el origen para incrementar el valor del tipo de sistema, de cero a uno por ejemplo, la contribución angular de los polos a lazo abierto en un punto hipotético A no será de 180, y así el punto A no estará en el LGR (no intercepta el LGR)  del sistema compensado (es decir, se modificará notablemente la respuesta transitoria del sistema), como se puede observar en las Figuras 3.a y 3.b:

Figura 3.

Para resolver este problema, además de añadir el polo en el origen, también añadimos un zero cercano a ese polo en el origen, como se puede observar el la Figura 4:

Figura 4.

Ahora, la contribución angular de los polos y zeros a lazo abierto del punto hipotético A vuelve a ser 180 debido a que la contribución angular del compensador zero se cancela con la compensación angular del compensador polo. Es decir, el punto A vuelve a estar en el LGR del sistema compensado. De esta manera mejoramos el error en estado estable sin modificar la respuesta transitoria del sistema.

Un compensador con un polo en el origen y un zero cerca de dicho polo en el origen, es conocido como  Compensador Ideal Integral (Ideal Integral Compensator), o Proportional-Plus-Integral, mejor conocido como  Controlador PI, cuya función de transferencia Gc(s)  es de la forma:

El siguiente ejemplo nos permitirá descubrir como trabaja un Controlador PI.

Para el sistema de control de la Figura 5, se requiere reducir el error en estado estacionario a cero, mediante un controlador PI, manteniendo un factor de amortiguamiento ξ=0.173. La función de transferencia de la planta es G(s) y su controlador original está representado por la ganancia k:

Figura 5.

El primer paso es evaluar el sistema antes de la compensación, y luego determinar la ubicación de los polos dominantes de segundo orden para el factor de amortiguamiento requerido por el enunciado de diseño.

El Lugar Geométrico de las Raíces del sistema sin compensar, se muestra en la Figura 6:

>> sgrid(z,0)
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 6.

Utilizando la línea de amortiguamiento con valor de aportada por Matlab, podemos encontrar el punto de intersección entre el LGR del sistema y ξ=0.173, como podemos observar en la Figura 7:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0)

Figura 7.

La intersección de la Figura 7 nos muestra que ajustando la ganancia k=165 del sistema original, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también en la Figura 5 que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación son:

Ahora buscamos el tercer polo del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño. Al desplazarnos por el LGR en la Figura 8 hasta alcanzar la ganancia k=165, podemos observar que el tercer polo s3 del sistema a lazo cerrado, está ubicado en:

Figura 8.

Con la ganancia k=165 procedemos a calcular el error en estado estable e1(∞) para una entrada escalón, antes de la compensación:

Donde kp1 es la constante de posición antes de la compensación y se calcula mediante la siguiente fórmula:

Dónde kG(s) es la función de transferencia directa del sistema con el ajuste de ganancia, antes de la compensación, tal como lo muestra la Figura 5. Por tanto:

Añadimos un compensador PI en cascada al sistema, como se muestra en la Figura 9:

Figura 9.

Aquí, hemos hecho coincidir la constante de ganancia del compensador con la constante de ganancia original, es decir, k=ki. La constante a está determinada por la posición de decidamos otorgar al zero del compensador. Debido a que es ideal colocar este zero muy cerca del polo en el origen, seleccionamos el punto sobre el eje real s=-0.1 para ubicar el zero del compensador, es decir  a=0.1. El LGR del sistema así compensado se muestra en la Figura 10:

>> G=(s+0.1)/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 10.

En vista de que queremos mantener inalterada en lo posible la respuesta transitoria, en la Figura 11 trazamos la línea de amortiguamiento en el LGR y buscamos nuevamente el punto de intersección entre ξ=0.173  y las líneas del LGR:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0);

Figura 11.

La Figura 11 nos muestra que ajustando la ganancia k=159 del sistema compensado, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, después de la compensación son:

Para ubicar el tercer polo a lazo cerrado del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño, aprovechamos la misma Figura 11 y ajustamos la ganancia en la rama del tercer polo hasta alcanzar k=159, así obtenemos que:

Estos resultados muestran que aproximadamente se han conservado los valores de los 3 polos antes y después de la compensación PI, lo que indica una respuesta transitoria semejante luego de corregir el error en estado estable de 0.108 a 0, como se demuestra a continuación.

La función de transferencia directa G2(s)  de nuestro sistema después de la compensación es:

Calculamos nuevamente el error en estado estable e2(∞) para una entrada escalón, después de la compensación:

En consecuencia:

La Figura 12 compara la respuesta al escalón unitario del sistema  lazo cerrado antes y después de la compensación PI:

>> G1=165/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_antes=feedback(G1,1);
>> G2=(159*(s+0.1))/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_despues=feedback(G2,1);
>> step(G1,G2)

Figura 12.

La Figura 12 demuestra que mediante la compensación PI hemos logrado mejorar el error en estado estable sin modificar considerablemente la respuesta transitoria del sistema original.

Compensación en Cascada - Lag Compensation

En construcción…

Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Twitter: @dademuch

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca. telf – 0998524011

WhatsApp: +593998524011   +593981478463 

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Diseño de un compensador PD para alcanzar un sobrepaso de 16% – Sistema de control

carakenio73

Dado el sistema de la Figura 1, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y un tiempo de establecimiento que sea 1/3 del sistema sin compensar.

Figura 1.

Primero, vamos a evaluar el desempeño del sistema sin compensar. El Lugar Geométrico de la Raíz del sistema sin compensar se muestra en la Figura 2:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s*(s+4)*(s+6));

Figura 2.

Ya que un sobrepaso de 16% es equivalente a un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.504, buscamos a lo largo de la línea de amortiguamiento aquel punto que coincida con esta condición en la Figura 3:

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figura 3.

De acuerdo con la Figura 3, ajustando la ganancia a k=43.4 obtenemos ξ=0.504, un sobrepaso de 16% , y una frecuencia natural ω=2.39 rad/s. 

Basándonos en una aproximación de segundo orden, podemos utilizar el criterio del 2%, y podemos calcular el tiempo de establecimiento Ts1 antes de la compensación, en función de la frecuencia natural ω  y el factor de amortiguamiento ξ mediante la siguiente fórmula:

Sustituyendo los valores aportados por la simulación de la Figura 3 en la ecuación (1) obtenemos que:

Por otra parte, el valor del producto ω*ξ =1.2045 coincide con la parte real σ de los polos dominantes a lazo cerrado, lo que podemos constatar en la simulación de la Figura 3 ó mediante el siguiente comando en Matlab, tomando en cuenta que la función de transferencia directa es ahora G1:

>> G1=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G1,1)

>> damp(sys_antes)

El requerimiento de diseño, además de alcanzar un sobrepaso de 16%, es lograr una reducción del tiempo de establecimiento hasta 1/3 del original. Entonces, el tiempo de establecimiento Ts2 después de la compensación será:

Utilizando nuevamente la ecuación (1) en combinación con el resultado anterior, podemos saber que el valor del producto ω*ξ  después de la compensación debería ser:

Es decir, la parte real de los polos dominantes a lazo cerrado después de la compensación es σ=3.6137. Para hallar la parte imaginaria wd de dichos polos, nos valemos del triángulo formado por ambas partes en el LGR de la Figura 4:

Figura 4.

Es decir, después de la compensación, para lograr las condiciones solicitadas, deseamos como polo dominante de segundo orden, aquel localizado en  p=-3.6137+j6.1940.

Pero no debemos olvidar que se trata de una aproximación a un sistema de segundo orden, por lo que debemos utilizar el punto p como referencia.

La compensación PD consiste en añadir un controlador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:

Controlador que podemos implementar mediante la siguiente configuración:

Figura 5.

El próximo paso entonces es diseñar la localización del zero zc utilizando el punto p como referencia, y luego ver a que valores equivalen las ganancias k1 y k2.

Se deben sumar todos los ángulos aportados al diseño: el de los polos y zeros a lazo abierto antes de la compensación y el del punto de prueba p. El resultado es -275.6. La diferencia entre este resultado y 180 será la contribución requerida para el zero zc. Por lo tanto, la contribución angular requerida para el compensador zc es:

La geometría se muestra en la Figura 6, de donde podemos obtener la parte real zc para el compensador PD requerido mediante la siguiente fórmula:

Figura 6.

De donde:

Analizamos el LGR del sistema compensado en la Figura 7, tomando en cuenta que ahora la función de transferencia directa es G2:

>> G2=(s+3.006)/(s*(s+4)*(s+6));
>> rlocus(G2)

Figura 7.

De acuerdo con la Figura 8, ajustando la ganancia a k=47.4 (arrastrando el ratón con click derecho sobre el LGR) mantenemos ξ=0.504, un sobrepaso de 16% ,  el polo dominante de segundo orden deseado en s=-3.6137+j6.1940, a una frecuencia natural ω=7.17 rad/s.

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figura 8.

Con estos datos, analizamos el valor del tiempo de establecimiento Ts2 después de la compensación:

Lo que muestra que se ha cumplido con el objetivo. Mediante la Figura 9 podemos comparar la respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado antes y después de la compensación:

>> G=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> G3=(47.4*(s+3.006))/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G,1);
>> sys_despues=feedback(G3,1);
>> step(sys_antes,sys_despues)

Figura 9.

La respuesta mostrada en la Figura 9 permite evidenciar una considerable mejora en el tiempo de establecimiento y en general, la compensación permite contar con un sistema más rápido con un sobresalto que no varía mucho. Antes de la compensación, el tiempo de establecimiento a lazo cerrado es de  Ts=3.4712 s. Luego de la compensación, a lazo cerrado obtenemos un Ts=1.1527 s.

Un proceso de diseño alternativo en Matlab

Utilice MATLAB y su «Control System Toobox«, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:

  1. Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
  2. Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
  3. En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
  4. En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
  5. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  6. Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
  7. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  8. Elija Settling time y click OK.
  9. Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
  10. Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
  11. Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
  12. Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
  13. Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
  14. Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
  15. Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.

Te puede interesar:

Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. +34633129287

WhatsApp: +34633129287

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID Control

Design a PD compensator to yield a 16% overshoot – Control system

carakenio73

Given the system of Figure 1, design a PD compensator to yield a 16% overshoot, with a threefold reduction in settling time (one-third of the uncompensated system’s settling time).

Figure 1

Let us first evaluate the performance of the uncompensated system. The root locus for the uncompensated system is shown in Figure 2:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s*(s+4)*(s+6));

Figure 2

Since 16% overshoot is equivalent to ξ=0.504, we search along that damping ratio line in Figure 3:

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figure 3

According to Figure 3, adjusting the gain to k=43.4 we get ξ=0.504 and a natural frequency ω=2.39 rad/s. 

Based upon a second-order approximation, we can use the 2% criteria and calculate the settling-time Ts1 before the compensation, as a function of the naural frequency ω  and the damping ξ, by means of the following equation:

Simulation of Figure 3 generates the necessary values for equation (1), so that:

In the other hand, the value of the factor ω*ξ =1.2045 matches the real part σ  of closed-loop second-order dominant poles, as we can see in Figure 3 or by the following command in Matlab, taking into consideration that the straight-forward transfer function is now G1:

>> G1=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G1,1)

>> damp(sys_antes)

The desig requirements ask for an 16% overshoot and a reduction of the settling-time of 1/3 after compensation. So, the settling-time Ts2 after compensation is:

Using equation (1) we can know the value of the factor ω*ξ  after compensation:

That is to say, the real part of second-order dominant poles after compensation is σ=3.6137. To find the imaginary part wd we use the root-locus of  Figure 4:

Figure 4.

Consequently, after compensation the second-order dominant poles must be located at   p=-3.6137+j6.1940.

Now, to evaluate the whole system we will use point p as a test point.

PD compensation consists of a cascaded controller with a Gc(s) transfer funcion that is:

The configuration of such a controller is:

Figure 5.

Next step is to design the location of Zero zc using the test point p and finding the equivalent values for k1 and k2.

The result is the sum of the angles to the design point of all the poles and zeros of the compensated system except for those of the compensator zero itself. The difference between the result obtained and 180 is the angular contribution required of the compensator zc es:

The geometry is shown in Figura 6, where we can get the real part of zc by means of the following formula:

Figure 6.

From where:

Now, we study the root-locus of Figure 7, where the forward-path transfer function is G2:

>> G2=(s+3.006)/(s*(s+4)*(s+6));
>> rlocus(G2)

Figure 7.

According to Figure 8, adjusting the gain k=47.4 we keep ξ=0.504, an overshoot 16%,  the second-order dominant pole s=-3.6137+j6.1940, at a natural frequency ω=7.17 rad/s.

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figure 8.

With this new data, we evaluate the settling-time Ts2 after compensation:

It shows that we have achieved the design goal. Figure 9 compares the response of the closed-loop system to an step input before and after  PD compensation:

>> G=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> G3=(47.4*(s+3.006))/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_before=feedback(G,1);
>> sys_after=feedback(G3,1);
>> step(sys_before,sys_after)

Figure 9.

The response of Figure 9 shows a considerable improvement in the settling-time and, in general, the compensation allows a faster system with an overshoot that does not vary much. Before compensation,  Ts=3.4712 s. After compensation, Ts=1.1527 s.

An alternative design process in Matlab

Use MATLAB, the Control System Toobox, and the following steps to use SISOTOOL to perform the design of last Example.

  1. Type sisotool in the MATLAB Command Window.
  2. Select Import in the File menu of the SISO Design for SISO Design Task Window.
  3. In the Data field for G, type zpk([],[0,-4,-6],1) and hit ENTER on the keyboard. Click OK.
  4. On the Edit menu choose SISO Tool Preferences . . . and select Zero/pole/gain: under the Options tab. Click OK.
  5. Right-click on the root locus white space and choose Design Requirements/New . . .
  6. Choose Percent overshoot and type in 16. Click OK.
  7. Right-click on the root locus white space and choose Design Requirements/New . . .
  8. Choose Settling time and click OK.
  9. Drag the settling time vertical line to the intersection of the root locus and 16%
    overshoot radial line.
  10. Read the settling time at the bottom of the window.
  11. Drag the settling time vertical line to a settling time that is 1/3 of the value
    found in Step 9.
  12. Click on a red zero icon in the menu bar. Place the zero on the root locus real axis by clicking again on the real axis.
  13. Left-click on the real-axis zero and drag it along the real axis until the root locus intersects the settling time and percent overshoot lines.
  14. Drag a red square along the root locus until it is at the intersection of the root locus,
    settling time line, and the percent overshoot line.
  15. Click the Compensator Editor tab of the Control and Estimation Tools Manager window to see the resulting compensator, including the gain.

Source:

  1. Control Systems Engineering, Nise

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593998524011    /    +593981478463

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

Análisis de sistemas de control, Ingeniería Eléctrica, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de la Respuesta Transitoria de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

carakenio73

Se analizan la Compensación PD y la Compensación Lead, dos formas de mejorar la respuesta transitoria de un Sistema de control con realimentación, mediante el uso del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) y de la compensación en cascada. Por lo general el objetivo consiste en diseñar un respuesta que tenga un porcentaje de sobrepaso deseable y un tiempo de establecimiento más corto que el que tiene el sistema antes de la compensación.

Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

La primera técnica que presentada será la compensación derivativa ideal. Se agrega un diferenciador puro a la trayectoria directa del sistema de control con retroalimentación.

Compensación en Cascada - Controlador PD

Como se señalaba anteriormente, ante la inconveniencia de cambiar la estructura física de la planta, y con el fin de cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control, frecuentemente es necesario agregar polos y zeros a la función de transferencia directa de dicho sistema con el fin de obtener un Lugar Geométrico de las Raíces donde podamos seleccionar una ganancia que permita al sistema cumplir con las exigencias de diseño. Una manera de acelerar el sistema, que generalmente funciona de manera aceptable, es agregar un Zero en el camino de transferencia directa, justo antes de la planta y su controlador original.

Este Zero está representado por un compensador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:


Esta función, la suma de un diferenciador s y una ganancia pura Zc, es llamada compensación derivativa ideal  (ideal derivative compensation), o controlador PD (Proportional-Derivative). En resumen, una respuesta transitoria que no puede ser alcanzada con un simple ajuste de ganancia (controlador proporcional) puede ser obtenida aumentando la cantidad de zeros del sistema mediante un Controlador PD.

Vamos a utilizar el LGR de la Figura 3 para descubrir como trabaja un Controlador PD. En dicha figura tenemos un LGR para un sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) con realimentación unitaria, está dada por:

Si consideramos a K=1, los comandos para trabajar en Matlab serían:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G);

Figura 3. Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) para G(s)

Suponga que queremos operar el sistema de la Figura 3 con un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. La Figura 4 muestra que podemos lograr ese coeficiente de amortiguamiento con un simple ajuste de ganancia, para lo cual podemos utilizar un compensador proporcional que establezca una ganancia K=23.7:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado:

Figura 4. Localización en el LGR de ξ=0.4 a una ganancia K=23.7 

La Figura 5 nos muestra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado utilizando un controlador proporcional con una ganancia Kp=23.7, con lo que alcanzamos un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4 en el LGR del sistema. Se muestra además el valor de los parámetros más importantes de una respuesta transitoria:

>> G1=23.7/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys1=feedback(G1,1);
>> step(sys1);
>> stepinfo(sys1)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación.

Suponga ahora que queremos mantener el factor de amortiguamiento en el valor ξ=0.4, pero debemos mejorar el tiempo de alzamiento (rise time) y el tiempo de establecimiento (settling time). Es decir, queremos que el sistema sea más rápido. Esa tarea sería imposible utilizando sólo un controlador proporcional porque estamos limitados por el LGR del sistema según consta en las Figuras 3 y 4.

El sistema sin compensar, de la Figura 3, podría transformarse en un sistema compensado mediante la suma de un zero en s= -2. En la Figura 6 vemos como se transforma el LGR, utilizando un compensador en cascada (cascade compensator) cuya función de transferencia Gc(s) es:

>> G2=((s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G2);

Figura 6. LGR para el sistema compensado.

La Figura 7 nos muestra una vez más que podemos obtener un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. estableciendo una ganancia de K=51.2:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado::

Figura 7. Localización en el LGR de ξ=0.4

La Figura 8 ilustra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado que utiliza el controlador PD de función de transferencia Gc(s), en cascada con un controlador proporcional de ganancia Kp=51.2, con el fin de lograr un ξ=0.4. Se muestra además los parámetros de la respuesta transitoria obtenida:

>> G3=(51.2*(s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys2=feedback(G3,1);
>> step(sys2);
>> stepinfo(sys2)

Figur8 8. Respuesta al escalón unitario del sistema compensado a lazo cerrado. 

Manteniendo un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4, hemos mejorado el Tiempo de Levantamiento  (de 0.6841 s a 0.1955 s) y el Tiempo de Establecimiento  (de 3.7471 s a 1.1218 s). Sin embargo, lo hemos logrado a costa de un mayor Sobrepaso (de 23.3070 a 25.3568) y a costa de un pico más alto (de 0.8672 a 1.1420).

La Figura 9 compara las respuestas antes y después de la compensación PD:

>>step(sys1, sys2)

Figura 9. Respuesta al escalón unitario del sistema antes y después de la compensación.

La Figura 9 muestra también que el valor final del sistema compensado está más cerca del valor de referencia (1), por lo tanto el error en estado estable también ha mejorado después de la compensación PD (de 0.297 a 0.088). Sin embargo, los lectores no deben asumir que, en general, la mejora en la respuesta transitoria siempre produce una mejora en el error de estado estable.

Ahora que hemos visto lo que la compensación PD puede hacer, estamos preparados para diseñar nuestro propio compensador PD para cumplir con especificaciones específicas de diseño para la respuesta transitoria.

1) Dado el sistema de la Figura 10, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y una reducción considerable del tiempo de establecimiento.

Figure 10.

En construcción…

Pero, cómo implementamos una compensación PD?

La compensación PD utilizada hasta ahora para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control, es implementada por un controlador PD (proportional-plus-derivative controller). En la Figura 11 se muestra una manera de implementar la compensación PD. La función de transferencia del controlador PD de la Figura 11 es:

Figure 11. Implementación del controlador PD.

Lead Compensation

Un compensador PD activo puede aproximarse con un compensador pasivo. Cuando se usan redes pasivas, un solo cero no puede ser producido. Más bien, se utiliza un compensador con un cero y un  polo. Sin embargo, si el polo está más lejos del eje imaginario que el cero, la contribución angular del compensador sigue siendo positivo y, por lo tanto, se aproxima a un solo cero equivalente al producido por un PD.

Es decir, la contribución angular del polo compensador se resta de la contribución angular del cero, pero no excluye el uso del compensador para mejorar la respuesta transitoria, ya que la contribución angular neta es positiva, al igual que para una
controlador PD de un solo cero.

Las ventajas de una red pasiva sobre un controlador de PD activo son (1) que no se requieren fuentes de alimentación adicionales y (2) que el ruido debido a la diferenciación es reducido.

Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca, España – Telf. +34633129287

WhatsApp: +34633129287

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com