Un buen ejemplo de un amplificador proporcional es un Amplificador Operacional con realimentación negativa resistiva pura y configuración de inversor tal como se muestra en la Figura 2.7a.
Los Amplificadores Operacionales, con frecuencia llamados Op Amps, son ampliamente utilizados para amplificar señales en circuitos que funcionan como sensores. La Función de Transferencia del Amplificador Operacional se muestra en la Figura 2.7b con el nombre de G2:
Otra configuración de esta clase se muestra en la Tabla 3-1 con su función de transferencia:
Table 3-1
Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
1er. caso: Sistema inestable- Determinar estabilidad y error en estado estable del sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) para una realimentación unitaria, es:
Analizar la estabilidad del sistema implica determinar la función de transferencia a lazo cerrado Gc(s) y luego evaluar según el siguiente criterio:
Los sistemas de lazo cerrado son estables si su función de transferencia tiene sólo polos ubicados a la izquierda del plano complejo.
Por tanto, como primer paso, debemos hallar Gc(s).
1.1 Función de transferencia a lazo cerrado
La realimentación unitaria tiene la siguiente configuración:
Figura 1.
Luego, la función de transferencia a lazo cerrado Gc(s) se determina mediante la siguiente fórmula:
Es decir:
Corroboramos esto mediante el siguiente código en Matlab:
>>numg=1; %representa el numerador de la función de transferencia directa> >>deng=conv([1 0],[2 3 2 3 2]); ]); %representa el denominador de la función de %transferencia directa, factorizado
>>G=tf(numg,deng); % construye la función de transferencia directa> >>Gc=feedback(G,1) % construye la función de transferencia a lazo cerrado con %realimentación unitaria
Gc =
1
—————————————
2 s^5 + 3 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + 2 s + 1
1.2 Hallar los polos de la función de transferencia a lazo cerrado
Ahora que tenemos la función de transferencia a lazo cerrado G(c), podemos determinar sus polos. Si todos sus polos están en el lado izquierdo del plano complejo, entonces el sistema es estable. Podemos utilizar Matlab para hallar dichos polos mediante el siguiente comando que es continuación del anterior:
Si graficamos este resultado vemos que la función de transferencia a lazo cerrado G(c) tiene dos polos en el lado derecho y tres polos en el lado izquierdo del semiplano complejo.
>> pzplot(Gc)
Figura 2. Ubicación de polos de la función de transferencia Gc.
Con respecto a este resultado, aplicamos un nuevo criterio:
Los sistemas de lazo cerrado son inestables si su función de transferencia posee al menos un polo ubicado en el lado derecho del plano complejo o al menos un polo de multiplicidad mayor a 1 en el eje imaginario
Según este criterio, el sistema de la Figura 1 es inestable. Cabe recordar que los polos de las función de transferencia ubicados en el lado derecho del plano complejo producen exponenciales crecientes puras o sinusoides que crecen exponencialmente.
Este hecho lo podemos visualizar al aplicar una entrada escalón unitario al sistema y observar la respuesta, mediante:
>> step(Gc)
Figura 3. Respuesta del sistema a una entrada escalón unitario.
También podemos evaluar la estabilidad del sistema directamente con el siguiente comando en Matlab:
>> isstable(Gc)
ans = 0
Si la respuesta es “1” el sistema es estable. Si la respuesta es “0”, como en este caso, el sistema es inestable.
1.3 Hallar el error en estado estable.
En este caso podemos prever que el error en estado estable será infinito, porque el sistema es inestable. Para mayor información sobre el error en estado estable ver:
2do. caso: Sistema estable – Considere ahora determinar la estabilidad del sistema y el error en estado estacionario para G2(s), función de transferencia del proceso en lazo abierto, para una realimentación unitaria:
Repetimos los pasos 1.1, 1.2 y 1.3 anteriores:
2.1 Función de transferencia a lazo cerrado
Determinamos la función de transferencia y corroboramos mediante Matlab:
Recordamos el criterio de estabilidad presentado anteriormente:
Los sistemas de lazo cerrado son estables si su función de transferencia tiene sólo polos ubicados a la izquierda del plano complejo.
En la Figura 5 podemos observar que los tres polos del sistema están ubicados en el lado izquierdo del plano complejo. Por tanto, el sistema de la Figura 4 es estable. Podemos corroborar esta conclusión observando la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario en la Figura 6 y notar como a medida que pasa el tiempo, la entrada sigue a la salida, es decir, tiende a adoptar el valor de la señal de referencia y el sistema se estabiliza:
>> step(Gc)
Figura 6.
2.3 Hallar el error en estado estable.
Para hallar el error en estado estable e(∞) para una entrada escalón unitario, hallaremos la constante de error de posición Kp y luego aplicaremos la siguiente fórmula:
Por tanto, primero hallamos Kp mediante la siguiente ecuación, y luego sustituimos en la anterior:
Observación: en la ecuación anterior considere G(s)=G2(s). Entonces:
Por tanto:
Podemos concluir que el error en estado estable es cero, tal como puede anticiparse observando la Figura 6. Es decir, la entrada vale «uno», y cuando ha pasado un tiempo considerable, la salida también vale «uno».
3er. caso: Sistema críticamente inestable – Por último consideramos el caso de G3(s), función de transferencia del proceso en lazo abierto, para una realimentación unitaria:
3.1 Función de transferencia a lazo cerrado
Debemos hallar la función de transferencia G(c) del sistema a lazo cerrado, el cual tendría la siguiente configuración para una realimentación unitaria:
Figura 7.
Podemos corroborar este resultado con Matlab mediante el siguiente código:
>> numg=3;
>> deng=conv([1 0],[1 3 1]);
>> G=tf(numg,deng);
>> Gc=feedback(G,1)
Gc =
3
——————-
s^3 + 3 s^2 + s + 3
3.2 Hallar los polos de la función de transferencia a lazo cerrado
Ahora que tenemos la función de transferencia G(c) a lazo cerrado, podemos determinar sus polos:
>> polosGc=pole(Gc)
polosGc =
-3.0000 + 0.0000i
0.0000 + 1.0000i
0.0000 – 1.0000i
Si graficamos este resultado vemos que la función de transferencia G(c) a lazo cerrado tiene dos polos en el eje imaginario y un polo en el lado izquierdo del semiplano complejo.
>> pzplot(Gc)
Figura 8. Polos de la función de transferencia a lazo cerrado.
Con respecto a este resultado, aplicamos el siguiente criterio:
Los sistemas de lazo cerrado son críticamente o marginalmente inestables si su función de transferencia posee sólo polos de multiplicidad igual a uno en el eje imaginario y polos en el lado izquierdo del plano complejo.
Podemos concluir entonces que el sistema es críticamente inestable. Algunos autores prefieren decir críticamente estable, que es decir lo mismo. Para observar esta respuesta aplicamos una entrada escalón unitario al sistema:
>> step(Gc)
Figura 9. Respuesta al escalón unitario de un sistema críticamente estable.
2.3 Hallar el error en estado estable.
El sistema no converge a un resultado final. Al contrario, oscila alrededor del valor de referencia de manera indefinida.
Fuente: Control Systems Engineering, Nise
Revisión literaria hecha por:
Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.
Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 1 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:
Figura 1. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).
Respuesta:
Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:
La impedancia Z es:
Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:
Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:
De esta manera:
Que en su forma rectangular I es:
Para hallar eo(t) por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:
Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:
Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:
Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.
Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:
Así, tenemos que:
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):
>> t=0:0.01:10;
>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);
>> plot(t,x)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’
Ambas señales:
>> t=0:0.01:10;
>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);
>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);
>> plot(t,x,t,y)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)
Figura 5. Simulación en Matlab de i(t) y eo(t). Para repasar la teoría en esta materia recomiendo ver:
La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial V y la corriente fasorial I, medida en ohms (Ω). Es decir:
La admitancia Y es el inverso de la impedancia, medida en siemens (S):
A veces resulta más conveniente trabajar con la admitancia en vez de trabajar con la impedancia.
La impedancia representa la oposición que ejerce un circuito eléctrico al paso de la corriente senoidal. La admitancia por su parte, representa lo contrario, la falta de oposición al paso de la corriente senoidal.
Figura 1. Impedancia t admitancia para los elementos pasivos de un circuito eléctrico.
Si bien, tanto la impedancia como la admitancia se pueden expresar como cantidades complejas en forma rectangular o polar, es necesario resaltar que la impedancia no es un fasor, porque no varía senoidalmente.
En la Figura (1) resaltan dos casos extremos, cuando ω=0 y cuando ω=∞:
Es decir, cuando ω=0(circuito CD), un inductor es lo mismo que un circuito cerrado, por lo tanto se puede reemplazar por un cable que conduce corriente libremente, mientras que un capacitor representa un circuito abierto que se puede reemplazar por un cable interrumpido (cortado), por el que no puede pasar la corriente. Mientras que, cuando ω=∞(circuito de alta frecuencia), sucede totalmente lo contrario. Estas posibilidades se muestran en la siguiente Figura (2):
Figura 2. Circuitos equivalentes de CD y alta frecuencia para a) el inductor; b) el capacitor.
La impedancia y la admitancia como cantidades complejas
En sus formas rectangular y polar, la impedancia Z se puede expresar como sigue:
Dónde:
Por su parte, la admitancia Y se puede expresar como sigue:
Dónde:
Algebraicamente se podría comprobar que:
Dónde:
Aplicación – ejemplo
Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.
Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 3 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:
Figura 3. Ejercicio de aplicación.
Respuesta:
Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:
La impedancia Z es:
Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:
Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:
De esta manera:
Que en su forma rectangular I es:
Para hallar eo(t) por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:
Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:
Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:
Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.
Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:
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Así, tenemos que:
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):
>> t=-5:0.01:5;
>> eo=4.48*cos(4*t-1.10706);
>> plot(t,x)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’
Ambas señales:
>> t=-5:0.01:5;
>> eo=4.48*cos(4*t-1.10706);
>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);
>> plot(t,x,t,y)
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>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
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La resistencia, el inductor y el capacitor en circuitos de corriente alterna, requieren de un método de estudio particular. El siguiente método permite transformar la relación tensión-corriente del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia (dominio fasorial), de los elementos pasivos de una red: resistencia, inductor y capacitor.
Resistor o resistencia
Supongamos que la corriente ir(t) que pasa a través de un resistor r, tiene la siguiente expresión matemática:
De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del resistor está dada por:
La ecuación (1) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:
La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (1) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:
Figura 1. Relación de voltaje-corriente del resistor; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.
La ecuación (2) indica que el voltaje y la corriente en un resistor tienen la misma fase, es decir, están en fase, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (2):
Figura 2. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el resistor r.
Inductor o inductancia
Supongamos que la corriente il(t) que pasa a través de un inductor L, tiene la siguiente expresión matemática y expresión fasorial exponencial:
De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del inductor está dada por:
Debido a que:
La ecuación (3) se transforma en:
La ecuación (4) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:
Debido a que:
Podemos reescribir la ecuación (5):
La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (3) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:
Figura 3. Relación de voltaje-corriente del Inductor L; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.
La ecuación (5) indica que el voltaje se adelanta 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corrientese atrasa con respecto a el voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (4):
Figura 4. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductorl. La corriente se atrasa 90° respecto al voltaje.
Capacitor o capacitancia
Supongamos que la corriente vc(t) que pasa a través de un capacitor c, tiene la siguiente expresión matemáticany expresión fasorial exponencial:
De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del capacitor está dada por:
La ecuación (6) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:
Podemos reescribir la ecuación (7):
Es decir:
La relación entre el voltaje y la corriente en un capacitor se puede apreciar en la Figura (5) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:
Figura 5. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el capacitor C. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.
La ecuación (6) indica que el voltaje se atrasa 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corrientese adelanta con respecto al voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (6):
Figura 6. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductorC. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.
En resumen:
Figura 7. Resumen de relación de voltaje-corriente de los elementos pasivos de un circuito eléctrico: resistencia, inductor y capacitor.
Un fasor es un número complejo que representa la magnitud y la fase de una senoide. Los fasores tienen la forma siguiente:El método más corto para sumar voltajes y corrientes alternos, es el que utiliza el vector radial en rotación. A este vector radial se le llama fasor en ingeniería eléctrica, y tiene magnitud constante con un extremo fijo en el origen.
Los circuitos de voltaje y corriente alterna son excitados por fuentes senoidales. Una senoide es una señal que tiene la forma de la función seno o coseno. La senoide representa la forma más frecuente en la naturaleza, de allí su importancia.
Voltaje
Una tensión senoidal tiene la forma siguiente en el dominio temporal:
Donde Vm es la amplitud máxima de V(t) medida en voltios, ω es la frecuencia angular medida en radianes por segundo, t es el tiempo medido en segundos, y Ø es el ángulo de fase de la tensión senoidal medido en grados con respecto a la tensión o corriente de referencia, tal como se muestra en la Figura (1):
Figura 1
Para ver un fasor en operación, supongamos que queremos sumar dos voltajes que varían en el tiempo, V1(t) y V2(t), los cuáles están representados matemáticamente por las siguientes expresiones:
Podemos apreciar que ambas señales son sinusoidales. Que V1(t) tiene una amplitud máxima de 2 V, mientras que V2(t) tiene una amplitud máxima de 1 V. Además, entre ambas señales hay un desfase de 90 grados. La trigonometría nos permite saber que la suma de ambos voltajes da como resultado:
La ventaja que ofrece el uso de fasores es que la operación anterior la podemos realizar como suma de vectores, como se muestra a continuación.
Para poder graficar estas señales debemos tomar una “fotografía instantánea” en algún momento específico. Supongamos que ese momento es el tiempo t=0 s. En ese instante, ambas señales cruzan el eje vertical. Las magnitudes de ambas señales son V1(0) =2 V, mientras que V2(0)=0 V. La curva de cada uno de los voltajes, así como la curva de su suma, pueden ser representadas mediante tres fasores detenidos en el instante t=0 segundos, en un diagrama denominado diagrama fasorial, como se muestra a la izquierda en la Figura 2:
Figura 2. A la izquierda se observa el diagrama fasorial de la operación en un instante t=0 s. A la derecha se observa la forma de curva de cada señal, y su suma, en función de ωt.
Es necesario recalcar que en una simulación en tiempo real, los fasores rotan. Para que la suma, la resta, la multiplicación o división de dos fasores tenga sentido, ambos deben rotar a la misma frecuencia. Es decir, todas las señales implicadas en la operación fasorial deben tener la misma frecuencia.
Algebra de números complejos (fasores)
El marco teórico del álgebra de fasores es el álgebra de los números complejos. En la Figura (2) los fasores tienen la forma siguiente, conocida como forma exponencial:Donde la letra A en negrita indica que se trata de un vector (un fasor), mientras que A sin negritas, representa la magnitud del vector, y Ø es el ángulo que forma el vector con el eje de la abscisa, tal como se muestra en la Figura (3):
Figura 3
En ingeniería eléctrica se acostumbra utilizar la siguiente notación fasorial, conocida como forma polar:
En el caso del voltaje (o la corriente), la transformación fasorial se manifiesta de la siguiente manera:
Utilizando la forma polar y regresando a nuestro ejemplo, los voltajes V1(t) y V2(t), y su suma Vl(t), se representan de la siguiente manera en el dominio fasorial:
Notar que hemos retirado la t del subíndice de la variable Vl ya que hemos pasado del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Será más evidente esto cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito.
La forma polar es ideal para realizar multiplicación y división, pero no lo es para suma y resta. Otra manera de representar el fasor es mediante la forma rectangular:
Dónde a=Acos(Ø) se conoce como la parte real, mientras que b=Asen(Ø) se conoce como la parte imaginaria, como se muestra en la Figura (4):
Figura 4
Al transformar de su forma polar a su forma rectangular los voltajes V1(t) y V2(t), obtenemos los siguiente:
Ahora la suma de V1(t) y V2(t) se ejecuta fácilmente, según la regla que indica sumar las partes reales e imaginarias por separado:
Para obtener la forma polar de Vl(t), a partir de su forma rectangular, consideramos la siguiente regla:
Por tanto:
Corrientes
Como segundo ejemplo se calculará el valor para i(t) de la red de la Figura (5):
Figura 5
Sabiendo que:
Respuesta:
Cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, veremos que la corriente que atraviesa una impedancia inductiva se atrasa con respecto al voltaje en los extremos de la impedancia. En el caso de una impedancia capacitiva, la corriente se adelanta al voltaje sobre la impedancia. Y en el caso de una impedancia puramente resistiva, la corriente y el voltaje están en fase. Esto explica los signos de los ángulos de fase de las corrientes en nuestro ejercicio considerando que el voltaje v(t) es el voltaje de referencia. En notación polar:
Para ejecutar la suma, transformamos la forma polar a la forma rectangular:
Luego:
En conclusión, en coordenadas rectangulares:
Y en coordenadas polares:
Para poner en práctica el conocimiento te recomiendo ver:
El desarrollo de edificaciones de alto desempeño (HPBs – High Performance Buildings), desde Data Centers y Centros de Manufactura, hasta altos edificios y hospitales, requiere de un suministro de energía eléctrica eficiente, flexible e inteligente. El arreglo de conductores rectangulares o pletinas conocido como “Fases Pareadas”, en el sistema denominado Electrobarra, ha reportado excelentes resultados en la distribución de corriente alterna trifásica hasta un máximo de 600 voltios.
Las barras rectangulares son preferibles a los conductores cilíndricos en la conducción de corriente trifásica, debido a que se acercan más los centros de cada conductor; se minimiza la reactancia debido al efecto de proximidad, lo que minimiza las pérdidas de potencia. El arreglo más elemental de estas pletinas, para que conduzcan corrientes desfasadas 120 grados, se observa en la Figura 1:
Figura 1. Arreglo básico de electrobarras para un sistema trifásico balanceado.
Sin embargo dicho arreglo produce ciertos inconvenientes. En primer lugar se establece una condición de desbalance en la caída de tensión debido a que la pletina B es la más afectada y beneficiada por el efecto de proximidad (tiene menos pérdidas de potencia). El segundo efecto indeseado es que no hay cancelación del campo magnético, lo que produce el efecto pelicular: se concentra o se restringe la corriente en una zona del conductor, no hay uniformidad en el uso del material conductor, lo que puede generar un aumento perjudicial de la temperatura en la región donde se presenta dicha concentración de corriente.
Para minimizar el campo magnético y el efecto de proximidad, en el arreglo de fases pareadas se utilizan dos barras por cada fase. En la Figura 2 se puede observar esta configuración. La fase C se empareja con la fase A. La fase A se empareja con la fase B, y la fase B se empareja con la fase C:
Figura 2. Dos barras por cada fase en el arreglo de fases pareadas.
Las electrobarras se agrupan en pares, de modo que la corriente en cada par es casi igual en magnitud, pero opuesta en dirección, circunstancia que disminuye al mínimo la reactancia y, en consecuencia, las pérdidas de potencia. Las Figuras 3 y 4 ofrecen una idea de cómo se logra esto cuando se trata de un sistema trifásico balanceado, expresando matemáticamente cada fasor como la suma de dos vectores, o dividiendo físicamente cada corriente en dos subcorrientes de igual magnitud, para parear dichas subcorrientes con aquellas de otras fases, de acuerdo a lo comentado en la Figura 2:
Figura 3. Cada fasor de corriente es representado como la suma de dos vectores.
Figura 4. Cada corriente es dividida en dos. Luego, se reagrupan para establecer el sistema de fases pareadas.
Uno de los resultados fundamentales de implementar el sistema de fases pareadas es que se obtiene la mínima impedancia posible, lo que permite la máxima eficiencia en la transmisión de potencia. Otras grandes ventajas de esta configuración son: Caída de tensión baja y balanceada, aún en condición de carga desbalanceada; máximo aprovechamiento del material conductor, debido a que la corriente en cada barra es uniforme y la temperatura en cada barra es igual.
En las próximas secciones se detalla con mayor precisión cada uno de los efectos beneficiosos del sistema de fases pareadas de las electrobarras.
Pérdidas ocasionadas por el efecto pelicular y el efecto de proximidad en un sistema de electrobarras
Cálculo de Impedancias en un sistema trifásico de electrobarras.
Cálculo de eficiencia de potencia transmitida en un sistema de electrobarras de fases pareadas.
En construcción…
Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch
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Determinar la representación en variables de estado, el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de la siguiente figura:
Dinámica del sistema – Ecuaciones
2. Variables de estado
Definición:
De la definición obtenemos que:
Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:
Despejamos :Utilizando la definición de variables de estado:Igualmente despejamos :
Utilizando la definición de variables de estado:
Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t), utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:
3. Función de Transferencia
La representación matricial del sistema tiene la forma:Dónde:
De la teoría de sistemas de control se extrae que:
En este caso:
Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace.
Buscando ayuda en Matlab:
>> s=sym(‘s’);
…..
>> k3=sym(‘k3’) // declarar todas las variables
>> sIA= [s -1 0 0;(k1+k2)/m1 s+(fv1+fv3)/m1 -k2/m1 -fv3/m1;0 0 s -1;-k2/m2 -fv3/m2 (k2+k3)/m2 s+(fv2+fv3)/m2]
>> C=[0 0 1 0]
>> B= [0;1/m1;0;0]
>> V=(sI-A)^-1
>> G=C*V*B
G = (k2 + fv3*s)/(k1*k2 + k1*k3 + k2*k3 + fv1*m2*s^3 + fv2*m1*s^3 + fv3*m1*s^3 + fv3*m2*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + k3*m1*s^2 + m1*m2*s^4 + fv1*k2*s + fv2*k1*s + fv1*k3*s + fv2*k2*s + fv3*k1*s + fv3*k3*s + fv1*fv2*s^2 + fv1*fv3*s^2 + fv2*fv3*s^2)
Dónde:Definimos el determinante como:
Por lo tanto:
Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: Representación de un sistema en variables de estado
Para elaborar el diagrama de bloques del mismo sistema, ver: Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de representación en variables de estado
Fuente: Control Systems Engineering, Nise
Revisión literaria hecha por:
Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Determinar la representación en variables de estado, el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de la siguiente figura:
Nota: Este ejercicio demuestra la ventaja de contar con la representación del sistema en variables de estado para la confección del diagrama de bloques del sistema.
Dinámica del sistema – Ecuaciones
2. Variables de estado
Definición:
De la definición obtenemos que:
Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:
Despejamos :
Utilizando la definición de variables de estado:Igualmente despejamos :
Utilizando la definición de variables de estado:
Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t), utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:
3. Diagrama de bloques
Las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), nos permiten además obtener fácilmente el diagrama de bloques del sistema si consideramos el hecho de que cada variable de estado es un nodo, y cada nodo se consigue mediante la suma, resta y multiplicación de variables, tal como lo muestran las mencionadas ecuaciones.
Podemos iniciar nuestro diagrama de bloques colocando la salida X2(s) al final y la entrada F(s) al principio del diagrama, y colocando bloques integradores que conducen directamente a las variables de estado definidas. Recordar que la transformada de Laplace de dX2(s)(t)/dt es:
El diagrama de bloques para representar esta operación es:En cuanto a las variables de estado definidas en este ejercicio, el diagrama de bloques anterior es equivalente a:Luego, deducimos que:
Así se procede como sigue. Si consideramos la ecuación (4):
Podemos expresar la ecuación (4) utilizando las reglas de construcción de diagrama de bloques como sigue:
Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.
Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.
INDICE
Capítulo 1———————————————————- 1
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
Capítulo 2———————————————————- 51
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
Capítulo 3———————————————————- 76
Sistema Mecánico con engranajes
Capítulo 4———————————————————- 89
Sistema eléctrico, electrónico
Capítulo 5———————————————————-114
Sistema Electromecánico – Motor DC
Capítulo 6——————————————————— 144
Sistema del nivel de líquido
Capítulo 7——————————————————— 154
Linealización de sistemas no lineales
Atención:
Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema:
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Es decir, cuando ω=0 (circuito CD), un inductor es lo mismo que un circuito cerrado, por lo tanto se puede reemplazar por un cable que conduce corriente libremente, mientras que un capacitor representa un circuito abierto que se puede reemplazar por un cable interrumpido (cortado), por el que no puede pasar la corriente. Mientras que, cuando ω=∞ (circuito de alta frecuencia), sucede totalmente lo contrario. Estas posibilidades se muestran en la siguiente Figura (2):
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):
>> t=-5:0.01:5;
>> eo=4.48*cos(4*t-1.10706);
>> plot(t,x)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’
Luego:
Figura 4. Cada corriente es dividida en dos. Luego, se reagrupan para establecer el sistema de fases pareadas.
2. Variables de estado
Definición:
Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para 
Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:
Despejamos 
:
Utilizando la definición de variables de estado:
Igualmente despejamos 
:
Utilizando la definición de variables de estado:
Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t), utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:
3. Función de Transferencia
La representación matricial del sistema tiene la forma:
Dónde:
De la teoría de sistemas de control se extrae que:
En este caso:
Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace.
Buscando ayuda en Matlab:
>> s=sym(‘s’);
…..
>> k3=sym(‘k3’) // declarar todas las variables
>> sIA= [s -1 0 0;(k1+k2)/m1 s+(fv1+fv3)/m1 -k2/m1 -fv3/m1;0 0 s -1;-k2/m2 -fv3/m2 (k2+k3)/m2 s+(fv2+fv3)/m2]
>> C=[0 0 1 0]
>> B= [0;1/m1;0;0]
>> V=(sI-A)^-1
>> G=C*V*B
G = (k2 + fv3*s)/(k1*k2 + k1*k3 + k2*k3 + fv1*m2*s^3 + fv2*m1*s^3 + fv3*m1*s^3 + fv3*m2*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + k3*m1*s^2 + m1*m2*s^4 + fv1*k2*s + fv2*k1*s + fv1*k3*s + fv2*k2*s + fv3*k1*s + fv3*k3*s + fv1*fv2*s^2 + fv1*fv3*s^2 + fv2*fv3*s^2)
Dónde:
Definimos el determinante como:
Por lo tanto:
Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: 
El diagrama de bloques para representar esta operación es:
En cuanto a las variables de estado definidas en este ejercicio, el diagrama de bloques anterior es equivalente a:
Luego, deducimos que:
dademuchconnection 