Efectos de la adición de zeros: la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el LGR hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y además se acelera el asentamiento de la respuesta. El efecto de tal control es introducir un grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria.
Para ilustrar este efecto, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
Supongamos que estamos en presencia de un sistema con una planta inestable. Un ejemplo de semejante situación es la siguiente:
Donde G(s)es la función de transferencia de la planta y H(s) es la función de transferencia del sensor utilizado para ensamblar el sistema a lazo cerrado, como se muestra en la Figura 1:
Sabemos también que el LGR (Lugar Geométrico de las Raíces) se traza con la función de transferencia a lazo abierto Gd(s) de este sistema, para lo cual podemos hacer uso del siguiente comando en Matlab:
Gráfica 1
Análisis: En la gráfica 1 podemos ver que el sistema es inestable para todos los valores positivos de la ganancia K. Es decir, si nos desplazamos por las curvas azul y verde, variando el valor de K, como en la gráfica 2, donde K1=0.143; K2=3.66 y K1=30.5, respectivamente, vemos que los polos del sistema están ubicados en el lado derecho del plano s, y se trata por tanto de un sistema inestable:
Gráfica 2
Apliquemos el principio de la adición de un zero a la función de transferencia en lazo abierto a este caso. Vamos a añadir un zero en s= -0.5 (Figura 2), por lo tanto la Gd(s) del sistema es ahora:
Figura 2
Veamos el efecto de añadir un zero al sistema mediante:
Gráfica 3
Análisis: En la gráfica 3 vemos que el LGR del sistema se ha desplazado hacia la izquierda y que el sistema es estable para cualquier valor positivo de la ganancia k, esto es, que todos los polos del sistema a lazo cerrado están ubicados en lado izquierdo del plano s (Gráfica 4), condición indispensable para que le sistema sea estable:
Gráfica 4
Fuente:
Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 408-442-443.
Analizamos dos vías para mejorar el error en estado estable de un sistema de control con realimentación, utilizando la compensación en cascada. Un objetivo fundamental de este diseño es mejorar el error en estado estable sin modificar significativamente la respuesta transitoria.
Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria
Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).
Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?
En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.
Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:
Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.
Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.
Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.
Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.
Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.
Compensación en Cascada - Controlador PI
El error en estado estable de un sistema de control puede ser mejorado directamente, colocando un polo en el origen en el camino de transferencia directa (an open-loop pole at the origin), debido a que esto eleva el número de tipo del sistema. Pero generalmente interesa lograr esta reducción sin modificar la respuesta transitoria de dicho sistema.
Por ejemplo, un sistema de tipo 0, que responde a una entrada escalón unitario con un error finito, al ser elevado a sistema tipo 1, responderá a la misma entrada con un error en estado estable igual a cero.
Sin embargo, si añadimos un polo en el origen para incrementar el valor del tipo de sistema, de cero a uno por ejemplo, la contribución angular de los polos a lazo abierto en un punto hipotético A no será de 180, y así el punto A no estará en el LGR (no intercepta el LGR) del sistema compensado (es decir, se modificará notablemente la respuesta transitoria del sistema), como se puede observar en las Figuras 3.a y 3.b:
Figura 3.
Para resolver este problema, además de añadir el polo en el origen, también añadimos un zero cercano a ese polo en el origen, como se puede observar el la Figura 4:
Figura 4.
Ahora, la contribución angular de los polos y zeros a lazo abierto del punto hipotético A vuelve a ser 180 debido a que la contribución angular del compensador zero se cancela con la compensación angular del compensador polo. Es decir, el punto A vuelve a estar en el LGR del sistema compensado. De esta manera mejoramos el error en estado estable sin modificar la respuesta transitoria del sistema.
Un compensador con un polo en el origen y un zero cerca de dicho polo en el origen, es conocido como Compensador Ideal Integral (Ideal Integral Compensator), o Proportional-Plus-Integral, mejor conocido como Controlador PI, cuya función de transferencia Gc(s) es de la forma:
El siguiente ejemplo nos permitirá descubrir como trabaja un Controlador PI.
Para el sistema de control de la Figura 5, se requiere reducir el error en estado estacionario a cero, mediante un controlador PI, manteniendo un factor de amortiguamiento ξ=0.173. La función de transferencia de la planta es G(s) y su controlador original está representado por la ganancia k:
Figura 5.
El primer paso es evaluar el sistema antes de la compensación, y luego determinar la ubicación de los polos dominantes de segundo orden para el factor de amortiguamiento requerido por el enunciado de diseño.
El Lugar Geométrico de las Raíces del sistema sin compensar, se muestra en la Figura 6:
Utilizando la línea de amortiguamiento con valor de aportada por Matlab, podemos encontrar el punto de intersección entre el LGR del sistema y ξ=0.173, como podemos observar en la Figura 7:
>> z=0.173;
>> sgrid(z,0)
Figura 7.
La intersección de la Figura 7 nos muestra que ajustando la ganancia k=165 del sistema original, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también en la Figura 5 que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación son:
Ahora buscamos el tercer polo del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño. Al desplazarnos por el LGR en la Figura 8 hasta alcanzar la ganancia k=165, podemos observar que el tercer polo s3 del sistema a lazo cerrado, está ubicado en:
Figura 8.
Con la ganancia k=165 procedemos a calcular el error en estado estable e1(∞) para una entrada escalón, antes de la compensación:
Donde kp1 es la constante de posición antes de la compensación y se calcula mediante la siguiente fórmula:
Dónde kG(s) es la función de transferencia directa del sistema con el ajuste de ganancia, antes de la compensación, tal como lo muestra la Figura 5. Por tanto:
Añadimos un compensador PI en cascada al sistema, como se muestra en la Figura 9:
Figura 9.
Aquí, hemos hecho coincidir la constante de ganancia del compensador con la constante de ganancia original, es decir, k=ki. La constante a está determinada por la posición de decidamos otorgar al zero del compensador. Debido a que es ideal colocar este zero muy cerca del polo en el origen, seleccionamos el punto sobre el eje real s=-0.1 para ubicar el zero del compensador, es decir a=0.1. El LGR del sistema así compensado se muestra en la Figura 10:
En vista de que queremos mantener inalterada en lo posible la respuesta transitoria, en la Figura 11 trazamos la línea de amortiguamiento en el LGR y buscamos nuevamente el punto de intersección entre ξ=0.173 y las líneas del LGR:
>> z=0.173;
>> sgrid(z,0);
Figura 11.
La Figura 11 nos muestra que ajustando la ganancia k=159 del sistema compensado, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, después de la compensación son:
Para ubicar el tercer polo a lazo cerrado del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño, aprovechamos la misma Figura 11 y ajustamos la ganancia en la rama del tercer polo hasta alcanzar k=159, así obtenemos que:
Estos resultados muestran que aproximadamente se han conservado los valores de los 3 polos antes y después de la compensación PI, lo que indica una respuesta transitoria semejante luego de corregir el error en estado estable de 0.108 a 0, como se demuestra a continuación.
La función de transferencia directa G2(s) de nuestro sistema después de la compensación es:
Calculamos nuevamente el error en estado estable e2(∞) para una entrada escalón, después de la compensación:
En consecuencia:
La Figura 12 compara la respuesta al escalón unitario del sistema lazo cerrado antes y después de la compensación PI:
La Figura 12 demuestra que mediante la compensación PI hemos logrado mejorar el error en estado estable sin modificar considerablemente la respuesta transitoria del sistema original.
Compensación en Cascada - Lag Compensation
En construcción…
Fuente:
Control Systems Engineering, Nise
Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Dado el sistema de la Figura 1, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y un tiempo de establecimiento que sea 1/3 del sistema sin compensar.
Figura 1.
Primero, vamos a evaluar el desempeño del sistema sin compensar. El Lugar Geométrico de la Raíz del sistema sin compensar se muestra en la Figura 2:
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s*(s+4)*(s+6));
Figura 2.
Ya que un sobrepaso de16% es equivalente a un coeficiente de amortiguamientoξ=0.504, buscamos a lo largo de la línea de amortiguamiento aquel punto que coincida con esta condición en la Figura 3:
>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);
Figura 3.
De acuerdo con la Figura 3, ajustando la ganancia a k=43.4 obtenemos ξ=0.504, un sobrepaso de16% , y una frecuencia natural ω=2.39 rad/s.
Basándonos en una aproximación de segundo orden, podemos utilizar el criterio del 2%, y podemos calcular el tiempo de establecimiento Ts1antes de la compensación, en función de la frecuencia natural ω y el factor de amortiguamiento ξ mediante la siguiente fórmula:
Sustituyendo los valores aportados por la simulación de la Figura 3 en la ecuación (1) obtenemos que:
Por otra parte, el valor del producto ω*ξ=1.2045 coincide con la parte real σ de los polos dominantes a lazo cerrado, lo que podemos constatar en la simulación de la Figura 3 ó mediante el siguiente comando en Matlab, tomando en cuenta que la función de transferencia directa es ahora G1:
El requerimiento de diseño, además de alcanzar un sobrepaso de 16%, es lograr una reducción del tiempo de establecimiento hasta 1/3 del original. Entonces, el tiempo de establecimiento Ts2después de la compensación será:
Utilizando nuevamente la ecuación (1) en combinación con el resultado anterior, podemos saber que el valor del producto ω*ξ después de la compensación debería ser:
Es decir, la parte real de los polos dominantes a lazo cerrado después de la compensación es σ=3.6137. Para hallar la parte imaginaria wd de dichos polos, nos valemos del triángulo formado por ambas partes en el LGR de la Figura 4:
Figura 4.
Es decir, después de la compensación, para lograr las condiciones solicitadas, deseamos como polo dominante de segundo orden, aquel localizado en p=-3.6137+j6.1940.
Pero no debemos olvidar que se trata de una aproximación a un sistema de segundo orden, por lo que debemos utilizar el punto p como referencia.
La compensación PD consiste en añadir un controlador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:
Controlador que podemos implementar mediante la siguiente configuración:
Figura 5.
El próximo paso entonces es diseñar la localización del zero zc utilizando el punto p como referencia, y luego ver a que valores equivalen las ganancias k1y k2.
Se deben sumar todos los ángulos aportados al diseño: el de los polos y zeros a lazo abierto antes de la compensación y el del punto de prueba p. El resultado es -275.6. La diferencia entre este resultado y 180 será la contribución requerida para el zero zc. Por lo tanto, la contribución angular requerida para el compensador zc es:
La geometría se muestra en la Figura 6, de donde podemos obtener la parte real zc para el compensador PD requerido mediante la siguiente fórmula:
Figura 6.
De donde:
Analizamos el LGR del sistema compensado en la Figura 7, tomando en cuenta que ahora la función de transferencia directa es G2:
>> G2=(s+3.006)/(s*(s+4)*(s+6));
>> rlocus(G2)
Figura 7.
De acuerdo con la Figura 8, ajustando la ganancia a k=47.4 (arrastrando el ratón con click derecho sobre el LGR) mantenemos ξ=0.504, un sobrepaso de16% , el polo dominante de segundo orden deseado en s=-3.6137+j6.1940, a una frecuencia natural ω=7.17 rad/s.
>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);
Figura 8.
Con estos datos, analizamos el valor del tiempo de establecimiento Ts2 después de la compensación:
Lo que muestra que se ha cumplido con el objetivo. Mediante la Figura 9 podemos comparar la respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado antes y después de la compensación:
La respuesta mostrada en la Figura 9 permite evidenciar una considerable mejora en el tiempo de establecimiento y en general, la compensación permite contar con un sistema más rápido con un sobresalto que no varía mucho. Antes de la compensación, el tiempo de establecimiento a lazo cerrado es de Ts=3.4712 s. Luego de la compensación, a lazo cerrado obtenemos un Ts=1.1527 s.
Un proceso de diseño alternativo en Matlab
Utilice MATLAB y su «Control System Toobox«, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:
Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
Right-click en el espacio en blanco del LGR y seleccione Design Requirements/New. . .
Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
Right-click en el espacio en blanco del LGR y seleccione Design Requirements/New . . .
Elija Settling time y click OK.
Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.
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