Categoría: Respuesta en el tiempo

El valor de la salida de un sistema en estado estable se puede determinar utilizando El teorema del valor final, cuando se cuenta con la función de transferencia del sistema, utilizando además una señal de entrada escalón unitario como señal de prueba.

El teorema del valor final se plantea del modo siguiente. Si f_(t) y df_(t)/dt  se pueden transformar por el método de Laplace; si F_(s) es la transformada de Laplace de f_(t); y si existe el límite de f_(t) cuando el tiempo tiende a infinito, entonces:

Ejemplo:

Sea G_(s) la función de transferencia de un sistema cualquiera cuya entrada es la señal x_(t) y la salida es la señal y_(t):

¿Cuál es el valor en estado estable y_(∞) de la señal de salida y_(t) para una entrada x_(t) que es la función escalón unitario?

Respuesta:

Si la señal de entrada x_(t) del sistema es un escalón unitario, entonces su transformada de Laplace X_(s)  es:

Despejamos la transformada de Laplace de la señal de salida, es decir, Y_(s), de la ecuación (1) y sustituimos en ella la ecuación (2):

Aplicamos entonces el teorema del valor final para hallar y_(∞) a la ecuación (3):

Por tanto, cuando ha pasado mucho tiempo y el sistema cuya función de transferencia es G_(s) se estabiliza, la salida del sistema es igual a 1. Podemos corroborar este resultado mediante la siguiente simulación en Matlab:

>> G=tf([1],[1 1]);
>> step(G)

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Considere el sistema de la Figura 5-84:

Determinar los valores de K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ωn de 4 rad/s.

RESPUESTA

1. Lo primero que se aconseja hacer es obtener el modelo del sistema de la Figura 5-84 que sea equivalente al sistema de segundo orden prototipo, el cual es el siguiente:

Donde definimos la función de transferencia directa G(s) y la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) como sigue:

2. Determinamos G(s) y Gce(s) en relación al sistema de la Figura 5-84:

Donde G1(s) es la función de transferencia del lazo cerrado interno formado por K/(s+2) y k:

Para una revisión sobre reducción de diagramas de bloques ver: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Luego, sustituimos G1(s) en la ecuación de G(s). Actuando de esta manera, obtenemos las funciones de transferencia del sistema de la Figura 5-84, equivalentes al sistema prototipo:

3. Con estas dos funciones podemos obtener lo parámetros que se solicitan en el enunciado, es decir, K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ωn de 4 rad/s. Para ello comparamos G(s) y Gce(s) obtenidos en el paso 1 con los obtenidos en el paso 2. Así obtenemos que:

Sustituyendo los valores de las variables aportadas en el enunciado, y despejando, obtenemos el siguiente resultado:

Para una revisión de la teoría aplicada en este ejemplo, ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

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Atención:

El sistema mecánico mostrado en la Figura P5.52(a) es parte del sistema de realimentación unitaria de la Figura P5.52(b). Encontrar los valores de M y D para producir un sobresalto del 20% y un tiempo de establecimiento de 2 segundos.

1. Dinámica del sistema

donde:

2. Transformada de Laplace

3. Función de Transferencia Motor&Load

donde:

además:

4. Función de transferencia directa

La ganancia a lazo abierto Ga(s) es:

5. Función de transferencia a lazo cerrado

La ganancia a lazo cerrado Gc(s) es:

Es decir:

6. Cálculo de M y D

De acuerdo con:

Además:

De esta manera:

Mientras:

7. Verificación en Matlab

Utilizamos Matlab para corroborar este resultado, sustituyendo todos los valores calculados en la función de transferencia original:

el objetivo era: Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.

>> stepinfo (sys)

RiseTime: 0.3554

SettlingTime: 1.8989

SettlingMin: 0.9331

SettlingMax: 1.1999

Overshoot: 19.9890

Undershoot: 0

Peak: 1.1999

PeakTime: 0.8059

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Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Estabilidad de un sistema de control

Introducción

Para el análisis transitorio de algunos ejemplos tomamos en cuenta el cuadro presentado con anterioridad en ensayo teórico Respuesta Transitoria de un Sistema de Control, junto con la forma estándar de la Función de Transferencia:

En la siguiente figura vemos la relación entre σ  (coeficiente de amortiguamiento) y el tipo de respuesta obtenida: mientras menor sea el valor de σ , más oscilatoria es la respuesta. La frecuencia natural ωd  es un factor de escala de tiempo y no afecta la naturaleza de la respuesta más allá de afectar su escalamiento en el tiempo.

1. Matlab y la función tf() y step(). La Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador se muestra en la Figura 2.15.

Considerando M=1 Kg, Fv= 4 N*seg/m, y K= 3 N/m. Introduciendo la expresión de la función de transferencia en la consola de Matlab, utilizando tf() y step(), obtenemos la respuesta del sistema a a la entrada escalón unitario

> X=tf([1],[1 4 3])

>step(X)

X = 1/ s^2 + 4 s + 3

Gráfica 1

Mediante la función residue (X) podemos ver que los polos de esta función están en -3 y -1:

> [r,p,k]=residue ([1],[1 4 3])

r = -0.5000, 0.5000 // polos = -3, -1 // k =0. Los polos son reales negativos diferentes, lo que sugiere un factor de amortiguamiento por ello estamos en presencia de un sistema sobreamortiguado como lo sugiere la gráfica 1

>ilaplace(1/(s^3 + 4*s^2 + 3*s),s,t)

ans = exp(-3*t)/6 – exp(-t)/2 + ⅓ (respuesta a la aplicación de una fuerza repentina semejante a la función escalón unitario)

2. Utilizando tf() introducimos la función de transferencia del sistema descrito en forma estándar 25/(s^2 + 4s +25). Realice el gráfico de x(t) ante impulso y rampa para el intervalo 0<t<3 utilizando lsim() y impulse()

> p=tf([25],[1 4 25])

> t=0:0.1:3

> x=t

>lsim(p,x,t)

obtenemos la respuesta a la entrada rampa

> impulse(p)

obtenemos la respuesta al impulso del sistema

Utilizando step() obtenemos la respuesta al escalón unitario y utilizando stepinfo() obtenemos el valor de los parámetros más relevantes de esta respuesta:

> s=tf([25],[1 4 25])

> step(s)

> stepinfo(s)

3. Matlab y la función residue() y ilaplace(). Considerando el sistema

Gráfica 2. Respuesta a la entrada escalón unitario

>[r,p,k]=residue ([2 25],[1 4 25])

r = 1.0000 – 2.2913i; 1.0000 + 2.2913i

polos = -2.0000 + 4.5826i; -2.0000 – 4.5826i; k = []. Dos polos imaginarios conjugados, lo que sugiere un sistema subamortiguado, como se confirma en la gráfica, para

Vemos claramente que ωn *ζ= 2 y ωd = 4.5826.

>ilaplace((2*s + 25)/(s^3 + 4*s^2 + 25*s),s,t)

ans =1 – exp(-2*t)*cos(21^(1/2)*t) parecida a la forma

Vemos que a diferencia del ejemplo 1, en este caso la salida en el tiempo incluye un componente coseno que la hace oscilar como se muestra en la Gráfica 2.

Utilizando la función damp(), podremos encontrar los valores del coeficiente de amortiguamiento ζ , la constante de tiempo τ y el de la frecuencia natural ωn:

> damp(s2) 

               Pole                  Damping     Frequency (r/s)      Time Constant  (s)

-2.00e+00 + 4.58e+00i       4.00e-01      5.00e+00              5.00e-01

-2.00e+00 – 4.58e+00i        4.00e-01       5.00e+00             5.00e-01

 ζ=0.4 // ωn=5.00 r/s  //  τ=0.5 s

4. Matlab y la forma estándar: Supongamos que las especificaciones que deben cumplirse están expresadas como los valores del coeficiente de amortiguamiento y de la frecuencia natural. Podemos generar la función de transferencia de este sistema utilizando las funciones ord2() y printsys(NUM,DEN,’s’), y luego graficar esta respuesta recordando que ambos parámetros se relacionan con la entrada escalón unitario:

[NUM,DEN] = ord2(Wn,Z) returns the polynomial transfer function of the second order system.

> wn=5

> damping_ratio=0.4

>[Num0,den]=ord2(wn,damping_ratio)

Num0 =1;

den = 1 4 25.

printsys(NUM,DEN,’s’) prints the transfer function as a ratio of two polynomials in the transform variable ‘s’

> Num=5^2*Num0

> printsys(Num,den,’s’)

num/den = 25/ s^2 + 4 s + 25

>p=tf([25],[1 4 25])

>step(p)

5. Ahora analizamos la aplicación de la función lsim(): lsim – Simulate time response of dynamic system to arbitrary inputs-This MATLAB function produces a plot of the time response of the dynamic system model sys to the input history, t,u.

Consideramos el sistema simple 25/(s^2 + 4s +25) en su forma estándar, y la respuesta al escalón unitario. Aplicamos las funciones siguientes:

> p=tf([25],[1 4 25])

>[u,t]=gensig(‘pulse’,0.1,3,0.1)

> lsim(p,u,t)

obtenemos

6. Vamos a derivar la Función de Transferencia a partir de un diagrama de bloques y la función feedback(). Consideramos el sistema:

donde:

Determine la expresión de la función de transferencia Gfinal=C(s)/R(s) en Matlab utilizando el comando feedback()

>s=tf(‘s’)

> G3=1/s

> H3=10/(s+5)

>G3H3cloop=feedback(G3,H3)

G3H3cloop = s + 5/ s^2 + 5 s + 10

G2=20/(s+2)

> H2=10/(s+20)

G2H2cloop=feedback(G2,H2) // G2H2cloop = 20 s + 400/ s^2 + 22 s + 240 //

> G1plusG2H2cloop= G2H2cloop + G1

G1plusG2H2cloop = 5 s^2 + 130 s + 1600/ s^2 + 22 s + 240

> GRH1cloop=feedback(GR,H1)

GRH1cloop = 5 s^2 + 130 s + 1600/ 51 s^2 + 1322 s + 16240

> Gfinal= GRH1cloop + (GRH1cloop/G2) + G3H3cloop

Gfinal =

255 s^7 + 20125 s^6 + 774760 s^5 + 1.786e07 s^4 + 2.647e08 s^3 + 2.482e09 s^2 + 1.362e10 s + 3.209e10

—————————————————————————————————–

52020 s^6 + 2.957e06 s^5 + 8.209e07 s^4 + 1.226e09 s^3 + 1.025e10 s^2 + 3.496e10 s + 5.275e10

7. Vamos a analizar la estabilidad del siguiente sistema:

> T=tf([128],[1 3 10 24 48 96 128 192 128])

> G=feedback(T,1)

G =

                                   128

 ———————————————————————–

 s^8 + 3 s^7 + 10 s^6 + 24 s^5 + 48 s^4 + 96 s^3 + 128 s^2 + 192 s + 256

> poles=pole(G)

poles=

  1.0154 + 1.5963i

  1.0154 – 1.5963i

  0.2646 + 2.0468i

  0.2646 – 2.0468i

 -0.9684 + 1.9698i

 -0.9684 – 1.9698i

 -1.8116 + 0.4508i

 -1.8116 – 0.4508i

Vemos claramente que el sistema tiene dos polos en el semiplano derecho, dos polos en el eje imaginario y cuatro en el semiplano izquierdo, por tanto es inestable. La respuesta al escalón unitario mediante step() así lo sugiere:

8. Obtenga las respuestas impulso, escalón y rampa para 0<t<10 s simulando los sistemas siguientes en Simulink, utilice un Scope para comparar las respuestas escalón y las respuestas ante una entrada rampa.

> sys=tf([5 100],[1 8 32 80 100])

stepinfo(sys):  

RiseTime: 0.7217 , SettlingTime: 3.1056, Overshoot: 13.8472,

PeakTime (Pt): 1.6579, Peak (P): 1.1385 (se señala Pt y P en la gráfica para la curva color amarillo mediante herramientas de medición de Scope)

sys2=tf([245],[1 10])

>> sys3=tf([1],[1 4 24])

> stepinfo(sys2*sys3)

 RiseTime: 0.3443,  SettlingTime: 1.8124, Overshoot: 21.3046, PeakTime: 0.8197,

Peak: 1.2383 (se señala Pt y P en la gráfica para la curva color azul)

9. Ejercicio 77, p295, Nise. The mechanical system shown in Figure P5.52(a) is used as part of the unity feedback system shown in Figure P5.52(b). Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.

Respuesta:

Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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