Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de Transferencia de Sistema Mecánico Rotacional (masa-resorte-amortiguador)

Determinar la Función de Transferencia, G(s)=θ2(s)/T(s), para el sistema mecánico rotacional mostrado en la Figura 2.26 (Nise): 1. Dinámica del sistema: Por otra parte: 2. Transformada de Laplace: Ecuación 1: Ecuación 2: 3. Función de Transferencia: Sustituyendo los valores: De dónde:
  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
  2. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  3. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata

Revisión literaria hecha por:

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Electrónica

Concepto de Realimentación Electrónica

La realimentación electrónica consiste en tomar la información disponible en una parte del circuito e introducirla en otra parte del circuito con el fin de influir sobre el comportamiento de la salida.

La realimentación, o feedback (fb), es un concepto físico y no un concepto matemático, e implica un gasto de energía. Por tanto, la energía disponible en el origen de la información debe ser superior a la energía en el punto destino. Es por ello que se requiere de un circuito electrónico para poder implementar una realimentación efectiva, debido a que este tipo de circuitos permite incrementar la energía de la información a medida que ésta fluye a través del sistema, además de que permite establecer un flujo de información con dirección contraria a la que dicho flujo tiene debido a la naturaleza e influencia del sistema.

Ojo, no sólo los sistemas electrónicos son capaces de implementar un sistema realimentado. Existen numerosos mecanismos de realimentación que forman parte de nuestra vida cotidiana. El tanque de la poceta tradicional se llena de agua hasta que el nivel de líquido empuja un globo que acciona un pistón cerrando el surtidor de agua. Éste es un sistema realimentado donde el nivel de líquido es la información dirigida a la entrada, el pistón que controla el surtidor. Pero el uso de la electrónica tiene ventajas, como  de la reducción de costos en términos monetarios y de espacio, o la estética.

El objetivo fundamental de la realimentación electrónica, sin embargo, es modificar la salida del sistema y hacerla lo más independiente posible de los parámetros internos del mismo sistema. Este mecanismo permite controlar el sistema. De hecho, se requieren tantas líneas de realimentación como variables que se deseen controlar.

Estructura general de un circuito realimentado

Para representar la estructura básica de un sistema electrónico realimentado utilizaremos el amplificador de la Figura 2.1.1:

Se aplica una señal de entrada Xe al amplificador A, la cual puede ser un voltaje o una corriente. Xo representa la salida del amplificador. Supongamos que Xe y Xo tienen las mismas dimensiones, o unidades.

Al implementar un circuito realimentado básico, debemos transportar información desde la salida a la entrada, con el fin de sumar o comparar ambas señales, tal como se muestra en la Figura 2.1.2:

En la Figura anterior podemos identificar claramente tres estructuras representadas por tres bloques: un amplificador A, un circuito de transferencia β , y un sumador. El bloque A amplifica la señal incrementado la energía de la información. El bloque β transfiere la información de la salida a una de las entradas del sumador, cuya función puede ser sumar o restar esta señal a la entrada. El sumador suma o resta las señales Xi y Xf, que provienen de la entrada y salida del bloque β respectivamente, generando una señal Xe. A continuación, vamos a obtener una expresión matemática para la ganancia del sistema Xo/Xi.

Sabemos del estudio de amplificadores operacionales que la salida Xo puede ser expresada en términos de la ganancia A como:Donde Xe no es la entrada al sistema sino la entrada al amplificador y es igual a:Al sustituir la ecuación (2) en (1):Dónde:Por tanto:Luego:Por tanto: La ecuación (5) es una de las más importantes de la ingeniería electrónica y se le denomina en la literatura general como Ganancia del sistema realimentado o Ganancia a lazo cerrado. Fue el ingeniero Harold Black en 1928 quién primero utilizó la denotación Afb para esta ganancia. Por tanto:

Comportamiento de un circuito realimentado

En construcción…

Referencia: ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRONICOS

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Límites al infinito

Límite cuando x→∞

Sea f una función definida en [c,∞) para algún número c. Decimos que:

Si para cada ε>0, existe un correspondiente número M, tal que:

Límite cuando x→-∞

Sea f una función definida en (-∞, c] para algún número c. Decimos que:

Si para cada ε>0, existe un correspondiente número M, tal que:

Ejemplo 1. Demostrar que:

Solución. Por lo general se utiliza un truco común: dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta de x que aparece en el denominador, que en este caso es 2:Ejemplo 2. Encuentre:Solución: 

Por tanto:Ejemplo 3. Encuentre:Solución:Por tanto: 

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