Sistemas de Control – Análisis de Señales y Sistemas – Procesamiento de Señales – Ingeniería Eléctrica
Autor: carakenio73
Estudié Ingeniería Eléctrica en la Universidad Central de Venezuela, Ingeniería Electrónica y Administración del Turismo en la Universidad Simón Bolívar. Me dedico a la redacción de documentos técnicos, a la asesoría empresarial y educativa.
Linearity is one of the most important properties of systems.
Linearity is one of the most important properties of systems. This Online course consists of three videos from which you will learn to analyze the linearity property and check that a system is Linear, or otherwise, that it is not. It offers you theory and methods that are equivalent to the Signals and Systems classes in Engineering. The property of linearity is verified step by step in these 5 continuous and/or discrete time systems shown below:
La Linealidad es una de las propiedades más importantes de los sistemas.
La Linealidad es una de las propiedades más importantes de los sistemas. Este curso Online consta de tres videos de los que aprenderás a analizar la propiedad de linealidad y demostrar que un sistema es Lineal, o en caso contrario, que no lo es. Te ofrece teoría y métodos que son equivalentes al de las clases de Señales y Sistemas en Ingeniería. Se analizan los 5 sistemas de tiempo continuo y/o discreto que se muestran a continuación:
Nuestro objetivo en este artículo es determinar la relación entrada-salida de un Convertidor C/D ideal, en el dominio de la frecuencia. Comenzamos por la conversión de la señal x(t) en xp(t), proceso que se ilustra a continuación:
En el artículo anterior (Muestreo Ideal – Introducción) determinamos que la relación entre x(t)y la señal muestreada xp(t) se resume de la manera siguiente:
Para analizar este sistema en el dominio de la frecuencia, vamos a obtener la transformada de Fourier (TF) de la señal xp(t). Según la Tabla de propiedades de la TF, se cumple que si:
Entonces:
Luego, de la Tabla de pares comunes de la TF obtenemos que:
Por lo tanto:
Consideramos ahora la siguiente propiedad:
En definitiva, se puede concluir que:
La ecuación (1) provee la relación entre las Transformadas de Fourier de las señales de entrada x(t) y la salida xp(t) de la Figura 4.2:
La ecuación (1) además nos demuestra que “El espectro Xp(Ω) de la señal muestreada xp(t)es una superposición de réplicas desplazadas en frecuencia del espectro original X(Ω) de la señal x(t), escaladas por 1/T”. Fenómeno que podemos observar en la Figura 4.3 del texto de Oppenheim:
Las copias de X(Ω) se desplazan una distancia que es múltiplo entero de Ω(s), la frecuencia de muestreo. Luego, se repiten (o se superponen) para generar la Transformada de Fourier del tren de muestras (the periodic FT of the impulse train of samples). Para que suceda este efecto, el espectro de la señal x(t) debe cumplir con la siguiente condición: ser de banda limitada, en este caso, entre –Ω(N) y Ω(N). Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:
Podemos ver en la Figura 4.3(a) que la componente de más alta frecuencia de X(Ω), de valor diferente de cero, está ubicada en Ω(N). Se presenta ahora el problema de averiguar el valor de Ω(s)o frecuencia de muestreo, para poder recuperar la señal exacta x(t)a partir de xp(t). La Figura 4.3(c) muestra el caso en que es posible recuperar x(t) a partir de xp(t), mientras que la Figura 4.3(d) muestra el caso contrario (las muestras se solapan).
En la Figura 4.3(c), para que las muestras no se solapen, se cumple que el punto Ω(s) – Ω(N)> Ω(N):
Volvemos a la ecuación (1):
Entonces, podemos asegurar que, cuando Ω(s)>2Ω(N), las réplicas de X(Ω) se suman y se mantienen fieles a la original (no se solapan, lo que si sucede en 4.3(d)), escaladas en un factor 1/T. De esta manera, la señal x(t) puede ser recuperada utilizando un filtro que deje pasar sólo la componente de Xp(Ω) que más convenga, como por ejemplo un filtro pasabajo de función de transferencia Hr(Ω) (ideal lowpass Filter) cuyo diagrama se muestra en la Figura 4.4(a):
Para las transformadas X(Ω) y Xp(Ω) de la Figura 4.4(b) y 4.4(c), se muestra el proceso de recuperación de la señal x(t) mediante la aplicación del filtro pasa-bajos Hr(Ω) de 4.4(c), lo que genera Xr(Ω).
Aplicando las propiedades de Fourier:
Si el filtro pasa-bajos es ideal, con ganancia Ty frecuencia de corte Ω(c), tal que:
Es decir:
Entonces:
Toda esta teoría se recoge en la Teoría de Nyquist: “Sea x(t) una señal de banda limitada, es decir:
Entonces, x(t) está determinada (uniquely determined) por sus muestras x[n]= x(nT):
Si se cumple que:
El teorema de Nyquist también es conocido como Teoría de Muestreo, Teorema de Shannon, Teorema de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon”
La frecuencia de muestreo Ω(s) es generalmente conocida como La Frecuencia de Nyquist. Y la frecuencia 2Ω(N) que debe ser superada por la frecuencia del muestreo, es conocida como La Tasa de Nyquist.
En términos de la frecuencia (muestras por segundo), la ecuación anterior indica que si muestreamos la señal x(t) a intervalos regulares mayores a T=1/(2 f(N)), la densidad espectral de xp(t) será una réplica periódica de X(Ω), y por lo tanto, contiene toda la información de x(t).
Si la condición de Nyquist no se cumple, es decir:
Las copias de X(Ω) solapan. Por lo tanto, X(Ω) no puede ser recuperada utilizando un filtro pasa-bajos. En este caso, el resultado se conoce como Aliasing, y es un concepto bien importante. Por otra parte, siempre existirá Aliasing cuando el espectro de la señal x(t) no sea de banda limitada, por muy rápido que se realice el muestreo. En otras palabras, habrá información de alta frecuencia de la señal original que se perderá y no será posible reconstruir dicha señal a partir de la función muestreada. Muestrear por debajo del umbral de Nyquist no sólo implica pérdida de información del contenido de alta frecuencia, sino que también puede suceder que las señales de alta frecuencia pueden ser observadas con una frecuencia inferior a la que realmente tienen. En eso consiste en la práctica el solapamiento de los sumandos en frecuencia.
En sistemas mecánicos es muy corriente suponer que la respuesta del sistema ante una fuerza en su entrada, es una señal de banda limitada. En cualquier caso, llega un momento en que la respuesta de alta frecuencia posee una amplitud tan pequeña que está por debajo de la resolución del sensor de medida, y a partir de ese momento podemos suponer que la respuesta es anulada, o tiene valor cero.
La Figura 4.5(a) muestra la Transformada de Fourier (el espectro) de la señal coseno en su forma más simple:
La Figura 4.5(b) muestra el caso en que el espectro de xp(t) cumple con la condición de Nyquist, es decir:
Mientras que la Figura 4.5(c) muestra el caso en que no se cumple. Al pasar Xp(Ω) por el filtro pasabajos, obtenemos las Figuras 4.5(d) y 4.5(e) que son los casos en que respectivamente se presenta “No Aliasing” y “Aliasing” .
En el caso de las Figuras 4.5(b) y 4.5(d), al reconstruir Xr(Ω) y volver al dominio del tiempo, obtenemos la siguiente x(t):
Mientras que en el caso de las Figuras 4.5(c) y 4.5(e), obtenemos la siguiente x(t):
Es decir, el coseno de alta frecuencia ha tomado la identidad (Alias) de un coseno de baja frecuencia como consecuencia del proceso de muestreo y reconstrucción sin cumplir la condición de Nyquist.
Las señales reales son limitadas en el tiempo. Una señal limitada en el tiempo no puede ser de banda limitada. Por lo tanto, si se muestrea una señal limitada en el tiempo con un intervalo de muestreo T, no importa que tan pequeño sea T, las réplicas X(Ω) se traslaparán. En la práctica, el Aliasing no puede eliminarse totalmente, ya que un filtro pasa baja que corta todas las componentes de frecuencia por encima de cierta frecuencia no puede sintetizarse (es decir, construirse). Sin embargo, la magnitud de los componentes con este efecto puede reducirse si la señal x(t) se filtra con un pasa baja antes de ser muestreada. Este método es factible siempre y cuando el filtrado pasa baja de la señal x(t) no elimine el “contenido de información” de dicha señal.
FUENTE: Discrete Time Signal Processing Oppenheim, Chapter 4.
Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs
Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.
Contacto: España: Tlf. 633129287
Caracas, Valladolid, Quito, Guayaquil, Jaén, Villafranca de Ordizia.
Desde el punto de vista matemático el muestreo de una función consiste simplemente en un producto de funciones. El muestreo sigue el mismo principio de la modulación de amplitud, solo que en este caso se denomina Modulación por Amplitud de Pulsos (PAM). El muestreo ideal se consigue cuando se multiplica la función continua x(t) con la función portadora p(t) que se define como:
O como:
A continuación se ilustra el proceso de muestreo en el tiempo:
Es decir:
En consecuencia, utilizando la Propiedad de Muestreo del impulso Delta de Dirac (El Impulso Unitario):
Notar que xp(t) es una señal del tipo x(nt), donde n es un número entero del tipo:
es decir, mediante el muestreo se genera una secuencia x[n] a partir de una señal continua x(t), según la siguiente relación:
En la ecuación (1), el factor T es el período de muestreo (sampling period) y su recíproco fs=1/T es la frecuencia de muestreo (sampling frequency – samples per second). También puede ser expresada la frecuencia como radians per second:
El sistema que implementa la operación de la Figura 4.1 es un Convertidor Ideal de Continuo-Discreto (ideal continuous-to-discret time (C/D) Converter).
En la práctica, el muestreo es llevado a cabo por un convertidor analógico-digital (analog-to-digital (A/D) Converter) que incluye los siguientes sub-procesos: cuantificación de las muestras de salida, linealidad de los pasos de cuantificación, la necesidad de circuitos de muestreo y retención y limitaciones en la frecuencia de muestreo (quantization of the output samples, linearity of the quantization steps, the need for sample-and-hold circuitry, and limitations on the sample rate)
Por lo anterior, puede resultar conveniente representar matemáticamente el proceso de muestreo mediante la Figura 4.2, en la cual resaltan dos estados:
Las etapas consisten en un modulador de tren de impulsos seguido de la conversión del tren de impulsos a una secuencia. Existen diferencias entre xp(t) y x[n]. La primera es una función en tiempo continuo, es decir, tiene valores en todo tiempo (entre muestra y muestra el valor de la función es cero), mientras que la segunda es un función en el dominio del tiempo discreto (entre muestra y muestra el valor de la función no es cero, porque no está definido).
En este capítulo hemos explorado la relación entre las señales xp(t) y x[n], es decir, entre la señal de tiempo continuo y la secuencia de tiempo discreto obtenida mediante un muestreo periódico, o muestreo ideal. El teorema fundamental que nos permite representar una señal de tiempo continuo mediante una secuencia de muestras es el Teorema de Nyquist: para una señal de banda limitada, las muestras periódicas son una representación suficiente, siempre que la tasa de muestreo sea lo suficientemente alta en relación con la frecuencia más alta en la señal de tiempo continuo (for a bandlimited signal, periodic samples are a sufficient representation, as long as the sampling rate is high enough relative to the highest frequency in the continuous-time signal.).
Para entender y aplicar este importante teorema debemos analizar el proceso antes descrito, en el dominio de la frecuencia. A grandes rasgos, desde el punto analítico haremos lo siguiente:
De aquí vemos que el espectro de frecuencias muestreadas de x(t) está dada por la convolución de X(ω) con un tren de impulsos. El espectro de la señal muestreada es una superposición de réplicas desplazadas en frecuencia con respecto al espectro original, escaladas por 1/T. El diagrama de frecuencias se muestra a continuación:
Se presenta ahora el problema de averiguar el valor de ωs o frecuencia de muestreo, para poder recuperar la señal exacta x(t) a partir de xp(t):
Este valor de Ts es llamado Intervalo deNyquist. Vamos a verlo en detalle en el siguiente capítulo: En construcción…
FUENTE: Discrete Time Signal Processing Oppenheim, Chapter 4.
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Comencemos con una pregunta ¿Qué papel juega DSP (Digital Signal Processing) en los sistemas de control modernos?
Las herramientas clásicas de control para sistemas de tiempo continuo permiten el diseño de circuitos analógicos para gobernar todo tipo de sistemas físicos. Sin embargo, con los microprocesadores, los ingenieros de control son capaces de ajustar o cambiar la ley de control de una manera más rápida y versátil. La dificultad radica en la necesidad de trasladar todos los conceptos de la ingeniería clásica de control al nuevo escenario en que las señales no son conocidas en todo instante de tiempo (sistemas de tiempo discreto).
Las herramientas básicas para el control de sistemas de tiempo discreto son El Concepto de Muestreo y Reconstrucción y el análisis matemático de las señales muestreadas mediante La Transformada Z. Estos serán los primeros tópicos de conocimiento que necesitamos adquirir, compartir, simular y organizar en una KB (Knowledge Base).
Los pasos TC a TD y viceversa, permiten emplear sistemas tiempo discreto para realizar el procesado de las señales analógicas del mundo real y devolverlas al mismo. Se necesita una interfaz entre la señal analógica y el procesador digital. Esta interfaz se llama conversor A/D.
La señal digital concede las siguientes ventajas:
El almacenamiento es más fácil en soportes magnéticos (discos y cintas), sin deterioro o pérdida en la fidelidad de la señal.
La tolerancia en los circuitos analógicos son más difíciles de controlar, mientras que en los digitales es más fácil.
El procesado digital permite la implementación de algoritmos de procesado más sofisticados.
El procesado digital es más barato que su equivalente analógico. El hardware digital es más barato que el analógico.
El procesado de señales digitales es más flexible.
La transmisión de señales digitales es menos susceptible al ruido que la analógica.
Las señales digitales permiten evitar la distorsión, el ruido de transmisión y la diafonía.
Sin embargo, hay una limitación práctica. La velocidad de operación de los convertidores A/D y la velocidad de los procesadores de señales digitales. Las señales con ancho de banda grande precisan de convertidores A/D con velocidades de muestreo altas y procesadores digitales rápidos, lo cual es una limitación física.
Ejemplo de implementación analógica.
Los potenciómetros del circuito de la Figura 12.2 permiten modificar la ley del compensador de la Figura 12.1 (hasta ciertos límites). Sin embargo, si el ingeniero desea probar otro tipo de compensador, tendrá que soldar un nuevo circuito, alternativa muy tediosa, lenta y poco práctica.
Por motivos de flexibilidad, coste, programabilidad, almacenamiento y capacidad de compresión, es preferible el procesamiento de señales (DSP) mediante sistemas digitales.
Ejemplo de implementación digital.
En la Figura 12.3 se muestra la alternativa digital al mismo problema. Se sustituye el controlador por un microprocesador, capaz de recibir la magnitud del error en los puertos de entrada (normalmente convertidores A/D, contadores de pulsos, encoders, etc…) y comandar la actuación de la planta a través de los puertos de salida (normalmente convertidores D/A). La operación del microprocesador está comandada por un reloj (interior o exterior), que marca los instantes en los que se ejecutan las sentencias del programa introducido por el ingeniero. Si el mismo desea cambiar el algoritmo, sólo tiene que cambiar las líneas del programa. Por este cambio evolutivo, este modo de control es mucho más versátil y práctico para el proceso de diseño.
El reloj también señala la frecuencia con la que se produce la lectura de los convertidores A/D y el comando de las salidas D/A. ¿qué datos puede utilizar el ingeniero en su programa para calcular la salida o actuación del controlador? No se puede esperar que un microprocesador sea capaz de controlar el movimiento del cabezal de un disco duro, si el reloj ordena la ejecución del programa cada minuto. Pero, el mismo sistema podría controlar la temperatura del interior de un edificio. Por lo tanto, la frecuencia de ejecución del programa de control es una decisión clave del ingeniero.
Para constatar el papel que la integración DSP-Control juega en el mercado, vemos el siguiente esquema:
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Si tienes un ejercicio que debes resolver de manera urgente, te recomiendo intentar primero el hacerlo por ti mismo. Si no logras resolverlo ¡¡ATENCIÓN!!……!! … Prof. Larry. Se hacen trabajos, ejercicios, clases online, talleres, laboratorios, Academic Paper, Tesis, Monografías. Resuelvo problemas y ejercicios …atención inmediata!! si utilizas mi número de Whatsapp..tome en cuenta horario España.
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The maximum of a signal is defined as the maximum amplitude value of the signal:
The maximum exists when it is equal to the lowest upper bound (or supremum) of the signal, which is the smallest finite value greater than or equal to any amplitude value of the signal:
There where 𝑆𝑥 is the supreme of 𝑥(𝑡) in (1), and of 𝑥[𝑛] in (2), and where 𝑎𝑗 are all the upper bounds of the signal, that is, all those finite values that are greater than or equal to any amplitude value of the signal.
The minimum of a signal is defined as the minimum amplitude value of the signal:
The minimum exists when it is equal to the highest upper bound (or infimum) of the signal, which is the greatest finite value minur than or equal to any amplitude value of the signal:
There where I𝑥 es el infimum of 𝑥(𝑡) in (3), and of 𝑥[𝑛] in (4), and where 𝑎𝑗 are all the lower bounds of the signal, that is, all those finite values that are minors than or equal to any amplitude value of the signal.
Example:
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El máximo de una señal se define como el máximo valor de amplitud de la señal:
El máximo existe cuando es igual a la menor cota superior (o supremo) de la señal, que es el menor valor finito mayor o igual que cualquier valor de amplitud de la señal:
Allí donde 𝑆𝑥 es el supremo de 𝑥(𝑡) en (1), y de 𝑥[𝑛] en (2), y donde los 𝑎𝑗 son todas las cotas superiores de la señal, es decir, todos aquellos valores finitos que son mayores o iguales que cualquier valor de amplitud de la señal.
El mínimo de una señal se define como el mínimo valor de amplitud de la señal:
El mínimo existe cuando es igual a la mayor cota inferior (o ínfimo) de la señal, que es el mayor valor finito menor o igual que cualquier valor de amplitud de la señal:
Allí donde I𝑥 es el ínfimo de 𝑥(𝑡) en (3), y de 𝑥[𝑛] en (4), y donde los 𝑎𝑗 son todas las cotas inferiores de la señal, es decir, todos aquellos valores finitos que son menores o iguales que cualquier valor de amplitud de la señal.
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La propriété de linéarité est la capacité d’un système à conserver à sa sortie toutes les combinaisons linéaires possibles de signaux présents à son entrée.
Par conséquent, étant donné une combinaison linéaire arbitraire de tout signal 𝑴 à l’entrée d’un système linéaire 𝑺, sa sortie sera la même combinaison linéaire des réponses 𝑴 du système à chacun de ces signaux séparément.
Ainsi, un système linéaire est un système qui possède l’importante propriété de superposition : étant donné une entrée constituée d’une superposition arbitraire de signaux individuels, un système linéaire traite cette entrée de la même manière que s’il pouvait traiter un par un et séparément chacun des signaux. les signaux superposés individuels, puis construire la sortie en superposant les sorties individuelles obtenues de la même manière.
Le cours suivant vise à démontrer la propriété de linéarité de différents systèmes, à partir de la définition de la linéarité. Vous pourrez apprendre la procédure pour analyser et vérifier si un système est linéaire ou non. Il comprend trois classes. Il a un coût de 14 euros, en utilisant Paypal comme mode de paiement. Contactez-moi, je vous donnerai le compte Paypal et une fois le paiement reçu je vous enverrai un mot de passe individuel qui vous donnera accès pendant trois mois à compter de la date de paiement.
La linéarité des systèmes est l’une des propriétés les plus importantes à comprendre en profondeur dans votre carrière d’ingénieur. J’ai fait un effort pour vous donner une explication détaillée, mais si cela ne suffit pas, vous pouvez compter sur moi pour approfondir un cours en ligne afin de résoudre des exercices.
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Die Linearitätseigenschaft ist die Fähigkeit eines Systems, an seinem Ausgang alle möglichen linearen Kombinationen von Signalen zu erhalten, die an seinem Eingang vorhanden sind.
Daher wird bei einer gegebenen willkürlichen linearen Kombination irgendeines Signals 𝑴 am Eingang eines linearen Systems 𝑺 sein Ausgang die gleiche lineare Kombination der Antworten 𝑴 des Systems auf jedes dieser Signale separat sein.
Somit ist ein lineares System eines, das die wichtige Eigenschaft der Überlagerung besitzt: Bei einer Eingabe, die aus einer willkürlichen Überlagerung einzelner Signale besteht, verarbeitet ein lineares System diese Eingabe auf die gleiche Weise, als ob es eines nach dem anderen und jedes einzeln verarbeiten könnte die einzelnen überlagerten Signale und bilden dann die Ausgabe durch Überlagerung der auf die gleiche Weise erhaltenen einzelnen Ausgaben.
Der folgende Kurs zielt darauf ab, die Linearitätseigenschaft verschiedener Systeme zu demonstrieren, ausgehend von der Definition der Linearität. Sie lernen das Verfahren zur Analyse und Überprüfung, ob ein System linear ist oder nicht. Sie umfasst drei Klassen. Es kostet 14 Euro, mit Paypal als Zahlungsmethode. Kontaktieren Sie mich, ich gebe Ihnen das Paypal-Konto und nach Zahlungseingang schicke ich Ihnen ein individuelles Passwort, mit dem Sie drei Monate ab Zahlungsdatum Zugang haben.
Die Linearität von Systemen ist eine der wichtigsten Eigenschaften, die Sie in Ihrer Ingenieurkarriere gründlich verstehen müssen. Ich habe mich bemüht, Ihnen eine detaillierte Erklärung zu geben, aber wenn es nicht ausreicht, können Sie sich darauf verlassen, dass ich einen Online-Kurs durchführe, um Übungen zu lösen.
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Therefore, given an arbitrary linear combination of any signal 𝑴 at the input of a linear system 𝑺, its output will be the same linear combination of the responses 𝑴 of the system to each of those signals separately.
Thus, a linear system is one that possesses the important property of superposition: given an input consisting of an arbitrary superposition of individual signals, a linear system processes that input in the same way as if it could process one by one and separately each one of the individual superimposed signals and then build the output by superimposing the individual outputs obtained in the same way.
The following course aims to demonstrate the linearity property of different systems, from the definition of linearity. You will be able to learn the procedure to analyze and verify if a system is linear or not. It comprises three classes. It has a cost of 14 euros, using Paypal as a method of payment. Contact me, I will give you the Paypal account and once the payment is received I will send you an individual password that will give you access for three months from the date of payment.
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