Base de conocimiento

The Learning Organization

Learning Organization – Conceptual Framework.

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The basic meaning of a learning organization is an organization that is continually expanding its capacity to create its future.

The five "component technologies" to innovate learning organizations.

The ferment in management will continue until we build organizations that are more consistent with man’s higher aspirations beyond food, shelter and belonging.» Moreover, many who share these values are now in leadership positions. I find a growing number of organizational leaders who, while still a minority, feel they are part of a profound evolution in the nature of work as a social institution. «Why can’t we do good works at work?» asked Edward Simon, president of Herman Miller, recently.

Business is the only institution that has a chance, as far as I can see, to fundamentally improve the injustice that exists in the world. But first, we will have to move through the barriers that are keeping us from being truly vision-led and capable of learning.» Perhaps the most salient reason for building learning organizations is that we are only now starting to understand the capabilities such organizations must possess.

For a long time, efforts to build learning organizations were like groping in the dark until the skills, areas of knowledge, and paths for development of such organizations became known. What fundamentally will distinguish learning organizations from traditional authoritarian «controlling organizations» will be the mastery of certain basic disciplines. That is why the «disciplines of the learning organization» are vital.

Today, I believe, five new «component technologies» are gradually converging to innovate learning organizations. Though developed separately, each will, I believe, prove critical to the others’ success, just as occurs with any ensemble. Each provides a vital dimension in building organizations that can truly «learn,» that can continually enhance their capacity to realize their highest aspirations:

  1. Systems thinking is a conceptual framework, a body of knowledge and tools that has been developed over the past fifty years, to make the full patterns clearer, and to help us see how to change them effectively.
  2. Personal Mastery. People with a high level of personal mastery are able to consistently realize the results that matter most deeply to them— in effect, they approach their life as an artist would approach a work of art. They do that by becoming committed to their own lifelong learning. Personal mastery is the discipline of continually clarifying and deepening our personal vision, of focusing our energies, of developing patience, and of seeing reality objectively. As such, it is an essential cornerstone of the learning organization—the learning organization’s spiritual foundation. But surprisingly few organizations encourage the growth of their people in this manner. This results in vast untapped resources: «People enter business as bright, welleducated, high-energy people, full of energy and desire to make a difference,» says Hanover’s O’Brien. «By the time they are 30, a few are on the «fast track» and the rest ‘put in their time’ to do what matters to them on the weekend. They lose the commitment, the sense of mission, and the excitement with which they started their careers. We get damn little of their energy and almost none of their spirit.» And surprisingly few adults work to rigorously develop their own personal mastery. Here, I am most interested in  the connections between personal learning and organizational learning, in the reciprocal commitments between individual and organization, and in the special spirit of an enterprise made up of learners.
  3. Mental Models. The discipline of working with mental models starts with turning the mirror inward; learning to unearth our internal pictures of the world, to bring them to the surface and hold them rigorously to scrutiny. It also includes the ability to carry on «learningful» conversations that balance inquiry and advocacy, where people expose their own thinking effectively and make that thinking open to the influence of others.
  4. Building Shared Vision. The practice of shared vision involves the skills of unearthing shared «pictures of the future» that foster genuine commitment and enrollment rather than compliance. In mastering this discipline, leaders learn the counterproductiveness of trying to dictate a vision, no matter how heartfelt.
  5. Team Learning. How can a team of committed managers with individual IQs above 120 have a collective IQ of 63? The discipline of team learning confronts this paradox. We know that teams can learn; in sports, in the performing arts, in science, and even, occasionally, in business, there are striking examples where the intelligence of the team exceeds the intelligence of the individuals in the team, and where teams develop extraordinary capacities for coordinated action. When teams are truly learning, not only are they producing extraordinary results but the individual members are growing more rapidly than could have occurred otherwise. If a learning organization were an engineering innovation, such as the airplane or the personal computer, the components would be called «technologies.»

For an innovation in human behavior, the components need to be seen as disciplines. By «discipline,» I do not mean an «enforced order» or «means of punishment,» but a body of theory and technique that must be studied and mastered to be put into practice. A discipline is a developmental path for acquiring certain skills or competencies. As with any discipline, from playing the piano to electrical engineering, some people have an innate «gift,» but anyone can develop proficiency through practice.

System Thinking - The Fifth Discipline

It is vital that the five disciplines develop as an ensemble. This is why systems thinking is the fifth discipline. It is the discipline that integrates the disciplines, fusing them into a coherent body of theory and practice. It keeps them from being separate gimmicks or the latest organization change fads. Without a systemic orientation, there is no motivation to look at how the disciplines interrelate. By enhancing each of the other disciplines, it continually reminds us that the whole can exceed the sum of its parts.

But systems thinking also needs the disciplines of building shared vision, mental models, team learning, and personal mastery to realize its potential. Building shared vision fosters a commitment to the long term. Mental models focus on the openness needed to unearth shortcomings in our present ways of seeing the world. Team learning develops the skills of groups of people to look for the larger picture that lies beyond individual perspectives. And personal mastery fosters the personal motivation to continually learn how our actions affect our world. Without personal mastery, people are so steeped in the reactive mindset («someone/something else is creating my problems») that they are deeply threatened by the systems perspective.

At the heart of a learning organization is a shift of mind—from seeing ourselves as separate from the world to connected to the world, from seeing problems as caused by someone or something «out there» to seeing how our own actions create the problems we experience. A learning organization is a place where people are continually discovering how they create their reality. And how they can change it. People talk about being part of something larger than themselves, of being connected, of being generative.

Metanoia

The word is «metanoia» and it means a shift of mind. In the early (Gnostic) Christian tradition, it took on a special meaning of awakening shared intuition and direct knowing of the highest, of God.

To grasp the meaning of «metanoia» is to grasp the deeper meaning of «learning,» for learning also involves a fundamental shift or movement of mind.

Real learning gets to the heart of what it means to be human. Through learning we re-create ourselves. Through learning we become able to do something we never were able to do. Through learning we reperceive the world and our relationship to it. Through learning we extend our capacity to create, to be part of the generative process of life. There is within each of us a deep hunger for this type of learning.

This, then, is the basic meaning of a «learning organization»—an organization that is continually expanding its capacity to create its future. For such an organization, it is not enough merely to survive. «Survival learning» or what is more often termed «adaptive learning» is important—indeed it is necessary. But for a learning organization, «adaptive learning» must be joined by «generative learning,» learning that enhances our capacity to create.

A few brave organizational pioneers are pointing the way, but the territory of building learning organizations is still largely unexplored. It is my fondest hope that this book can accelerate that exploration: The-Fifth-Discipline.

Source:

  • The Fifth Discipline – The Art and Practices of Learning Organizations. By Peter M. Senge – 1990

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Matemática aplicada - Appd Math, Probabilidades

Modelo probabilístico – Axiomas.

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Un modelo probabilístico es una descripción matemática de una situación incierta. Debe estar de acuerdo con un marco teórico fundamental que tenga dos ingredientes principales: null

Introducción

Un modelo probabilístico es una descripción cuantitativa de una situación, un fenómeno o un experimento cuyo resultado es incierto. Elaborar un modelo de este tipo implica dos pasos claves.

Primero, necesitamos describir los posibles resultados del experimento. Esto se hace especificando un Espacio Muestral del experimento y se denota con Ω.

En segundo lugar, especificamos una ley de probabilidad, que asigna probabilidades a los resultados o a colecciones de resultados. La ley de probabilidad nos dice, por ejemplo, si un resultado es mucho más probable que otro resultado.

Las probabilidades tienen que satisfacer ciertas propiedades básicas para ser significativas. Estos son los axiomas de la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, las probabilidades no pueden ser negativas. Curiosamente, habrá muy pocos axiomas, pero son poderosos y veremos que tienen muchas consecuencias. Veremos que implican muchas otras propiedades que no eran parte de los axiomas.

Espacio de muestra Ω y Evento (The sample space Ω)

Cada modelo probabilístico implica un proceso subyacente, llamado experimento, que producirá exactamente uno de varios resultados posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se denomina Espacio Muestral del experimento y se denota con Ω. Un subconjunto del espacio muestral, es decir, una recopilación de posibles resultados, se denomina Evento. Es importante tener en cuenta que en nuestra formulación de un modelo probabilístico, solo hay un experimento.

El espacio muestral de un experimento puede consistir en un número finito o infinito de resultados posibles. Los espacios muestrales finitos son conceptualmente y matemáticamente más simples. Aún así, los espacios muestrales con un número infinito de elementos son bastante comunes. Como ejemplo, considere lanzar un dardo sobre un objetivo cuadrado y ver el punto de impacto como resultado.

Independientemente de su número, los diferentes elementos del espacio muestral deben ser distintos y mutuamente excluyentes, de modo que, cuando se lleve a cabo el experimento, haya un resultado único.

Generalmente, el espacio muestral elegido para un modelo probabilístico debe ser colectivamente exhaustivo, en el sentido de que no importa lo que suceda en el experimento, siempre obtenemos un resultado que se ha incluido en el espacio muestral. Además, el espacio de muestra debe tener suficientes detalles para distinguir entre todos los resultados de interés para el modelador, mientras se evitan los detalles irrelevantes.

Para resumir: este conjunto denominado Espacio Muestral debe ser tal que, al final del experimento, siempre se pueda señalar uno y exactamente uno de los posibles resultados y decir que este es el resultado que se produjo. Los resultados físicamente diferentes deben distinguirse en el espacio muestral y corresponder a puntos distintos. Pero cuando decimos resultados físicamente diferentes, ¿qué queremos decir? Realmente queremos decir diferente en todos los aspectos relevantes, pero quizás no diferente en aspectos irrelevantes.

Leyes de Probabilidad

Supongamos que nos hemos asentado en el espacio muestral Ω asociado con un experimento en particular, proceso esbozado en el apartado anterior. Para completar el modelo probabilístico, ahora debemos introducir una Ley de Probabilidad.

Intuitivamente, una ley de probabilidad especifica la «probabilidad» de cualquier resultado , o de cualquier conjunto de posibles resultados (un evento, como lo llamamos antes) que forman parte del espacio muestral Ω. Más precisamente, la ley de probabilidad asigna a cada evento A, un número P (A), denominado probabilidad de A, que satisface los siguientes axiomas:

1. No negatividad.

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2. Aditividad. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces la probabilidad de su unión satisface lo siguiente:

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Más genéricamente, si el espacio muestral Ω tiene un número infinito de eventos y A1, A2, A3, A4,… es una secuencia de conjuntos disjuntos de eventos, entonces la probabilidad de su unión satisface lo siguiente:

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3. Normalización. La probabilidad de todo el espacio muestral Ω es igual a 1:

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Para visualizar en que consiste la ley de probabilidad, considere una unidad de masa que se «extiende» sobre todo el espacio muestral Ω. Entonces, P (A) es simplemente la masa total que fue asignada colectivamente a los elementos de A. En términos de esta analogía, el axioma de aditividad se vuelve bastante intuitivo: la masa total en una secuencia de eventos (o conjunto de eventos) separados es la suma de sus masas individuales

Hay muchas propiedades naturales que pueden derivarse de los anteriores enunciados. Por ejemplo, utilizando los axiomas de normalización y aditividad podemos encontrar la probabilidad del evento vacío (o conjunto vacío) P (Ø) como sigue

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Esto implica que:

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Modelo Discreto - Ley de probabilidad discreta

Si el espacio muestral consiste en un número finito de resultados posibles, entonces la ley de probabilidad se especifica por las probabilidades de los eventos que consisten en un solo elemento. En particular, la probabilidad de cualquier  evento {s1, s2, …., sn} es la suma de las probabilidades de cada uno de sus elementos:

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En el caso especial donde las probabilidades P(s1), P(s2), …, P(sn) son todas de un mismo valor, tomando en cuenta el axioma de normalización, obtenemos la siguiente ley.

Discrete Uniform Probability Law

Si el espacio muestral consta de n resultados posibles que son igualmente probables (es decir, todos los eventos de un solo elemento tienen la misma probabilidad), la probabilidad de cualquier evento A nos es dada por:

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Modelo Continuo

Los modelos discretos son conceptualmente mucho más fáciles. Los modelos continuos implican algunos conceptos más sofisticados. Los modelos probabilísticos con espacio muestral continuo se diferencian de sus homólogos discretos en que las probabilidades de los eventos de un solo elemento pueden no ser suficientes para caracterizar la ley de probabilidad.

Propiedades de las leyes de probabilidad

Las leyes de probabilidad tienen una serie de propiedades, que pueden deducirse de los axiomas. Algunos de ellas se resumen a continuación.:

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El rol de la teoría de probabilidades.

La teoría de la probabilidad puede ser una herramienta muy útil para hacer predicciones y decisiones que se aplican al mundo real. Ahora, si sus predicciones y decisiones serán buenas dependerá de si ha elegido un buen modelo. ¿Has elegido un modelo que proporcione una representación suficientemente buena del mundo real? ¿Cómo se asegura de que este sea el caso? Existe todo un campo, el campo de las estadísticas, cuyo propósito es complementar la teoría de la probabilidad utilizando datos para obtener buenos modelos. Y así tenemos el siguiente diagrama que resume la relación entre el mundo real, las estadísticas y la probabilidad. El mundo real genera datos. El campo de estadística e inferencia utiliza estos datos para generar modelos probabilísticos. Una vez que tenemos un modelo probabilístico, utilizamos la teoría de la probabilidad y las herramientas de análisis que nos proporciona. Y los resultados que obtenemos de este análisis conducen a predicciones y decisiones sobre el mundo real. Video sugerido: Interpretation and uses of Probability

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Fuentes:

  1. Introduction to probability (bertsekas, 2nd, 2008)
  2. Probability – The Science of Uncertainty and Data (MITx – 6.431x)

Revisión literaria hecha por:

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Matemática aplicada - Appd Math, Probability

Probabilistic model – models and axioms.

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A probabilistic model is a mathematical description of an uncertain situation. It must be in accordance with a fundamental framework which has two main ingredients:

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Introduction

A probabilistic model is a quantitative description of a situation, a phenomenon, or an experiment whose outcome is uncertain. Putting together such a model involves two key steps.

First, we need to describe the possible outcomes of the experiment. This is done by specifying a so-called sample space Ω.

Second, we specify a probability law, which assigns probabilities to outcomes or to collections of outcomes. The probability law tells us, for example, whether one outcome is much more likely than some other outcome.

Probabilities have to satisfy certain basic properties in order to be meaningful. These are the axioms of probability theory. For example probabilities cannot be negative. Interestingly, there will be very few axioms, but they are powerful, and we will see that they have lots of consequences. We will see that they imply many other properties that were not part of the axioms.

Sample space and Events

Every probabilistic model involves an underlying process, called the experiment,  that will produce exactly one out of several possible outcomes. The set of all possible outcomes is called the sample space of the experiment, and is denoted by Ω. A subset of the sample space, that is, a collection of possible outcomes, is called an Event. It is important to note that in our formulation of a probabilistic model, there is only one experiment.

The sample space of an experiment may consist of a finite or an infinite number of possible outcomes. Finite sample spaces are conceptually and mathematically simpler. Still, sample spaces with an infinite number of elements are quite common. As an example, consider throwing a dart on a square target and viewing the point of impact as the outcome.

Regardless of their number, different elements of the sample space should be distinct and mutually exclusive, so that, when the experiment is carried out, there is a unique outcome.

Generally, the sample space chosen for a probabilistic model must be collectively exhaustive, in the sense that no matter what happens in the experiment, we always obtain an outcome that has been included in the sample space. In addition, the sample space should have enough detail to distinguish between all outcomes of interest to the modeler, while avoiding irrelevant details.

To summarize– this set should be such that, at the end of the experiment, you should be always able to point to one, and exactly one, of the possible outcomes and say that this is the outcome that occurred. Physically different outcomes should be distinguished in the sample space and correspond to distinct points. But when we say physically different outcomes, what do we mean? We really mean different in all relevant aspects but perhaps not different in irrelevant aspects.

Probability Laws

Suppose we have settled on the sample space Ω associated with an experiment. To complete the probabilistic model, we must now introduce a Probability Law.

Intuitively, a probability law specifies the “likelihood” of any outcome, or of any set of possible outcomes (an event, as we called it early). More precisely, the probability law assigns to every event A, a number P(A), called the probability of A, satisfying the following axioms:

1. Nonnegativity.

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2. Additivity. If A and B are two disjoints events, then the probability of their union satisfies the following:

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More generally, if the sample space Ω has an infinite number of elements and A1, A2, A3, A4,… is a sequence of disjoint events, then the probability of their union satisfies:

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3. The probability of the entire sample space Ω is equal to 1, that is:

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In order to visualize a probability law, consider a unity of mass which is “spread” over the sample space Ω. Then, P(A) is simply the total mass that was assigned collectively to the elements of A. In terms of this analogy, the additivity axiom becomes quite intuitive: the total mass in a sequence of disjoint events is the sum of their individual masses.

There are many natural properties of a probability law which can be derived from them. For example, using the normalization and additivity axioms we may find out the probability of the empty event P(Ø) as following:

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This implies that:

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Discrete Model - Discrete Probability Law

If the sample space consists of a finite number of possible outcomes, then the probability law is specified by the probabilities of the events that consist of a single element. In particular, the probability of any event {s1, s2, …., sn} is the sum of the probabilities of its elements:

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In the special case where the probability P(s1), P(s2), …, P(sn) are all the same, in view of the normalization axiom we obtain the following law.

Discrete Uniform Probability Law

If the sample space consists of n possible outcomes which are equally likely (i.e., all single-element events have the same probability), the probability of any event A us given by:

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Continuous Model

Discrete models are conceptually much easier. Continuous models involve some more sophisticated concepts.

Probabilistic models with continuous sample space differ from their discrete counterparts in that the probabilities of the single-element events may not be sufficient to characterize the probability law.

Properties of Probability Laws

Probability laws have a number of properties, which can be deduced from the axioms. Some of them are summarized below:

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The role of Probability Theory

Probability theory can be a very useful tool for making predictions and decisions that apply to the real world. Now, whether your predictions and decisions will be any good will depend on whether you have chosen a good model. Have you chosen a model that’s provides a good enough representation of the real world? How do you make sure that this is the case? There’s a whole field, the field of statistics, whose purpose is to complement probability theory by using data to come up with good models. And so we have the following diagram that summarizes the relation between the real world, statistics, and probability. The real world generates data. The field of statistics and inference uses these data to come up with probabilistic models. Once we have a probabilistic model, we use probability theory and the analysis tools that it provides to us. And the results that we get from this analysis lead to predictions and decisions about the real world.  Suggested video: Interpretation and uses of Probability

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Sources:

  1. Introduction to probability (bertsekas, 2nd, 2008)
  2. Probability – The Science of Uncertainty and Data (MITx – 6.431x)

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Travel Writing

Requisitos Visa de Estudio España – Lo más importante.

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Resulta insuficiente la información que aparece en la página web del Ministerio de Asuntos Exteriores del Gobierno de España, referida a la solicitud de Visa de Estudio para un tiempo mayor de 90 días. En Guayaquil, hoy 4 de julio del 2019, mi esposa entregó en el Consulado Español todos los documentos solicitados en la siguiente dirección:

http://www.exteriores.gob.es/Consulados/GUAYAQUIL/es/InformacionParaExtranjeros/Paginas/VisadosGuayaquil/Visado_Estudios.aspx

Sin embargo, sólo al pagar la cita y la tasa ($70) y asistir a dicha cita, fue correctamente atendida e informada de los requisitos para obtener la Visa, entre los cuales destaca el requerimiento imprescindible de contar con al menos 9.000 dólares en una cuenta bancaria (o tarjeta de crédito, beca, préstamo..por la misma cantidad).

La funcionaria que le atendió, hizo caso omiso al resto de los documentos presentados: seguro médico, boleto aéreo (sólo se requiere la reserva), matrícula de estudio pagada, reserva de alojamiento, certificado médico, antecedentes penales…Ella fue directamente al estado de cuenta y de inmediato informó a mi esposa que no contaba con los recursos financieros suficientes, al menos 9.000 dólares, para un postgrado de un año en Andalucía.

Por tanto, es lo más importante para ellos, el capital. No vale la pena engañarse invirtiendo tiempo y dinero en el resto de los requisitos si no se cuenta con el principal. A continuación, una copia del documento donde aparecen los requisitos…el que debería circular en internet para evitar pecar de ingenuo:

Requerimientos de subsanación..

Visa Estudiante Requisitos

A modo de advertencia, cabe acotar que a pesar de consultar a varios asesores que pululan como moscas alrededor de los consulados españoles en América, ninguno nos advirtió de ese requisito principal, resaltando que en la mayoría de dichos asesores priva la necesidad de cobrar primero por gestiones como la reserva aérea o el seguro médico, antes que espantar al cliente potencial con la información esencial sobre el capital.

Nuevo resguardo de solicitud de protección internacional - España

Resguardo proteccion internacional España

Para mayor información:

Prof. Larry

whatsapp +34 633129287

Matemática básica

Símbolos matemáticos básicos más importantes – Tutor Larry

carakenio73

Lógica de predicados.

Cuantificadores.

  1. Cuantificador existencial (∃). Se utiliza para decretar que un elemento cualquiera, existe en las matemáticas, y exhibe tal o cual propiedad. Se lee existe.
  2. Cuantificador existencial con unicidad (∃!). Decreta que existe un único elemento que cumple con cierta propiedad. Se lee existe un único.
  3. Cuantificador universal (∀). Expresa que tal propiedad se cumple para la totalidad de un conjunto de elementos. Se lee para todos.
  4. Tal que (/). Todos los elementos tal que se verifique una propiedad particular. También se utiliza para este caso el símbolo (:)

Ejemplo:

  1. Supongamos que queremos resolver la siguiente ecuación:

Si sabemos que la ecuación tiene solución, y expresamos esa solución con palabras, diríamos:

Utilizando la notación Lógica de predicados, podemos escribir de forma matemática la declaración anterior de la siguiente manera:

También se puede escribir:

 

  1. La expresión ‘para todo x se cumple que x=x’ se puede escribir como:

 

 

Órdenes parciales.

Comparación.

  1. El símbolo significa menor que, por tanto, la expresión  significa: a menor que b.
  2. El símbolo significa mayor que, por tanto, la expresión  significa: a mayor que b.
  3. El símbolo significa menor o igual que, por tanto, la expresión  significa: a menor igual que b.
  4. El símbolo significa mayor que, por tanto, la expresión  significa: a mayor o igual que b.

 

Teoría de conjuntos.

Pertenencia.

  1. Pertenece a (). Se lee pertenece a. Lo contrario se escribe (). Supongam0s que tenemos un conjunto A, y tenemos un elemento que pertenece al conjunto A, podemos escribir esto como:

Lo cual se lee como  pertenece a A.

Inclusión de símbolos.

  1. Contenido en ().Se lee está contenido en. Lo contrario se escribe (). Supongam0s que tenemos un conjunto A, y tenemos otro conjunto Si el conjunto A está incluido en el conjunto B, podemos escribir esto como:

Lo cual se lee como A está incluido en B.

  1. Subconjunto o igual que ().Se lee es subconjunto de o es igual que. Lo contrario se escribe () que se lee ni subconjunto de o no es igual que.

 

 

 

 

Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Diseño del error en estado estable de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

carakenio73

Analizamos dos vías para mejorar el error en estado estable de un sistema de control con realimentación, utilizando la compensación en cascada. Un objetivo fundamental de este diseño es mejorar el error en estado estable sin modificar significativamente la respuesta transitoria.

Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

Compensación en Cascada - Controlador PI

El error en estado estable de un sistema de control puede ser mejorado directamente, colocando un polo en el origen en el camino de transferencia directa (an open-loop pole at the origin), debido a que esto eleva el número de tipo del sistema. Pero generalmente interesa lograr esta reducción sin modificar la respuesta transitoria de dicho sistema.

Por ejemplo, un sistema de tipo 0, que responde a una entrada escalón unitario con un error finito, al ser elevado a sistema tipo 1, responderá a la misma entrada con un error en estado estable igual a cero.

Sin embargo, si añadimos un polo en el origen para incrementar el valor del tipo de sistema, de cero a uno por ejemplo, la contribución angular de los polos a lazo abierto en un punto hipotético A no será de 180, y así el punto A no estará en el LGR (no intercepta el LGR)  del sistema compensado (es decir, se modificará notablemente la respuesta transitoria del sistema), como se puede observar en las Figuras 3.a y 3.b:

Figura 3.

Para resolver este problema, además de añadir el polo en el origen, también añadimos un zero cercano a ese polo en el origen, como se puede observar el la Figura 4:

Figura 4.

Ahora, la contribución angular de los polos y zeros a lazo abierto del punto hipotético A vuelve a ser 180 debido a que la contribución angular del compensador zero se cancela con la compensación angular del compensador polo. Es decir, el punto A vuelve a estar en el LGR del sistema compensado. De esta manera mejoramos el error en estado estable sin modificar la respuesta transitoria del sistema.

Un compensador con un polo en el origen y un zero cerca de dicho polo en el origen, es conocido como  Compensador Ideal Integral (Ideal Integral Compensator), o Proportional-Plus-Integral, mejor conocido como  Controlador PI, cuya función de transferencia Gc(s)  es de la forma:

El siguiente ejemplo nos permitirá descubrir como trabaja un Controlador PI.

Para el sistema de control de la Figura 5, se requiere reducir el error en estado estacionario a cero, mediante un controlador PI, manteniendo un factor de amortiguamiento ξ=0.173. La función de transferencia de la planta es G(s) y su controlador original está representado por la ganancia k:

Figura 5.

El primer paso es evaluar el sistema antes de la compensación, y luego determinar la ubicación de los polos dominantes de segundo orden para el factor de amortiguamiento requerido por el enunciado de diseño.

El Lugar Geométrico de las Raíces del sistema sin compensar, se muestra en la Figura 6:

>> sgrid(z,0)
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 6.

Utilizando la línea de amortiguamiento con valor de aportada por Matlab, podemos encontrar el punto de intersección entre el LGR del sistema y ξ=0.173, como podemos observar en la Figura 7:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0)

Figura 7.

La intersección de la Figura 7 nos muestra que ajustando la ganancia k=165 del sistema original, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también en la Figura 5 que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación son:

Ahora buscamos el tercer polo del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño. Al desplazarnos por el LGR en la Figura 8 hasta alcanzar la ganancia k=165, podemos observar que el tercer polo s3 del sistema a lazo cerrado, está ubicado en:

Figura 8.

Con la ganancia k=165 procedemos a calcular el error en estado estable e1(∞) para una entrada escalón, antes de la compensación:

Donde kp1 es la constante de posición antes de la compensación y se calcula mediante la siguiente fórmula:

Dónde kG(s) es la función de transferencia directa del sistema con el ajuste de ganancia, antes de la compensación, tal como lo muestra la Figura 5. Por tanto:

Añadimos un compensador PI en cascada al sistema, como se muestra en la Figura 9:

Figura 9.

Aquí, hemos hecho coincidir la constante de ganancia del compensador con la constante de ganancia original, es decir, k=ki. La constante a está determinada por la posición de decidamos otorgar al zero del compensador. Debido a que es ideal colocar este zero muy cerca del polo en el origen, seleccionamos el punto sobre el eje real s=-0.1 para ubicar el zero del compensador, es decir  a=0.1. El LGR del sistema así compensado se muestra en la Figura 10:

>> G=(s+0.1)/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 10.

En vista de que queremos mantener inalterada en lo posible la respuesta transitoria, en la Figura 11 trazamos la línea de amortiguamiento en el LGR y buscamos nuevamente el punto de intersección entre ξ=0.173  y las líneas del LGR:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0);

Figura 11.

La Figura 11 nos muestra que ajustando la ganancia k=159 del sistema compensado, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, después de la compensación son:

Para ubicar el tercer polo a lazo cerrado del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño, aprovechamos la misma Figura 11 y ajustamos la ganancia en la rama del tercer polo hasta alcanzar k=159, así obtenemos que:

Estos resultados muestran que aproximadamente se han conservado los valores de los 3 polos antes y después de la compensación PI, lo que indica una respuesta transitoria semejante luego de corregir el error en estado estable de 0.108 a 0, como se demuestra a continuación.

La función de transferencia directa G2(s)  de nuestro sistema después de la compensación es:

Calculamos nuevamente el error en estado estable e2(∞) para una entrada escalón, después de la compensación:

En consecuencia:

La Figura 12 compara la respuesta al escalón unitario del sistema  lazo cerrado antes y después de la compensación PI:

>> G1=165/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_antes=feedback(G1,1);
>> G2=(159*(s+0.1))/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_despues=feedback(G2,1);
>> step(G1,G2)

Figura 12.

La Figura 12 demuestra que mediante la compensación PI hemos logrado mejorar el error en estado estable sin modificar considerablemente la respuesta transitoria del sistema original.

Compensación en Cascada - Lag Compensation

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Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

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Control System Analysis, PID Control

Design via Root Locus – Improving Steady-state error via Cascade Compensation

carakenio73

We discuss two ways to improve the steady-state error of a feedback control system using cascade compensation. One objective of this design is to improve the steady-state error without appreciably affecting the transient response.

Improving Transient Response - Compensation

We have seen before that setting the gain at a particular value on the root locus yields the transient response dictated by the poles at that point on the root locus. Thus, we are limited to those responses that exist along the root locus. (See Sketching Root Locus with Matlab – Control Systems)

Unfortunately, most of the time the overshoot specification for designing control systems exceed the posibilities of the current root locus. What can we do then?

Rather than change the existing system, we augment, or compensate, the system with additional poles and zeros, so that the compensated system has a root locus that goes through the desired pole location for some value of gain. One of the advantages of compensating a system in this way is that additional poles and zeros can be added at the low-power end of the system before the plant. We should evaluate the transient response through simulation after the design is complete to be sure the requirements have been met.

There are two configurations of compensation mostly used in control systems design: cascade compensation and feedback compensation. These methods are modeled in Figure 1 and Figure 2:

Figure 1. Cascade Compensation of a control system.

With cascade compensation, the compensating network, G1(s), is placed at the low-power end of the forward path in cascade with the plant, Figure 1.

Figure 2. Feedback Compensation of a control system.

With feedback compensation, the compensator, H1(s), is placed in the feedback path, Figure 2.

Both methods change the open-loop poles and zeros, thereby creating a new root locus that goes through the desired closed-loop pole location.

Cascade Compensation - PI Controller

Steady-state error can be improved by placing an open-loop pole at the origin,
because this increases the system type by one. For example, a Type 0 system
responding to a step input with a finite error, will responds with zero error if the system
type is increased by one. But, we want to do this without affecting the transient response.

However, if we add a pole at the origin to increase the system type, the angular contribution of the open-loop poles at hypothetical point A is no longer 180, and the root locus no longer goes through point A, as shown in Figure 3.a and 3.b:

Figure 3.

To solve the problem, we also add a zero close to the pole at the origin, as shown
in Figure 4:

Figure 4.

Now the angular contribution of the compensator zero and compensator pole cancel out, point A is still on the root locus, and the system type has been increased. That is how we can improve the steady-state error without affecting the transient response.

A compensator with a pole at the origin and a zero close to the pole is called an ideal integral compensator, or Proportional-plus-Integral PI compensator, which transfer function Gc(s)  is:

Next example allows to find how PI compensation works.

For control system of Figure 5, it is required to reduce steady-state error to zero, through a PI controller, keeping damping at ξ=0.173. The plant transfer function is G(s) and its original controller is represented by the gain k:

Figure 5.

The first step is to evaluate the system before the compensation, then to find the location of the two closed-loop second-order dominant poles  in order to get the damping requiered by the design specifications.

Figure 6 shows the Root-Locus of the system before compensation:

>> sgrid(z,0)
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figure 6.

Using the damping line in Matlab, we can find the intersection point between the root-locus and the value ξ=0.173, as we can see in Figure 7:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0)

Figure 7.

The intersection of Figure 7 shows us that adjusting the gain to k=165 of the original controller, we obtain the damping requiered: ξ=0.173. We also see in Figure 7 that the closed-loop second-order dominant poles s1 and s2, before compensation are:

Now we look for the third pole in the root locus. In Figure 8 we must set the same gain k=165 at the third pole line, in consequence s3 is located at:

Figure 8.

With k=165 we calculate the steady-state error e1(∞) for a step input, before compensation:

Where kp1 the position constant before compensation:

Where kG(s) is the system forward transfer function multiplied by the adjusted gain, before compensation, as in Figure 5. Therefore:

We add a PI controller in cascade into the system, as in Figure 9:

Figure 9.

Here, we have matched the gain constant of the compensator with the original gain constant, that is to say k=ki. The constant a is determined by the location of compensator zero, wich must be near the compensator pole. That is why we set the compensator zero at s=-0.1 , that is to say  a=0.1. The root locus of this compensated system is in Figure 10:

>> G=(s+0.1)/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figure 10.

In view of the fact that we want to maintain the transient response as unchanged as possible, in Figure 11 we draw the damping line in the root locus and search for the point of intersection between the lines of the root locus and ξ=0.173:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0);

Figure 11.

Adjusting the gain to k=159 in Figure 11, we obtain the damping ξ=0.173. We see that closed-loop second-order dominant poles s1 and s2, after compensation, are:

Looking for the third pole in the root locus,  we must set the gain k=159 at the third pole line. After that, s3 is located at:

These results show that approximately the values ​​of the 3 poles before and after the PI compensation have been conserved, indicating a similar transient response after correcting the error in steady state from 0.108 to 0, as shwon later.

The forward transfer function G2(s)  of the system after compensation is:

One more time, we calculate steady-state error e2(∞) for a step input, after compensation:

In consequence:

Figure 12 compares the step response of the closed-loop system  before and after compensatio PI:

>> G1=165/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_antes=feedback(G1,1);
>> G2=(159*(s+0.1))/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_despues=feedback(G2,1);
>> step(G1,G2)

Figure 12.

Figure 12 shows that through PI compensation we have managed to improve the steady-state error without considerably modifying the transient response of the original system.

Compensación en Cascada - Lag Compensation

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  1. Control Systems Engineering, Nise

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Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Diseño de un compensador PD para alcanzar un sobrepaso de 16% – Sistema de control

carakenio73

Dado el sistema de la Figura 1, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y un tiempo de establecimiento que sea 1/3 del sistema sin compensar.

Figura 1.

Primero, vamos a evaluar el desempeño del sistema sin compensar. El Lugar Geométrico de la Raíz del sistema sin compensar se muestra en la Figura 2:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s*(s+4)*(s+6));

Figura 2.

Ya que un sobrepaso de 16% es equivalente a un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.504, buscamos a lo largo de la línea de amortiguamiento aquel punto que coincida con esta condición en la Figura 3:

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figura 3.

De acuerdo con la Figura 3, ajustando la ganancia a k=43.4 obtenemos ξ=0.504, un sobrepaso de 16% , y una frecuencia natural ω=2.39 rad/s. 

Basándonos en una aproximación de segundo orden, podemos utilizar el criterio del 2%, y podemos calcular el tiempo de establecimiento Ts1 antes de la compensación, en función de la frecuencia natural ω  y el factor de amortiguamiento ξ mediante la siguiente fórmula:

Sustituyendo los valores aportados por la simulación de la Figura 3 en la ecuación (1) obtenemos que:

Por otra parte, el valor del producto ω*ξ =1.2045 coincide con la parte real σ de los polos dominantes a lazo cerrado, lo que podemos constatar en la simulación de la Figura 3 ó mediante el siguiente comando en Matlab, tomando en cuenta que la función de transferencia directa es ahora G1:

>> G1=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G1,1)

>> damp(sys_antes)

El requerimiento de diseño, además de alcanzar un sobrepaso de 16%, es lograr una reducción del tiempo de establecimiento hasta 1/3 del original. Entonces, el tiempo de establecimiento Ts2 después de la compensación será:

Utilizando nuevamente la ecuación (1) en combinación con el resultado anterior, podemos saber que el valor del producto ω*ξ  después de la compensación debería ser:

Es decir, la parte real de los polos dominantes a lazo cerrado después de la compensación es σ=3.6137. Para hallar la parte imaginaria wd de dichos polos, nos valemos del triángulo formado por ambas partes en el LGR de la Figura 4:

Figura 4.

Es decir, después de la compensación, para lograr las condiciones solicitadas, deseamos como polo dominante de segundo orden, aquel localizado en  p=-3.6137+j6.1940.

Pero no debemos olvidar que se trata de una aproximación a un sistema de segundo orden, por lo que debemos utilizar el punto p como referencia.

La compensación PD consiste en añadir un controlador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:

Controlador que podemos implementar mediante la siguiente configuración:

Figura 5.

El próximo paso entonces es diseñar la localización del zero zc utilizando el punto p como referencia, y luego ver a que valores equivalen las ganancias k1 y k2.

Se deben sumar todos los ángulos aportados al diseño: el de los polos y zeros a lazo abierto antes de la compensación y el del punto de prueba p. El resultado es -275.6. La diferencia entre este resultado y 180 será la contribución requerida para el zero zc. Por lo tanto, la contribución angular requerida para el compensador zc es:

La geometría se muestra en la Figura 6, de donde podemos obtener la parte real zc para el compensador PD requerido mediante la siguiente fórmula:

Figura 6.

De donde:

Analizamos el LGR del sistema compensado en la Figura 7, tomando en cuenta que ahora la función de transferencia directa es G2:

>> G2=(s+3.006)/(s*(s+4)*(s+6));
>> rlocus(G2)

Figura 7.

De acuerdo con la Figura 8, ajustando la ganancia a k=47.4 (arrastrando el ratón con click derecho sobre el LGR) mantenemos ξ=0.504, un sobrepaso de 16% ,  el polo dominante de segundo orden deseado en s=-3.6137+j6.1940, a una frecuencia natural ω=7.17 rad/s.

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figura 8.

Con estos datos, analizamos el valor del tiempo de establecimiento Ts2 después de la compensación:

Lo que muestra que se ha cumplido con el objetivo. Mediante la Figura 9 podemos comparar la respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado antes y después de la compensación:

>> G=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> G3=(47.4*(s+3.006))/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G,1);
>> sys_despues=feedback(G3,1);
>> step(sys_antes,sys_despues)

Figura 9.

La respuesta mostrada en la Figura 9 permite evidenciar una considerable mejora en el tiempo de establecimiento y en general, la compensación permite contar con un sistema más rápido con un sobresalto que no varía mucho. Antes de la compensación, el tiempo de establecimiento a lazo cerrado es de  Ts=3.4712 s. Luego de la compensación, a lazo cerrado obtenemos un Ts=1.1527 s.

Un proceso de diseño alternativo en Matlab

Utilice MATLAB y su «Control System Toobox«, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:

  1. Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
  2. Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
  3. En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
  4. En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
  5. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  6. Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
  7. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
  8. Elija Settling time y click OK.
  9. Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
  10. Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
  11. Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
  12. Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
  13. Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
  14. Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
  15. Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.

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Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

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Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID Control

Design a PD compensator to yield a 16% overshoot – Control system

carakenio73

Given the system of Figure 1, design a PD compensator to yield a 16% overshoot, with a threefold reduction in settling time (one-third of the uncompensated system’s settling time).

Figure 1

Let us first evaluate the performance of the uncompensated system. The root locus for the uncompensated system is shown in Figure 2:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s*(s+4)*(s+6));

Figure 2

Since 16% overshoot is equivalent to ξ=0.504, we search along that damping ratio line in Figure 3:

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figure 3

According to Figure 3, adjusting the gain to k=43.4 we get ξ=0.504 and a natural frequency ω=2.39 rad/s. 

Based upon a second-order approximation, we can use the 2% criteria and calculate the settling-time Ts1 before the compensation, as a function of the naural frequency ω  and the damping ξ, by means of the following equation:

Simulation of Figure 3 generates the necessary values for equation (1), so that:

In the other hand, the value of the factor ω*ξ =1.2045 matches the real part σ  of closed-loop second-order dominant poles, as we can see in Figure 3 or by the following command in Matlab, taking into consideration that the straight-forward transfer function is now G1:

>> G1=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G1,1)

>> damp(sys_antes)

The desig requirements ask for an 16% overshoot and a reduction of the settling-time of 1/3 after compensation. So, the settling-time Ts2 after compensation is:

Using equation (1) we can know the value of the factor ω*ξ  after compensation:

That is to say, the real part of second-order dominant poles after compensation is σ=3.6137. To find the imaginary part wd we use the root-locus of  Figure 4:

Figure 4.

Consequently, after compensation the second-order dominant poles must be located at   p=-3.6137+j6.1940.

Now, to evaluate the whole system we will use point p as a test point.

PD compensation consists of a cascaded controller with a Gc(s) transfer funcion that is:

The configuration of such a controller is:

Figure 5.

Next step is to design the location of Zero zc using the test point p and finding the equivalent values for k1 and k2.

The result is the sum of the angles to the design point of all the poles and zeros of the compensated system except for those of the compensator zero itself. The difference between the result obtained and 180 is the angular contribution required of the compensator zc es:

The geometry is shown in Figura 6, where we can get the real part of zc by means of the following formula:

Figure 6.

From where:

Now, we study the root-locus of Figure 7, where the forward-path transfer function is G2:

>> G2=(s+3.006)/(s*(s+4)*(s+6));
>> rlocus(G2)

Figure 7.

According to Figure 8, adjusting the gain k=47.4 we keep ξ=0.504, an overshoot 16%,  the second-order dominant pole s=-3.6137+j6.1940, at a natural frequency ω=7.17 rad/s.

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figure 8.

With this new data, we evaluate the settling-time Ts2 after compensation:

It shows that we have achieved the design goal. Figure 9 compares the response of the closed-loop system to an step input before and after  PD compensation:

>> G=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> G3=(47.4*(s+3.006))/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_before=feedback(G,1);
>> sys_after=feedback(G3,1);
>> step(sys_before,sys_after)

Figure 9.

The response of Figure 9 shows a considerable improvement in the settling-time and, in general, the compensation allows a faster system with an overshoot that does not vary much. Before compensation,  Ts=3.4712 s. After compensation, Ts=1.1527 s.

An alternative design process in Matlab

Use MATLAB, the Control System Toobox, and the following steps to use SISOTOOL to perform the design of last Example.

  1. Type sisotool in the MATLAB Command Window.
  2. Select Import in the File menu of the SISO Design for SISO Design Task Window.
  3. In the Data field for G, type zpk([],[0,-4,-6],1) and hit ENTER on the keyboard. Click OK.
  4. On the Edit menu choose SISO Tool Preferences . . . and select Zero/pole/gain: under the Options tab. Click OK.
  5. Right-click on the root locus white space and choose Design Requirements/New . . .
  6. Choose Percent overshoot and type in 16. Click OK.
  7. Right-click on the root locus white space and choose Design Requirements/New . . .
  8. Choose Settling time and click OK.
  9. Drag the settling time vertical line to the intersection of the root locus and 16%
    overshoot radial line.
  10. Read the settling time at the bottom of the window.
  11. Drag the settling time vertical line to a settling time that is 1/3 of the value
    found in Step 9.
  12. Click on a red zero icon in the menu bar. Place the zero on the root locus real axis by clicking again on the real axis.
  13. Left-click on the real-axis zero and drag it along the real axis until the root locus intersects the settling time and percent overshoot lines.
  14. Drag a red square along the root locus until it is at the intersection of the root locus,
    settling time line, and the percent overshoot line.
  15. Click the Compensator Editor tab of the Control and Estimation Tools Manager window to see the resulting compensator, including the gain.

Source:

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Eléctrica, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de la Respuesta Transitoria de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

carakenio73

Se analizan la Compensación PD y la Compensación Lead, dos formas de mejorar la respuesta transitoria de un Sistema de control con realimentación, mediante el uso del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) y de la compensación en cascada. Por lo general el objetivo consiste en diseñar un respuesta que tenga un porcentaje de sobrepaso deseable y un tiempo de establecimiento más corto que el que tiene el sistema antes de la compensación.

Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

La primera técnica que presentada será la compensación derivativa ideal. Se agrega un diferenciador puro a la trayectoria directa del sistema de control con retroalimentación.

Compensación en Cascada - Controlador PD

Como se señalaba anteriormente, ante la inconveniencia de cambiar la estructura física de la planta, y con el fin de cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control, frecuentemente es necesario agregar polos y zeros a la función de transferencia directa de dicho sistema con el fin de obtener un Lugar Geométrico de las Raíces donde podamos seleccionar una ganancia que permita al sistema cumplir con las exigencias de diseño. Una manera de acelerar el sistema, que generalmente funciona de manera aceptable, es agregar un Zero en el camino de transferencia directa, justo antes de la planta y su controlador original.

Este Zero está representado por un compensador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:


Esta función, la suma de un diferenciador s y una ganancia pura Zc, es llamada compensación derivativa ideal  (ideal derivative compensation), o controlador PD (Proportional-Derivative). En resumen, una respuesta transitoria que no puede ser alcanzada con un simple ajuste de ganancia (controlador proporcional) puede ser obtenida aumentando la cantidad de zeros del sistema mediante un Controlador PD.

Vamos a utilizar el LGR de la Figura 3 para descubrir como trabaja un Controlador PD. En dicha figura tenemos un LGR para un sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) con realimentación unitaria, está dada por:

Si consideramos a K=1, los comandos para trabajar en Matlab serían:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G);

Figura 3. Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) para G(s)

Suponga que queremos operar el sistema de la Figura 3 con un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. La Figura 4 muestra que podemos lograr ese coeficiente de amortiguamiento con un simple ajuste de ganancia, para lo cual podemos utilizar un compensador proporcional que establezca una ganancia K=23.7:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado:

Figura 4. Localización en el LGR de ξ=0.4 a una ganancia K=23.7 

La Figura 5 nos muestra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado utilizando un controlador proporcional con una ganancia Kp=23.7, con lo que alcanzamos un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4 en el LGR del sistema. Se muestra además el valor de los parámetros más importantes de una respuesta transitoria:

>> G1=23.7/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys1=feedback(G1,1);
>> step(sys1);
>> stepinfo(sys1)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación.

Suponga ahora que queremos mantener el factor de amortiguamiento en el valor ξ=0.4, pero debemos mejorar el tiempo de alzamiento (rise time) y el tiempo de establecimiento (settling time). Es decir, queremos que el sistema sea más rápido. Esa tarea sería imposible utilizando sólo un controlador proporcional porque estamos limitados por el LGR del sistema según consta en las Figuras 3 y 4.

El sistema sin compensar, de la Figura 3, podría transformarse en un sistema compensado mediante la suma de un zero en s= -2. En la Figura 6 vemos como se transforma el LGR, utilizando un compensador en cascada (cascade compensator) cuya función de transferencia Gc(s) es:

>> G2=((s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G2);

Figura 6. LGR para el sistema compensado.

La Figura 7 nos muestra una vez más que podemos obtener un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. estableciendo una ganancia de K=51.2:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado::

Figura 7. Localización en el LGR de ξ=0.4

La Figura 8 ilustra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado que utiliza el controlador PD de función de transferencia Gc(s), en cascada con un controlador proporcional de ganancia Kp=51.2, con el fin de lograr un ξ=0.4. Se muestra además los parámetros de la respuesta transitoria obtenida:

>> G3=(51.2*(s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys2=feedback(G3,1);
>> step(sys2);
>> stepinfo(sys2)

Figur8 8. Respuesta al escalón unitario del sistema compensado a lazo cerrado. 

Manteniendo un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4, hemos mejorado el Tiempo de Levantamiento  (de 0.6841 s a 0.1955 s) y el Tiempo de Establecimiento  (de 3.7471 s a 1.1218 s). Sin embargo, lo hemos logrado a costa de un mayor Sobrepaso (de 23.3070 a 25.3568) y a costa de un pico más alto (de 0.8672 a 1.1420).

La Figura 9 compara las respuestas antes y después de la compensación PD:

>>step(sys1, sys2)

Figura 9. Respuesta al escalón unitario del sistema antes y después de la compensación.

La Figura 9 muestra también que el valor final del sistema compensado está más cerca del valor de referencia (1), por lo tanto el error en estado estable también ha mejorado después de la compensación PD (de 0.297 a 0.088). Sin embargo, los lectores no deben asumir que, en general, la mejora en la respuesta transitoria siempre produce una mejora en el error de estado estable.

Ahora que hemos visto lo que la compensación PD puede hacer, estamos preparados para diseñar nuestro propio compensador PD para cumplir con especificaciones específicas de diseño para la respuesta transitoria.

1) Dado el sistema de la Figura 10, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y una reducción considerable del tiempo de establecimiento.

Figure 10.

En construcción…

Pero, cómo implementamos una compensación PD?

La compensación PD utilizada hasta ahora para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control, es implementada por un controlador PD (proportional-plus-derivative controller). En la Figura 11 se muestra una manera de implementar la compensación PD. La función de transferencia del controlador PD de la Figura 11 es:

Figure 11. Implementación del controlador PD.

Lead Compensation

Un compensador PD activo puede aproximarse con un compensador pasivo. Cuando se usan redes pasivas, un solo cero no puede ser producido. Más bien, se utiliza un compensador con un cero y un  polo. Sin embargo, si el polo está más lejos del eje imaginario que el cero, la contribución angular del compensador sigue siendo positivo y, por lo tanto, se aproxima a un solo cero equivalente al producido por un PD.

Es decir, la contribución angular del polo compensador se resta de la contribución angular del cero, pero no excluye el uso del compensador para mejorar la respuesta transitoria, ya que la contribución angular neta es positiva, al igual que para una
controlador PD de un solo cero.

Las ventajas de una red pasiva sobre un controlador de PD activo son (1) que no se requieren fuentes de alimentación adicionales y (2) que el ruido debido a la diferenciación es reducido.

Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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