Introducción - Definición de ecuación lineal
Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad. Un valor de la variable que haga que la ecuación sea una proposición cierta se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. Así, por ejemplo, 5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2. De manera similar, -2 es solución de la ecuación:
Porque cuando –2 sustituye a y en la ecuación, obtenemos:
La cual es una proposición verdadera.
Una clase importante de ecuaciones consta de aquellas denominadas ecuaciones polinomiales. En una ecuación polinomial, los dos lados pueden constar de uno o varios términos sumados algebraicamente; cada término incluye una potencia entera no negativa de la variable multiplicada por un coeficiente constante. El grado de la ecuación polinomial es la máxima potencia de la variable que aparece en la ecuación. Así, por ejemplo:
Una ecuación polinomial de grado 1 se denomina ecuación lineal; en tanto que una ecuación polinomial de grado 2 se llama ecuación cuadrática. La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:
donde a y b son constantes. Esta la ecuación lineal tiene una y sólo una solución, es decir, x=-b/a. Para graficar una ecuación lineal, es necesario fabricar una función lineal, generalmente mediante la estructura función afín:
Donde a es la pendiente de una recta (representa el aumento del valor de la función si x aumenta en 1) y b es el punto donde la recta intersecta el eje y. Para repasar esta materia ver: The graph of a polynomial function, de donde extraemos la siguiente figura:
Ejemplo: Solución de problemas financieros mediante ecuaciones lineales
Los métodos algebraicos y la teoría vista sobre función afín, a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en finanzas y administración. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes.
EJEMPLO 1. (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma una hora y media realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?
Paso 1 Representar la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo una de ellas con x.
En este ejemplo, x: horas de trabajo de la vendedora.
Paso 2 Expresar todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x.
La otra cantidad relevante en este problema es V: ventas en dólares.
El enunciado sugiere que la relación entre las ventas (V) y las horas de trabajo (x) es lineal y se puede expresar como V en función de x de la siguiente manera:
Donde a es la pendiente de una recta y b el punto de su intersección (offset) con el eje vertical.
Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x.
Según el enunciado, la vendedora requiere de hora y media para realizar una venta de 100 dólares. Como la unidad de medida de x es la hora, debemos reacomodar este enunciado y expresarlo en horas. Lo podemos hacer de la siguiente forma, siempre buscando facilidad de comprensión. Si la vendedora en hora y media vende 100 dólares, en tres horas venderá 200 dólares, o sea, en una hora vende 200/3. Hay que recordar que este dato nos indica la pendiente de la recta que representa la relación entre x y V, siendo x la abscisa y V la ordenada (representa el aumento del valor de la función V si x aumenta en 1). Es decir, a=200/3. Luego, sabemos también que en cero horas de trabajo la vendedora obtiene cero dólares en venta, es decir, b=0. Por tanto:
Por otra parte, el salario S será de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas. Es decir, en un mes:
Sustituyendo:
Paso 4 Resolver la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos.
Este problema nos exige responder la pregunta siguiente: ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000? Es decir, para que S=2000. Entonces:
Es decir:
De donde despejamos x aplicando operaciones algebraicas:
Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal.
La vendedora necesitará trabajar 210 horas por mes, en promedio, para poder obtener ingresos por un valor de 2000$.
EJEMPLO 2 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo debe ser del 30%?
En construcción…
Our task is to linearize f (x) around xo = π / 2. As:
We find the following values and substitute them in the previous equation:
Then we can represent our nonlinear system by means of the following negative line equation:
The presence of the term cosx makes the previous one a non-linear equation. It is requested to linearize said equation for small excursions around x = π / 4.
So:
We proceed then to the substitution in the differential equation:
We now apply the derivation rules:
And for the term that involves the cosx function we apply the same methodology that we have just seen in the previous example for a given function, that is, linearize f (x) around xo = π / 4:
So:
And so:
Where (x-xo) is so small that it approaches δx. Mission accomplished, we will do this:
Where mx = df / dx evaluated at x = xo. Note that δx is now the independent variable, for which we use only a valid range of values around xo, so that δx is an excursion. Returning to Figure 2.47, this is the key tactic of the linearization process, we have created a coordinate system centered at point A, to replace the independent variable x with δx. We can continue using the δx notation or any other more practical notation such as:
Let’s see how this works through examples.
Where:
2. En segundo lugar debemos calcular los valores en el punto de equilibrio
3. Linealizar utilizando la Tabla 2:
Se pide linealizar en torno a x0=1 y p0=2.
Solución:
En este caso:
En el punto de equilibrio:
Sustituyendo el valor de x0=1 y p0=2 obtenemos que:
Al linealizar, aplicando las equivalencias de la tabla 2, obtenemos que:
El sistema linealizado tiene la siguiente representación:
Al sustituir valores obtenemos que el sistema linealizado tiene la siguiente representación:
Nuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:
Es decir, vamos a cambiar f(x)=5cosx, que es la representación de una curva con variable independiente x, por f(x)=f(x0)+mxXˆ, que es la representación de una recta con pendiente mx y una nueva variable independiente xˆ, que se supone intercepta al eje y en f(x0) (recordar cómo se interpreta la ecuación de una recta. Para un repaso completo ver: 
Entonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:
El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:
La presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.
Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:
Así:
Alguien podría preguntar que significa lo anterior. Significa que x-xo es una pequeña distancia que indica lo que nos podemos alejar de xo=π/4, que es el punto «alrededor» del cual debemos hacer la linealización. A esa pequeña distancia se le llama excursión δx. Ya que el símbolo δx debe ser utilizado muchas veces, porque se convierte en la nueva variable independiente, preferimos llamarla xˆ. En el procedimiento anterior despejamos a la variable x para sustituir este resultado en la ecuación original para que dicha ecuación nos quede expresada en función de la nueva variable xˆ.
Ok. Procedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:
Aplicamos ahora las reglas de derivación:
Y para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir, linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:
Entonces de acuerdo con la ecuación (1):
Pero, ya que:
Podemos afirmar que:
Por tanto, con estos resultados, podemos reescribir la ecuación diferencial:
O lo que es lo mismo:
Esta es la nueva representación de nuestra ecuación diferencial original, sólo válida si no nos alejamos mucho de xo=π/2. Note que esta nueva representación es una ecuación diferencial lineal, que es el objetivo del procedimiento.
Donde:
Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.
Donde:
Para ver la solución de este problema ver: 
Y así:
Donde mx=df/dx evaluado en x=xo. Note que δx es ahora la variable independiente, para la cual utilizamos sólo un rango válido de valores alrededor de xo, por lo que a δx le llamamos excursión. Volviendo a la Figura 2.47, ésta es la táctica clave del proceso de linealización, hemos creado un sistema de coordenadas centrado en el punto A, para sustituir la variable independiente x por δx. Podemos seguir utilizando la notación δx o cualquier otra más práctica como:
Veamos cómo funciona esto mediante ejemplos.
Así:
The system may be a mechanical system such as an automobile suspension or an electrical circuit, or an economic market. It is impacted by some external signal. We are interested in understanding how the system responds to the external stimulus.
dademuchconnection 