Sistemas de Control – Análisis de Señales y Sistemas – Procesamiento de Señales – Ingeniería Eléctrica
Autor: carakenio73
Estudié Ingeniería Eléctrica en la Universidad Central de Venezuela, Ingeniería Electrónica y Administración del Turismo en la Universidad Simón Bolívar. Me dedico a la redacción de documentos técnicos, a la asesoría empresarial y educativa.
El circuito de la Figura siguiente está alimentado por un generador de c.a. v(t)
Los aparatos de medida dan los siguientes resultados:
Además, se sabe que Z1 es completamente inductiva, Zaes una impedancia capacitiva con fase -70°, Z2 es una impedancia completamente resistiva y Zb es una impedancia con componente inductivo y resistivo.
Se pide:
La lectura del amperímetro IT.
La lectura del voltímetro V2.
La lectura del vatímetro P1.
Solución:
Lectura del amperímetroIT. Para hallar IT utilizamos la ley de corrientes de Kirchhoff y la siguiente relación:
Vamos a determinar Ia en primer lugar. Sabemos que la impedancia Za es capacitiva, con fase -70°. Conviene definir Va como el voltaje de referencia. Además, en el diagrama del circuito vemos claramente que Ia=Va/Za y además Va = Vb. Entonces:
En consecuencia:
Además es importante saber que:
Para determinar Ib, determinaremos el valor de la fase de la impedancia Zb para luego aplicar:
Calcularemos la fase de la impedancia Zb mediante las siguientes fórmulas:
La potencia aparente Sb relativa a la impedancia Zb es la siguiente:
Luego:
Para calcular Pb, utilizamos la potencia medida por P2, que es la potencia activa consumida por los componentes resistivos de las impedancias Za y Zb:
Este resultado nos permite determinar Qb:
Con estos datos, la impedancia Zb queda definida como:
En consecuencia:
Recordamos que:
Por lo tanto:
De donde:
En conclusión, la lectura del amperímetro es IT =28.09 A.
2. Lectura del voltímetroV2. Podemos determinar V2 mediante la siguiente fórmula:
Como ya conocemos Vb vamos a calcular primero a V1, del cual gracias a los datos del problema ya conocemos su módulo:
Por la impedancia Z1 circula IT. Podemos utilizar este hecho para determinar la fase de V1, ya que en una impedancia puramente inductiva, la corriente se retrasa con respecto al voltaje en 90°. Por lo tanto:
Para determinar el módulo de V2, aprovechamos el hecho de que la impedancia Z2 es puramente resistiva. Esto significa que V2 está en fase con la corriente IT la cual atraviesa Z2. Es decir:
De los datos del problema sabemos que:
De esta manera:
Considerando el módulo de la expresión anterior, obtenemos que:
Simplificando:
De donde:
En conclusión, la lectura del voltímetro es V2 = 338.12 V
3. Lectura del potenciómetroP1: El amperímetro mide el consumo de potencia activa en la red. A parte de la potencia medida por P2, R2 es la única resistencia que consume potencia. Por tanto:
En conclusión, la lectura del potenciómetro es P1 = 16698 W.
The z-transform is an extension of the DTFT (The Discrete-Time Fourier Transform) to overcome two shortcomings of the DTFT approach: First, there are many important signals for which the DTFT does not exist. Take the case of the step u[n]. Second, the transient response of a system due to initial conditions or due to changing inputs cannot be computed using the DTFT approach.
In consequence, the bilateral version of the z-transform provides another domain in which a larger class of sequences and systems can be analyzed. Meanwhile, the unilateral version of the z-transform can be used to obtain the response of systems with initial conditions or changing inputs.
THE BILATERAL Z-TRANSFORM
The z-transform of an arbitrary sequence x[n] is given by:
where z is a complex variable called the complex frequency:
The set of values for which X[z] exists is called the region of convergence (ROC) and is given by:
For some non-negative numbers Rx- and Rx+. Since the ROC defined in terms of the module of z, the shape of the ROC is an open ring, as show in Figure 1:
Figure 1. A general region of convergence.
Another way of defining the ROC is:
When:
Hence, the DTFT X[ejω] may be viewed as a special case of the z-transform X[z].
The inverse z-transform of a complex function X[z] is given by:
where Cis a counterclockwise contour encircling the origin and lying in the ROC.
Example 1.
Let x1[n] a positive-time sequence:
Then:
Note: in example 1:
That is, has a zero at the origin (z=0) and a pole in z=a.
Summarizing:
Example 1 is s special case of a right-side sequences, defined as a sequence x[n] that is zero for some n<n0. The ROC of a right-side sequence is always outside of a circle of radius Rx-. In the case of example 1, Rx-=a. If n0 ≥ 0, then the right-side sequence is also called a casual sequence. Note that if a=1, example 1 is the z-transform of the unit step. That is to say:
Example 2
Let x2[n] a negative-time sequence:
Then:
Example 2 is s special case of a left-side sequences, defined as a sequence x[n] that is zero for some n>n0. The ROC of a left-side sequence is always inside of a circle of radius Rx+. In the case of example 2, Rx+=b. If n0<=0, then the right-side sequence is also called an anticasual sequence.
Example 3
Let x3[n] a two-side sequence:
Then:
Example 3 is s special case of a two-side sequences. The ROC of a two-side sequence is always an open ring Rx+ <IzI<Rx+ if it exist.
Another considerations about ROC are as follows:
The sequences that are zero for n<n1 and n>n2 are called finite-duration sequences. The ROC of such sequences is the entire z-plane. If n1<0, then z=+∞ is not in the ROC. If n2>0, then z=0 is not in the ROC.
The ROC cannot include a pole since X(z) converges uniformly in there.
There is at least one pole on the boundary of a ROC of a rational X(z).
The ROC is one contiguous region; that is, the ROC does not come in pieces.
In digital signal processing, signals are assumed to be casual since almost every digital data is acquired in real time. Therefore, the only ROC of interest is those of the same type of example 1.
La Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT – Discrete-Time Fourier Transform) de la respuesta al impulso de un sistema (respuesta impulsiva) se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de Transferencia) de un sistema LTI.
Anterioirmente habíamos manifestado queLa Transformada de Fourier es la representación más útil para un sistema LTI (La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto – DTFT). Esto es debido a la siguiente razón:
RESPUESTA A LA EXPONENCIAL COMPLEJAejωon
Sea ejωonla entrada a un sistema LTI con respuesta impulsiva h[n]:
Entonces:
Definición:
RESPUESTA EN FRECUENCIA: La Transformada de Fourier de tiempo discreto de La Respuesta al Impulso se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de transferencia) de un sistema LTI y se denota por:
En consecuencia, si x[n]es la entrada a un sistema LTI:
El sistema puede ser representado por:
Lo que es equivalente a escribir:
y la salida y[n] del sistema es:
Por tanto, la secuencia de salida es la secuencia de entrada modificada por la respuesta del sistema a la frecuencia ω0. Esto justifica la definición de H[ejω] como la respuesta en frecuencia porque es lo que se multiplica el exponencial complejo ejωon para obtener la salida y[n]. Este es un resultado poderoso que puede extenderse a una combinación lineal de exponenciales complejas utilizando la propiedad de linealidad de los sistemas LTI:
Respuesta a secuencias sinusoidales
Equation (2) is also a powerful result because of the way it facilitates a faster determination of output to any very-used signal capable of being represented by a combination of complex exponentials, such as sinusoidal sequences. Take the case of the following x[n] being an input to an LTI system h[n]:
La ecuación (2) también es un resultado poderoso debido a la forma en que facilita una determinación más rápida de la salida a cualquier señal de entrada capaz de ser representada por una combinación de exponenciales complejas, como secuencias sinusoidales. Tomemos el caso siguiente en que la entrada x[n] un sistema LTI con h[n] es de la forma:
You already know how to use Euler to represent x[n] in this case as a combination of complex exponentials. So, we can get directly to what we want to point out, the power of equations (2) and (3) to faster knowledge of the output y[n]:
Ya sabemos como utilizar Euler para representar la x[n] de este ejercicio, como una combinación de exponenciales complejos. Entonces, directamente podemos utilizar el poder de las ecuaciones (2) y (3) para determinar rápidamente la salida y[n] del sistema:
En general, la respuesta en frecuencia es una función compleja de ω. Esto significa que tiene una magnitud y una fase. En otras palabras, se puede representar como un fasor:
En consecuencia:
Ejemplo 1
Determine la salida y[n] de un sistema LTI descrito por su Respuesta al Impulso h[n], cuando la entrada es x[n]:
Graficar la amplitud y la fase de la Respuesta en Frecuencia H[ejω].
Solución:
Utilizando la ecuación (1) obtenemos la Respuesta en frecuencia H[ejω] del sistema:
Utilizando ala ecuación 3.1, podemos obtener la amplitud y la fase de H[ejω]:
En consecuencia:
Para graficar ampitud y fase de H[ejω] en Matlab, podemos utilizar el siguiente script:
w=[0:1:500]*pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.9*ones(1,501)); magH=abs(H); angH=angle(H); plot(w/pi,magH);grid; xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘|H[e^jω ]|’); title (‘Magnitude of |H[e^jω ]|’);
w=[0:1:500]pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(iw)./(exp(iw)-0.9ones(1,501)); magH=abs(H); angH=angle(H); plot(w/pi,angH);grid; xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘<H[e^jω’); title (‘Angle of H[e^jω ]’);
Respuesta a entradas arbitrarias
Finally, Equation (2) can be applied to any arbitrary absolutely summable sequence. Suppose an arbitrary sequence x[n] and its DTFT X[ejω]. Take any system described by its Transfer Function H[ejω], then the response y[n] of this system to the input x[n] can be obtain by applying the IDTFT (inverse discrete-time Fourier transform) to Y[ejω], where Y[ejω] is:
Finalmente, la Ecuación (2) se puede aplicar a cualquier secuencia arbitraria absolutamente sumable que se presente en la entrada del sistema. Suponga una secuencia arbitraria x[n] y su DTFT X[ejω]. Tome cualquier sistema, descrito por su Respuesta en Frecuencia H[ejω], entonces la salida y[n] de este sistema a la entrada x[n] se puede obtener aplicando la IDTFT (transformada inversa de Fourier en tiempo discreto) a Y[ejω], donde Y[ejω] es:
Por lo tanto, cualquier sistema LTI puede ser representado en el dominio de la frecuencia, por el siguiente diagrama:
Las consecuencias de la ecuación (5) son monumentales en Ingeniería !!! A partir de allí, podemos construir la Transformada de Laplace (Laplace Transform) en el tiempo continuo, así como la Transformada Z (Z-Transform) en el tiempo discreto, lo cual es nuestro siguiente tema.
La Transformada Z es una poderosa herramienta que nos permite evitar el uso de integrales, operación obligada para determinar la IDTFT de Y[ejω]. Es decir, podremos obtener y[n] de manera algebraica más sencilla.
The Discrete-Time Fourier Transform of an impulse response is called The Frequency Response (or The Transfer Function) of an LTI system.
We early stated that the Fourier Transform representation is the most useful signal representation for LTI systems (The Discrete-Time Fourier Transform). That is true due to the following reason:
RESPONSE TO A COMPLEX EXPONENTIALejωon
Let ejωonbe the input to an LTI system represented by the impulse response h[n]:
Then:
Definition:
FREQUENCY RESPONSE: The Discrete-Time Fourier Transform of an impulse response is called The Frequency Response (or The Transfer Function) of an LTI system and is denoted by:
In consequence, if x[n]is the input to an LTI system:
The system can be represented by:
Note. This is equivalent to write:
and the output y[n] is as follows:
Hence, the output sequence is the input sequence modified by the response of the system at frequency ω0. This justifies the definition of H[ejω] as the frequency response because it is what the complex exponential ejωon is multiplied by to obtain the output y[n]. This is a powerful result that can be extended to a linear combination of complex exponentials using the linearity of LTI systems:
Response to sinusoidal sequences
Equation (2) is also a powerful result because of the way it facilitates a faster determination of output to any very-used signal capable of being represented by a combination of complex exponentials, such as sinusoidal sequences. Take the case of the following x[n] being an input to an LTI system h[n]:
You already know how to use Euler to represent x[n] in this case as a combination of complex exponentials. So, we can get directly to what we want to point out, the power of equations (2) and (3) to faster knowledge of the output y[n]:
In general, the frequency response is a complex function of ω. This means that it has a magnitude and a phase. In other words, can be represented as a fasor:
In consequence:
Example 1
Determine the output y[n] of a LTI system described by its Impulse Response h[n], when the input is x[n]:
Plot amplitude and phase of the Frequency Response H[ejω].
Solution:
Using equation (1) we obtain the Frequency Response H[ejω] of the system:
To use equation 3.1, we can obtain amplitude and phase of H[ejω]:
In consequence:
Plotting amplitude and phase of H[ejω] in Matlab, we use the following script:
w=[0:1:500]*pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.9*ones(1,501)); magH=abs(H); angH=angle(H); plot(w/pi,magH);grid; xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘|H[e^jω ]|’); title (‘Magnitude of |H[e^jω ]|’);
w=[0:1:500]pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(iw)./(exp(iw)-0.9ones(1,501)); magH=abs(H); angH=angle(H); plot(w/pi,angH);grid; xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘<H[e^jω’); title (‘Angle of H[e^jω ]’);
Response to Arbitrary Sequences
Finally, Equation (2) can be applied to any arbitrary absolutely summable sequence. Suppose an arbitrary sequence x[n] and its DTFT X[ejω]. Take any system described by its Transfer Function H[ejω], then the response y[n] of this system to the input x[n] can be obtain by applying the IDTFT (inverse discrete-time Fourier transform) to Y[ejω], where Y[ejω] is:
Therefore, any LTI system can be represented in the frequency domain by the following diagram:
The consequences of equation (5) is Monumental in Engineering !!! And from there, we get to Laplace Transform in continuous time and Z-Transform in discrete time.
The Z-Transform is a powerful tool that will allow us to avoid integral operations which is needed to determine the IDTFT of Y[ejω]. That is, we can obtain y[n] in a simpler algebraic way.
De la Transformada de Laplace y la Transformada de Fourier
A menudo se argumenta que la Transformada de Laplace es una herramienta excesivamente teórica y poco intuitiva, ya que implica una integración en el plano complejo y convierte una señal de variable real (el tiempo continuo) en una transformada de variable compleja (la variable s). Es decir, para representar la misma información es necesario utilizar dos variables en el dominio de Laplace, la parte real de s y la parte imaginaria de s, en lugar de solo una, tal y como se hace en el dominio temporal. A primera vista, no hay una razón evidente que justifique la necesidad de utilizar dos variables y ello hace que surjan alternativas para comprimir la redundancia que contiene la Transformada de Laplace y volverla a reducir a una sola dimensión. Una de estas alternativas se basa en la función exponencial est, que, como ya sabemos, presenta la propiedad de ser una autofunción de los sistemas LIT analógicos. Es decir, al excitar la entrada de un sistema analógico LIT de respuesta impulsional ℎ(𝑡) con la señal 𝑥(𝑡)= est, el sistema presenta una señal 𝑦(𝑡) a su salida dada por:
Dónde H(s) es la función de transferencia del sistema. El resultado anterior muestra cómo la señal exponencial que hay en la entrada vuelve a aparecer en la salida acompañada de un factor de escala, dado por la función de transferencia, el cual resume el comportamiento del sistema en función de la variable compleja s.
De entre todas las posibles señales exponenciales, hay una de ellas que es de especial interés para nosotros y que no es otra que la señal exponencial compleja: esto es, e jωt, en donde se ha llevado a cambio el cambio de variable s=𝒋ω . Este cambio es interesante porque la señal exponencial compleja tiene un significado físico más tangible, al poder ser interpretada como un fasor en el plano complejo rotando a una velocidad angular constante ω, cuya proyección en los ejes real e imaginario da lugar a las funciones cos(ω𝒕) y sen(ω𝒕), respectivamente. Estas señales co/sinusoidales son fácilmente generables en un laboratorio y corresponden, haciendo un símil acústico, a tonos de frecuencia pura.
Esto hace que, de todo el plano complejo definido por la variable de Laplace s, en la práctica nos interese restringirnos al caso s=𝒋ω. Esta particularización no solo hace más intuitivo el análisis en el dominio transformado a partir del uso de exponenciales complejas, sino que, además, reduce la Transformada de Laplace a una nueva transformada de una sola variable, ω.
Source:
Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
Oppenheim – Señales y Sistemas
Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
Cuando un sistema en tiempo discreto es lineal y invariante en el tiempo (sistema LIT), solo una representación se destaca como la más útil. Se llama Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) y se basa en el conjunto de señales exponenciales complejas {ejωn}.
THE DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM (DTFT)
Si x[n] es absolutamente sumable, esto es:
Entonces, la DTFT de x[n] está dada por:
Ejemplo 1.
Determine the DTFT of x[n]:
Solution.
Dado que X(ejω) es una función de valor complejo, deberá trazar su magnitud y su ángulo (o la parte real y la parte imaginaria) con respecto a ω por separado para poder graficar, es decir, describir visualmente X(ejω). Ahora ω es una variable real entre –∞ y +∞, lo que significa que solo podemos graficar una parte de la función X(ejω). Usando dos propiedades importantes de la DTFT, podemos reducir este dominio al intervalo [0, π] para secuencias de valores reales.
Los siguientes scripts de Matlab nos permite graficar cada parte de X(ejω) del ejemplo 1:
w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501)); magX=abs(X);angX=angle(X); plot(w/pi,magX); grid xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Magnitude’); title(‘Magnitude Part’)
This script yields:
w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501)); angX=angle(X); plot(w/pi,angX); grid xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Radians’); title(‘Angle Part’)
This script yields:
Ejemplo 2.
Determine the DTFT of the following finite-duration sequence:
Solution.
Dos propiedades importamtes
Las siguientes dos propiedades son esenciales para el análisis DTFT:
Algunos pares DTFT de gran importancia
A partir de las propiedades anteriormente mencionadas, la DTFT de las siguientes secuencias, Tabla 1, revelan ser muy útiles:
Propiedades de la DTFT
Ahora presentamos el resto de las propiedades de la DTFT en la Tabla 2:
These properties will be of remarkable value for the next application of the DTFT: The z-Transformation. Estas propiedades serán de notable valor para la próxima aplicación de la DTFT: la transformada z.
When the system is linear and discrete time-invariant (LIT system), only one representation stands out as the most useful. It is called The Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) and is based on the complex exponential signal set {ejωn}.
THE DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM (DTFT)
If x[n] is absolutely summable, that is:
Then, the Discrete-Time Fourier Transform of x[n] is given by:
Example 1.
Determine the DTFT of x[n]:
Solution.
Since X[ejω]is a complex-valued function, will have to plots its magnitude and its angle (or the real part and imaginary part) with respect to ω separately to visually describe X[ejω]. Now ω is a real variable between –∞ and +∞, which would mean that we can plot only a part of the X[ejω] function. Using two important properties of the DTFT, we can reduce this domain to the [0,π] interval for real-valued sequences.
The following Matlab script allows us to plot every part of X(ejω) of example 1:
w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501)); magX=abs(X);angX=angle(X); plot(w/pi,magX); grid xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Magnitude’); title(‘Magnitude Part’)
This script yields:
w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501)); angX=angle(X); plot(w/pi,angX); grid xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Radians’); title(‘Angle Part’)
This script yields:
Example 2.
Determine the DTFT of the following finite-duration sequence:
Solution.
Two important properties
The following two properties are essential for DTFT analysis:
Some common DTFT Pairs
Derived from the previous properties, the DTFT of the following sequences, Table 1, are very useful:
Properties of the DTFT
We now present the complete properties of the DTFT in Table 2:
These properties will be of remarkable value for the next application of the DTFT: The z-Transformation.
We early stated that the Fourier Transform representation is the most useful signal representation for LTI systems. That is true due to the following reason:
RESPONSE TO A COMPLEX EXPONENTIALejωon
Let be the input to an LTI system represented by the impulse response h[n]:
Then:
Definition: The FREQUENCY RESPONSE
FREQUENCY RESPONSE: The Discrete-Time Fourier Transform of an impulse response is called The Frequency Response (or The Transfer Function) of an LTI system and is denoted by:
In consequence, if x[n]is the input to an LTI system:
La siguiente guía contiene los procedimientos estándar de la cátedra de sistemas de control para el cálculo del error en estado estable. Cada problema tiene un costo de 12.5 euros. La Guía completa tiene un valor de 21.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal.
Problema 1. Para el sistema del diagrama de bloques 1 mostrado a continuación, determine: a) el error permanente en términos de k y k1, si E(s)=R(s)-Y(s). b) seleccione k1 para que el error de estado estacionario sea nulo, c) graficar para una entrada escalón.
Problema 2. Para el sistema de control indicado en el diagrama de bloques 2, determine: a) la ecuación del error estacionario, para K. Considere: K=1, 10, 100, y obtenga:
El error de estado estacionario
El gráfico y(t) para r(t) si d(t)=0
El gráfico y(t) para d(t) si r(t) =0
Presente una tabla para mostrar: Mp, ts al 2%, ess por r y por d.
Diagrama de bloques 2
Problema 3. Para el sistema del diagrama de bloques 4 mostrado a continuación, determine: a) el error permanente para una entrada rampa r(t)=t si t>0, en términos de K, km y kb; b) si km=10 y kb=0.05, seleccione K=? para que este error permanente sea igual a la unidad (1); c) graficar para una entrada escalón y para una rampa.
Error en estado estable – Problemas resueltos – Catálogo 10
Ejercicio de error en estado estable. Observación: Pago por un ejercicio. Solicitar la entrega en PDF al whatsapp +34633129287
Error en estado estable – Problemas resueltos – Catálogo 10 guía completa
Guía resuelta de los problemas que se enuncian en el artículo. Pago por tres ejercicios. Luego de pagar por favor solicitar entrega de soluciones en PDF al WhatsApp +34633129287
Filtro es un nombre genérico que se le da a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI por sus siglas en inglés) diseñado para un trabajo específico de selección de frecuencia o discriminación de frecuencia. Por lo tanto, los sistemas LTI de tiempo discreto también se denominan filtros digitales. Hay dos tipos de filtros digitales: filtros FIR y filtros IIR.
Introducción
Un sistema discreto LTI también se puede describir mediante una ecuación en diferencias de coeficientes constantes lineales de la forma:
Esta ecuación describe un enfoque recursivo para calcular la salida para la muestra n (o n muestras) dados los valores de entrada y los valores de salida calculados previamente. En la práctica, esta ecuación se calcula hacia adelante en el tiempo, desde n=-∞ a n=+∞. Por tanto, otra forma de escribir la ecuación (1) es:
FiltroFIR
Si la respuesta al impulso unitario de un sistema LTI es de duración finita, el sistema se denomina filtro de respuesta de impulso de duración finita (o FIR: finite-duration impulse response). Por tanto, para un filtro FIR h[n]=0paran<n1y paran>n2. La siguiente parte de la ecuación de diferencia (2) describe un filtro FIR causal:
Además, h[0]=bo , h[1]=b1 ,… h[M]=bM. mientras que todos los demás h[n]’s valen 0. Los filtros FIR también se denominan filtros no recursivos o de promedio móvil (MA: non-recursive or moving average). En Matlab, los filtros FIR se representan como valores de respuesta de impulso {h[n]} o como coeficientes de ecuación de diferencia {bm} y {a0 =1}. Por lo tanto, para implementar filtros FIR en Matlab, podemos usar la función conv(x,h) o la función filter(b,1,x). Vea el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.
Let the following rectangular pulse x[n] be an input to an LTI system with impulse response h[n]:
Determine the output y[n] of the system.
Solution:
In Elementary sequences we have implemented the function stepseqfor plotting the unit step function in discrete time, or any combination as example 1. Next Script allows plotting x[n].
Figure 4. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 1.
Hay una diferencia en los resultados de estas dos implementaciones que debe tenerse en cuenta. Como puede ver en la Figura 3, la secuencia de salida de la función conv(x,h) tiene una longitud mayor que las secuencias x[n] y h[n]. Por otro lado, la secuencia de salida de la función de filter(h,1,x) en la Figura 4 tiene exactamente la misma longitud que la secuencia de entrada x[n]. En la práctica, para la convolución de señales digitales se recomienda el uso de la función filter.
Cuidado: la función filter se puede utilizar para calcular la convolución indirectamente. Eso fue posible debido a que la respuesta al impulso en el ejemplo 1 era una secuencia exponencial infinita orientada a un lado para la cual podríamos determinar una representación de ecuación de diferencia. No todas las respuestas impulsionales de longitud infinita se pueden convertir en ecuaciones en diferencias.
IIR Filter
If the impulse response of an LTI system is of infinite duration, then the system is called an infinite-duration impulse response (or IIR) filter. The following part of the difference equation (2):
Si la respuesta al impulso de un sistema LTI es de duración infinita, entonces el sistema se denomina filtro de respuesta al impulso de duración infinita (o IIR: infinite-duration impulse response). Considere la siguiente parte de la ecuación en diferencias (2):
La ecuación previa describe un filtro recursivo en el que la salida y[n] se calcula de forma recursiva a partir de sus valores calculados previamente y se denomina filtro autorregresivo (AR: autoregressive). La respuesta al impulso de dicho filtro es de duración infinita y, por lo tanto, representa un filtro IIR. La ecuación general (2) también describe un filtro IIR. Tiene dos partes: una parte AR y una parte MA. Dicho filtro IIR se denomina promedio móvil autorregresivo o filtro ARMA. En Matlab, los filtros IIR se describen mediante los coeficientes de ecuación de diferencia {bm} y {ak} y se implementan mediante la función de filter(b,a,x). Vea el siguiente ejemplo:
Example 2
Given the following difference equation:
Calculate and plot the impulse response h[n] at n=-20,…,100
Calculate and plot the unit step response s[n] at n=-20,…,100
From Figure 1 we see that h[n] is practically zero n>120. Hence the sum:
Can be determined with the following script:
sum(abs(h))
This yields:
ans = 14.8785
That is to say:
This result implies that the system is stable. An alternate approach is to use the stability condition of the roots:
z=roots(a); magz=abs(z)
magz =
0.9487
0.9487
Dado que la magnitud de ambas raíces es menor que uno, el sistema es estable.
En realidad, hay dos formas de resolver una ecuación en diferencias con coeficientes constantes lineales: encontrar la solución particular y la homogénea; encontrar las respuestas de entrada cero y de estado cero (the zero-input and the zero-state responses). Es mediante el uso de la transformada z que podemos derivar un método para obtener ambos.
Esta función pulso puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, sobreimpuesta por un escalón U(t-to) de altura –A, que empieza en t=t0, es decir:
En este caso, la transformada de f(t) se obtiene mediante:
Aplicando la tabla para transformadas de Laplace (anexo) obtenemos:
Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso es:
Para el pulso rectangular, simplemente debemos considerar que:
Ejemplo 1. Gráfica en Matlab
Suponga un pulso rectangular f(t) de altura A=1 y ancho t0=1. El siguiente script representa la forma más inmediata de graficar f(t) en Matlab (en este ejemplo f(t)=h1(t) es la respuesta al impulso unitario de un sistema cualquiera):
>> t=0:0.1:4;
>> h1=rectpuls(t,2);
>> plot(t,h1)
El script anterior utiliza el tiempo t para graficar la señal. Sin embargo, representar el pulso rectangular mediante la transformada de Laplace (representación en frecuencia) y utilizar dicha representación en Matlab, ofrece enormes ventajas para el análisis de sistemas lineales, y para la misma programación en Matlab, el cual ofrece un exuberante Control Toolbox para el caso en que una función está representada en frecuencia (como la función step, o la función impulse utilizada más tarde). Por ejemplo, la convolución entre dos señales en el dominio del tiempo, es un simple producto entre dos señales en el dominio de la frecuencia. Es por ello que procedemos de la siguiente manera.
La función pulso rectangular f(t) de ancho t0 puede considerarse una función escalón U(t) de altura A, que empieza en t=0, y es luego anulada (no sobreimpuesta como el caso anterior) por un escalón U(t-to) de altura –A, que empieza en t=t0, es decir:
Por lo tanto, la transformada de Laplace la función pulso rectangular es:
Ejemplo 2. Gráfica en Matlab
Suponga el pulso rectangular f(t) de altura A=1 y ancho t0=1 del ejemplo 1. El siguiente script utiliza la transformada de Laplace la función pulso rectangular en combinación con la respuesta al impulso de un sistema cualquiera, para graficar el pulso rectangular:
Es de gran valor recordar que la respuesta al impulso en el dominio de la frecuencia nos permite obtener de manera inmediata la Función de Transferencia del sistema.
Con la ecuación (2) en la mano podemos adaptar este resultado a situaciones particulares. Suponga el caso de un pulso rectangular como el mostrado en la siguiente Figura:
Al aplicar el mismo procedimiento vemos que:
Por lo tanto, la transformada de Laplace la función de la Figura es como en la ecuación (3):
Gráfica en Matlab
En la ecuación anterior considere T=1, A=3. Es decir, dos pulsos rectangulares de ancho 1 y amplitud 3, que inicia en t=0. El siguiente script permite obtener la gráfica de f(t) en Matlab:
Ejemplo 3.
El siguiente código simula un pulso rectangular con un ancho de pulso deseado y el gráfico resultante:
fs=500; %sampling frequency T=0.2; %width of the rectangular pulse in seconds t=0.5:1/fs:0.5; %time base g=(t>-T/2).(t(t==T/2)+0.5(t==-T/2); g=(t>-T/2).(t<T/2)+0.5(t==T/2)+0.5(t==-T/2); %rectpuls(t,T); %using inbuilt function (signal proc toolbox) plot(t,g); title([‘Pulso Rectangular de ancho=’,num2str(T),’s’])
Sea S un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) analógico cualquier y sea h(t) su respuesta impulsiva. Considérese que la señal de entrada de S es una señal exponencial compleja de la forma siguiente:
Allí donde s0 es una constante compleja (s0 ∈ complejos)
Al calcular la señal de salida de S como resultado de la convolución entre x(t) y h(t), se observa lo siguiente:
En consecuencia:
Allí donde, independientemente de si h(t) es una señal real o compleja, H(s0) es un valor constante (no depende de t) y, en general, complejo (puesto que s0 ∈ complejos).
Así pues se observa que la salida de un sistema LTI analógico cualquier ante cualquier señal exponencial compleja de la forma expresada en la ecuación (1) es igual a esa misma señal exponencial compleja multiplicada por una constante. En concreto, por la señal denominada en la ecuación (2). Se observa además que dicha constante depende únicamente de h(t) (la respuesta impulsiva del sistema) y del valor de s0.
En este punto enunciamos el teorema de las autofunciones de los sistemas LTI analógicos:
En primer lugar conviene notar que la constante s0 tiene parte real y parte imaginaria:
Por lo tanto, vemos que las autofunciones de los sistema LTI analógicos pueden ser vistas como el resultado del producto de una señal exponencial real y una señal exponencial compleja:
Allí donde, σ0 y Ω0 son constantes reales (σ0 y Ω0∈ℜ)
Y en segundo lugar, puesto que todo sistema LTI es, por definición, lineal e invariante en el tiempo, ya podemos extraer la consecuencia más inmediata, pero de enorme importancia, del teorema de las autofunciones. Sea una combinación lineal arbitraria de M exponenciales complejas:
La salida de cualquier sistema LTI analógico S ante una entrada de la forma expresada en la ecuación anterior, es otra combinación lineal de las mismas exponenciales complejas:
Donde H(sk) se calcula a partir de h(t), la respuesta impulsiva de S, del siguiente modo:
A continuación se ilustra la utilidad práctica de las autofunciones.
Ejemplo 1
Sea S un sistema LTI analógico y sea h(t) su respuesta impulsiva:
Se pide calcular la salida del sistema S ante la siguiente señal de entrada:
Respuesta:
Para aplicar el teorema de autofunciones expresamos como una combinación lineal de exponenciales complejas:
Aplicando la ecuación (4), la salida es la siguiente:
Procedemos a calcular cada uno de los factores H(i):
Por otra parte:
Además:
Por lo tanto:
Finalmente la expresión definitiva para y(t) es:
En consecuencia:
Fuentes:
Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
Oppenheim – Señales y Sistemas
Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
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