Categoría: Análisis de sistemas de control

Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques

Diagrama de Bloques – Problemas resueltos – Catálogo 8 – Sistema MRA y eléctrico.

carakenio73

Diagramas de bloques en ingeniería de control. 

En esta guía PDF  se determina el Diagrama de Bloques y la Función de Transferencia mediante la aplicación álgebra de bloques, de los ejercicios que más se utilizan en las clases sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc.  También aparecen ejemplos de como aplicar la misma técnica a redes eléctricas y sistemas de nivel de líquido. Una vez pagado por favor Solicitar la guía vía email – WhatsApp. El pago se hace por PayPal con Tarjeta de crédito o débito, a la cuenta dademuch@gmail.com. Una vez realizado el pago, envío la guía en PDF a través de email o del Whatsapp +34747458738. No olvide por favor enviarme un mensaje inmediatamente después de pagar. Costo: 14.5 € por un solo problema. Toda la guía tiene un costo de 27.5 €. He añadido ejercicios adicionales resueltos a mano al final de la guía, que aún no he tenido tiempo de pasar a digital.

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1. Obtener la función de transferencia G(s)=Y(s)/R(s)  de la Figura 1, por dos métodos: empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques y utilizando la fórmula de Mason.

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2. Obtener la función de transferencia G(s)=C(s)/R(s)  de la Figura 2, por dos métodos: empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques y utilizando la fórmula de Mason.

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3. Obtener la función de transferencia G(s)=C(s)/R(s)  de la Figura 3, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.

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4. Obtener la función de transferencia G(s)=Y(s)/R(s) de la Figura 4, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.

5. Obtener la función de transferencia G(s)=Y(s)/R(s) de la Figura 5, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.

6. Determinar la expresión para C(s) utilizando álgebra de diagrama de bloques de la figura 6:

7. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 7 y representarlo mediante variables de estado. A partir de allí determinar el diagrama de bloques del sistema. Luego, utilizando álgebra de diagrama de bloques, Hallar la función de transferencia X(s)/U(s). Considerar a x(t) como la salida y a u(t) como la entrada. Comprobar el resultado mediante transformada de Laplace.

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8. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 8. Hallar la representación matricial del sistema (variables de estado). Considere a x1(t) como la salida, y a u(t) como la entrada. Construya el diagrama de bloques del sistema y utilizando álgebra de bloques determinar la función de transferencia X1(s)/U(s).

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9. Hallar las ecuaciones del sistema de la figura 22. Determinar la función de transferencia X1(s)/U(s). Determinar el diagrama de bloques del sistema a partir de la función de transferencia obtenida.

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10. Hallar las ecuaciones del Sistema de la Figura 24. Hallar la representación en espacio de estados del sistema, considerando a Θ1(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar el diagrama de bloques del sistema y a partir de allí, mediante álgebra de bloques, determinar la función de transferencia Θ1(s)/T(s).

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11. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 25. Determinar la función de transferencia X1(s)/F(s). Obtener el diagrama de bloques del sistema a partir de la función de transferencia obtenida (Explicar paso a paso). Graficar la respuesta del sistema a una entrada función escalón mediante Matlab. Considerar k1= k2= k3= 1 N/m, b1= b2= b3=1 N-s/m, m1= m2= m3=1 Kg.

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12. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema de la Figura 75. Utilizar el método de análisis de nodos. Hallar la función de transferencia Vo(s)/V(s). Realice la representación del sistema en diagrama de bloques a partir de la función de transferencia Vo(s)/V(s). Considerar R1=1Ω,  R2= R3=1 Ω, L=1 H, C1=C2=1 pF.

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13. Obtener la función de transferencia Vo(s)/V(s) del sistema eléctrico de la figura 75, a partir del diagrama de bloques del sistema obtenido en el problema 12, utilizando álgebra de bloques. Simular y analizar en Matlab la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario.

14. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema mostrado en la Figura 39 suponiendo que Θ4(t) es la salida y T(t) es la entrada. Dibujar el diagrama de bloques del sistema y hallar la función de transferencia Θ4(t)/T(t). Considerar k=2 N-m/rad, b=16 N-m-s/rad, J=4  Kg-m2

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15. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Ei(s) del Sistema mostrado en la Figura 56. Hallar la representación en espacio de estados del sistema, suponiendo que ΘL(t) es la salida y que ei(t) es la entrada. Representar el Sistema mediante un diagrama de bloques. A partir del diagrama de bloques del sistema, determinar nuevamente y por medio de álgebra de bloques la función de transferencia ΘL(s)/Ei(s).

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16. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Θr(s) del Sistema  mostrado en la Figura 59. Diseñar el diagrama de bloques del sistema.

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17. Hallar la función de transferencia Q2(s)/Q1(s) del Sistema de Nivel de Líquido mostrado en la Figura 68. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema tomando a q2(t) como la salida, y a q1(t) como la entrada. Obtener el diagrama de bloques del sistema y determinar la misma función de transferencia por medio de álgebra de bloques.

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18. Un modelo muy simplificado de la dinámica de un cohete, se observa en la Figura 1. Una barra uniforme de masa m y longitud 2L, sometida a la fuerza de la gravedad en G (centro de gravedad de la barra) y a dos fuerzas exteriores aplicadas en su extremo inferior: una vertical V(t) y otra horizontal H(t). Se pide: i) Dibujar el diagrama de variables de entrada y salida. Caracterizar el punto de equilibrio determinado por x(0)=0, y(0)=0, .ii) Obtener el sistema de ecuaciones linealizado alrededor del punto de equilibrio. iii) Dibujar el diagrama de bloques del sistema. iV)Obtener a partir de él las funciones de transferencia:

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Ejercicios adicionales escritos  a mano

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Análisis de sistemas de control, Diagrama de Bode, Función de Transferencia

Función de transferencia a partir del diagrama de Bode.

carakenio73

Los gráficos de Bode son una presentación conveniente de los datos de respuesta de frecuencia para el propósito de estimar la función de transferencia. El Diagrama de Bode permite determinar y extraer partes de la función de transferencia, lo que abrirá el camino a más cálculos para encontrar las partes restantes de dicha función.

Aunque la experiencia y la intuición son invaluables en el proceso, los siguientes pasos  ofrecen una guía:

1. Observe las gráficas de magnitud y fase de Bode y estime la configuración de polos y zeros del sistema. Observar la pendiente inicial en el diagrama de magnitud para determinar el tipo de sistema. Observar las excursiones de fase para tener una idea de la diferencia entre el número de polos y el número de zeros.
2. Vea si partes de las curvas de magnitud y fase representan gráficas obvias de respuesta de frecuencia de polo o zero de primer o segundo orden.
3. Observar si hay algún pico revelador o depresiones en la gráfica de magnitud que indique un polo de segundo orden o zero amortiguado, respectivamente.
4. Si alguna respuesta típica de un polo o un zero puede ser identificada, superponer líneas apropiadas de ± 20 o ± 40 dB / década en la curva de magnitud o líneas de ±45°/década en la curva de fase y estimar las frecuencias de ruptura. Para polos o zeros de segundo orden, calcule la relación de amortiguamiento y la frecuencia natural a partir de las curvas estándar.

5. Diseñar una función de transferencia de ganancia unitaria utilizando los polos y zeros encontrados. Obtenga la respuesta de frecuencia de esta función de transferencia y reste esta respuesta de la respuesta de frecuencia anterior, con la que comenzó el ejercicio. Ahora tiene una respuesta de frecuencia de complejidad reducida a partir de la cual comenzar el proceso nuevamente para extraer más información sobre los polos y ceros del sistema. Un programa de computadora como MATLAB es de gran ayuda para este paso.

Example

Encontrar la función de transferencia del sistema cuyo diagrama de Bode se muestra en la Figura 1:

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Figura 1

Primero extraigamos los polos subamortigados, basados en el pico en la curva de magnitud. Estimamos que la frecuencia natural está cerca de la frecuencia pico, o aproximadamente 5 rad/s. De la Figura 1, podemos ver un pico alrededor de 6.5 dB, que se interpreta como un factor de amortiguamiento ζ=0,24. La función de transferencia estándar de un sistema de segundo orden con ganancia unitaria es:

null

Se restan los diagramas de Bode en la Figura 2:

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Figura 2

Al superponer una línea de -20 dB/decade en la respuesta de magnitud y una línea de -45°/decade en la respuesta de fase, detectamos un polo final. A partir de la respuesta de fase, estimamos la frecuencia de ruptura a 90 rad/s. Restando la respuesta de G2(s)=90/(s+90) de la respuesta anterior se obtiene la respuesta en la Figura 3.

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Figura 3

La figura 3 tiene una curva de magnitud y fase similar a la generada por una función de retraso. Dibujamos una línea de -20 dB/decade y la ajustamos a las curvas. Las frecuencias de ruptura se leen de la figura como 9 y 30 rad/s. Una función de transferencia de ganancia unitaria que contiene un polo en -9 y un cero en -30 es G3(s)=0.3(s+30)/(s+9). Al restar G1(s)G2(s)G3(s), encontramos la respuesta de frecuencia de magnitud plana ± 1 dB y la respuesta de fase plana a -3 ± 5 °. Por lo tanto, concluimos que hemos terminado de extraer las funciones de transferencia dinámica, la cual es:

null

Es interesante notar que la curva original se obtuvo de la función:

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Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Análisis de sistemas de control, Diagrama de Bode

El diagrama de Bode – Gráfica de respuesta en frecuencia de un sistema de control.

carakenio73

El diagrama de Bode es el trazado de la respuesta de frecuencia de un sistema con gráficos de magnitud y fase separados. Las curvas de respuesta en frecuencia, de magnitud y  de fase como funciones de log ω se denominan Diagramas de Bode. El dibujar diagramas de Bode se puede simplificar porque se pueden aproximar como una secuencia de líneas rectas. Las aproximaciones en línea recta simplifican la evaluación de la de magnitud y  de fase de la respuesta en frecuencia.

Cuando elaboramos las gráficas de magnitud y  de fase por separado, la gráfica de la curva de magnitud puede tener el eje de las ordenadas en decibeles (dB) vs. log ω en el eje de las abscisas, donde dB = 20 log M.

Ejemplo

Graficar el Diagrama de Bode para la respuesta en frecuencia del sistema descrito por la función de Transferencia G(s):

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null

Factores Básicos de G(jω)H(jω)

La ventaja principal de usar una traza logarítmica es la facilidad relativa de graficar las curvas de la respuesta en frecuencia. Los factores básicos que suelen ocurrir en una función de transferencia arbitraria G(jω)H(jω) son:

  1. La ganancia K
  2. Los factores de integral y de derivada null,
  3. Los factores de primer orden null,
  4. Los factores cuadráticos null.

Una vez que nos familiarizamos con las trazas logarítmicas de estos factores básicos, es posible utilizarlas con el fin de construir una traza logarítmica compuesta para cualquier forma de G(jω)H(jω), trazando las curvas para cada factor y agregando curvas individuales en forma gráfica, ya que agregar los logaritmos de las ganancias corresponde a multiplicarlos entre sí.

El proceso de obtener la traza logarítmica se simplifica todavía más mediante aproximaciones asintóticas para las curvas de cada factor.

GANANCIA

La ganancia K. Un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibeles, en tanto que un número menor que la unidad tiene un valor negativo.

La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibeles. El ángulo de fase de la ganancia K es cero.

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El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la función de transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero no afecta la curva de fase.

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-1.png

POLOS Y CEROS EN EL ORIGEN

Factores de integral y de derivadanull(polos y ceros en el origen).

Supongamos el factor 1/s en una función de transferencia cualquiera. El factor 1/s es un integrador. Es decir, la salida de ese sistema es la integral de la entrada. Al sustituir s=jω obtenemos el factor l/jω. La magnitud logarítmica de l/jω en decibeles es:

null

El ángulo de fase de l/jω es constante e igual a -90°.

En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. Una octava es una banda de frecuencia de ω1 a 2ω1, en donde ω1 es cualquier frecuencia. Una década es una banda de frecuencia de ω1 a 10ω1, en donde, otra vez, ω1 es cualquier frecuencia. (En la escala logarítmica del papel semi logarítmico, cualquier razón de frecuencia determinada se representa mediante la misma distancia horizontal. Por ejemplo, la distancia horizontal de ω=1  a ω=10  es igual a la de ω=3  a ω=30.

Si se gráfica la magnitud logarítmica de -20logω dB contra ω en una escala logarítmica,  se obtiene una recta. Para trazar esta recta, necesitamos ubicar un punto (0 dB, ω= 1) en ella. Dado que:

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La pendiente m de la recta para l/jω es de:

null

El ángulo de fase del factor l/jω es constante e igual a -90°

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De igual forma, el factor s es un derivador. Es decir, la salida de ese sistema es la derivada de la entrada. La magnitud logarítmica de s=jω en decibeles es::

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La pendiente m de la recta para jω es de:

null

El ángulo de fase del factor jω es constante e igual a 90°

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-4.png

La siguiente figura muestra curvas de respuesta en frecuencia para l/jω y jω, respectivamente.

null

Observar que ambas magnitudes logarítmicas se vuelven iguales a 0 dB en ω=1. (Cortan al eje de abcisas en ω=1)

Por tanto, si la función de transferencia contiene el factor (l/jω)n o (jω)n , la magnitud logarítmica se convierte, respectivamente, en:

null

Por tanto, las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica para los factores  (l/jω)n y (jω)n son -20n dB/década y 20n dB/década, respectivamente.

El ángulo de fase de (l/jω)n es igual a -90°n durante todo el rango de frecuencia, en tanto que el ángulo de fase de (jω)n es igual a 90°n en todo el rango de frecuencia. Las curvas de magnitud pasarán por el punto (0 dB,  ω= 1).

Factores de primer ordennull. La magnitud logarítmica del factor de primer orden l/(1+jωT) en decibeles es:

null

Para frecuencias bajas, tales que ω<<1/T, la magnitud logarítmica se aproxima mediante:

null

Por tanto, la curva de magnitud logarítmica para frecuencias bajas en este factor es la línea 0 dB constante. Para frecuencias altas, tales que :

null

Ésta última es una expresión aproximada para el rango de altas frecuencias. En ω=1/T , la magnitud logarítmica es igual a 0 dB; en ω=10/T, la magnitud logarítmica es de -20 dB. Por tanto, el valor de -20logωT dB  disminuye en 20 dB para todas las décadas de ω. De esta forma, para ω>>1/T, la curva de magnitud logarítmica es una línea recta con una pendiente de -20 dB/década (o -6 dB/octava).

Nuestro análisis muestra que la representación logarítmica de la curva de respuesta en frecuencia del factor l/(1+jωT) se aproxima mediante dos asíntotas (líneas rectas), una de las cuales es una recta de 0 dB para el rango de frecuencia 0<ω<1/T  y la otra es una recta con una pendiente de -20 dB/década (o -6 dB/octava) para el rango de frecuencia 1/T<ω<∞. La frecuencia en la cual las dos asíntotas se encuentran se denomina frecuencia de esquina o frecuencia de corte. Para el factor l/(1+jωT), la frecuencia ω=1/T es la frecuencia de esquina, dado que en ese punto ambas asíntotas tienen el mismo valor.

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La función de transferencia de l/(1+jωT) tiene las características de un filtro pasa-baja. Para frecuencias por encima de ω=1/T, la magnitud logarítmica disminuye rápidamente hacia –infinito. Esto se debe, en esencia, a la presencia de la constante de tiempo. En el filtro pasa-baja, la salida sigue fielmente a la entrada sinusoidal a bajas frecuencias. Pero, conforme aumenta la frecuencia de entrada, la salida no puede seguir a la entrada debido a que se necesita cierta cantidad de tiempo para que el sistema aumente en magnitud. Por tanto, para altas frecuencias, la amplitud de la salida tiende a cero y el ángulo de fase tiende a -90°. En este aso, si la entrada posee muchos armónicos, las componentes de baja frecuencia se reproducen fielmente en la salida, mientras que las componentes de alta frecuencia se atenúan en amplitud y cambian en fase. Por tanto, un elemento de primer orden produce una duplicación exacta, o casi exacta, sólo para fenómenos constantes o que varían lentamente.

Resumen para polo simple:

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Una ventaja de las trazas de Bode es que, para factores recíprocos, por ejemplo, el factor 1+jωT, las curvas de magnitud logarítmica y de ángulo de fase sólo necesitan cambiar de signo. Por tanto, la pendiente de la asíntota de alta frecuencia de 1+jωT es 20 dB/década, y el ángulo de fase varía de 0°  a 90°  conforme la frecuencia ω se incrementa de cero a infinito., como se puede ver en la siguiente Figura:

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Se puede calcular el error en la curva de magnitud provocado por el uso de las asíntotas. El error máximo ocurre en la frecuencia de esquina y es aproximadamente igual a -3 dB debido a que:

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El error es simétrico con respecto a la frecuencia de esquina. El error en decibelios implícito al usa la expresión asintótica para la curva de respuesta en frecuencia de l/(1+jωT)  se muestra en figura siguiente:

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CUADRÁTICOS

Factores cuadráticosnull. Los sistemas de control suelen tener factores cuadráticos de la forma:

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Si ζ>1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden con polos reales. Si 0<ζ<1, este factor cuadrático es el producto de dos factores complejos conjugados.

La curva asintótica de respuesta en frecuencia para null se obtiene del modo siguiente. Dado que:

null

para frecuencias bajas tales que ω<<ωn, la magnitud logarítmica se convierte en:

null

Por tanto, la asíntota de frecuencia baja es una recta horizontal en 0 dB. Para frecuencias altas tales que ω>>ωn, la magnitud logarítmica se vuelve:

null

La ecuación para la asíntota de alta frecuencia es una recta con pendiente de -40dB/década, dado que:

null

La asíntota de alta frecuencia intercepta la de baja frecuencia en ω=ωn, dado que en esta frecuencia:

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Esta frecuencia ωn es la frecuencia de esquina para el factor cuadrático considerado.

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Ejemplo:

ANEXO 1.

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ANEXO 2.

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ANEXO 3.

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ANEXO 4.

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La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-19.png

Te puede interesar:

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Análisis de sistemas de control, Criterio de Nyquist

Estabilidad vía Nyquist Diagrama – El criterio de Nyquist

carakenio73

El criterio de Nyquist puede decirnos si el sistema es estable o inestable al determinar cuántos polos del sistema a lazo cerrado de la Figura 1, se encuentran en el semiplano derecho:

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Figura 1

Considere el contorno A definido en el plano s de la figura 2:

null

Figura 2

Si un contorno, A, que rodea todo el semiplano derecho del lugar de raíces del sistema determinado por la ecuación característica 1+ G(s)H(s), se mapea a través de G(s)H(s), entonces el número de polos del sistema a lazo cerrado, Z, en el semiplano derecho es igual al número de polos del sistema a lazo abierto, P, que están en el semiplano derecho menos el número de revoluciones en sentido antihorario, N, alrededor de -1+j0 del mapa; es decir, Z:

null

En consecuencia, para lograr estabilidad, Z debe ser igual a cero.

Ejemplo:

null

Step 1. Find the open-loop transfer function G(s)H(s) of the system.

Consider the closed-loop control system as follows:

null

The system characteristic equation is as follows:

null

The factor form of this characteristic equation is:

null

To determine the previous factor form:

null

Where the open-loop transfer function G(s)H(s) of the system is:

null

Step 2. Use Command Window of Matlab to draw the Nyquist Diagram, applying the following commands:

>> s=tf(‘s’);

>> G=10/(s^3+2*s^2+5*s);

>> nyquist(G);

null

null

We can see at the previous Diagram that for:

null

To reach stability, Z must be equal to zero:

null

Recalling that the poles of 1+ G(s)H(s), are the same as the poles of G(s)H(s), the open-loop system, we can determine P, the number of open-loop poles enclosed by the contour A from:

null

null

A detour around the poles on the contour is required:

null

In the Nyquist Diagram obtained for the system of Task 2, the point -1+j0 is highlighted in red:

null

We can see that N=0, so:

null

However, the Nyquist diagram intersects the real axis at -1+j0. Hence, according to the Nyquist Criteria, the system is marginally stable.

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Análisis de sistemas de control, Criterio de Nyquist

El diagrama de Nyquist

carakenio73

El diagrama de Nyquist, también es conocido como «La Traza Polar» de una función de transferencia senoidal G(jω), es una gráfica de la magnitud de G(jω) contra el ángulo de fase de G(jω) en coordenadas polares, conforme ω varía de cero a infinito. Por tanto, El diagrama de Nyquist es el lugar geométrico de los vectores:

null
conforme ω varía de cero a infinito. Observe que, en las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj (en el sentido de las manecillas) a partir del eje real positivo.

La siguiente figura muestra un ejemplo de un diagrama de Nyquist:

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Todos los puntos de la traza polar de G(jω) representan el punto terminal de un vector en un valor determinado de ω. Las proyecciones de G(jω) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginaria. La magnitud y el ángulo de fase de G(jω) deben calcularse directamente para cada frecuencia ω con el propósito de construir trazas polares.

Conceptualmente, el diagrama de Nyquist se traza sustituyendo los puntos del «contorno» que encierra el semiplano derecho, en la función G(s)H(s). Este proceso se llama mapeo (mapping):

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Consideremos el sistema de control a lazo cerrado de la Figura 1:

null

Figura 1

Entonces, en el Diagrama de Nyquist, el contorno que encierra el semiplano derecho, que se muestra en la Figura 2, puede mapearse a través de la función G(s)H(s), derivada de la Figura 1, sustituyendo puntos a lo largo del contorno en la función G(s)H(s).

null

Figura 2

Estabilidad vía el Diagrama de Nyquist

Si un contorno, A, que rodea todo el semiplano derecho del lugar de raíces del sistema determinado por la ecuación característica 1+ G(s)H(s), se mapea a través de G(s)H(s), entonces el número de polos del sistema a lazo cerrado, Z, en el semiplano derecho, es igual al número de polos del sistema a lazo abierto, P, que están en el semiplano derecho menos el número de revoluciones en sentido antihorario, N, alrededor de -1+j0 del plano complejo ; es decir, Z:

null

Por tanto, para lograr un sistema estable a lazo cerrado, Z debe ser igual a cero.

Este «mapping» es llamado El Diagrama de Nyquist , o Nyquist plot, de G(s)H(s). Para más información y ejemplos ver: Criterio de Nyquist para estabilidad

Ejemplo

Considere el sistema de control cuyo esquema y diagrama de bloques se muestran en la siguiente Figura 3:

null

Figura 3

Conceptualmente, el diagrama de Nyquist se representa sustituyendo los puntos del contorno que se muestran en la Figura 4(a) en G(s)H(s):

null

Cada Polo y cada Zero de G(s)H(s) que se muestra en la Figura 3(b) es un vector en la Figura 4(a) y 4(b). El vector resultante, B´, encontrado en cualquier punto a lo largo del contorno, es en general el producto de los vectores Zero dividido por el producto de los vectores Polo (ver Figura 4 (c)). Por lo tanto, la magnitud de la resultante es el producto de las longitudes Zero dividido por el producto de las longitudes de los Polos, y el ángulo de la resultante es la suma de los ángulos Zero menos la suma de los ángulos de los Polos.

null

Figura 4

El mapeo del punto A al punto C también puede explicarse analíticamente. Desde
A a C, la colección de puntos a lo largo del contorno es imaginaria. Por lo tanto, de A a C,
G(s)H(s)=G(s)*1=G(s)=G(jω), o de la Figura 3(b):

null

A frecuencia igual cero:

null

Por lo tanto, el diagrama de Nyquist comienza en 50/3 en un ángulo de 0°. A medida que ω aumenta, la parte real sigue siendo positiva, y la parte imaginaria sigue siendo negativa.

En null la parte real se vuelve negativa. En null, el diagrama de Nyquist cruza el eje real negativo ya que el término imaginario va a cero. El valor real en el cruce del eje, punto Q’ en la Figura 4 (c), es -0.874. Continuando hacia, la parte real es negativa, y la parte imaginaria es positiva. A frecuencia infinita:

null

o cero a los 90°. aproximadamente.

Alrededor del semicírculo infinito desde el punto C hasta el punto D que se muestra en la Figura 4(b), los vectores giran en sentido horario, cada uno 180°. Por lo tanto, la resultante sufre una rotación en sentido antihorario de 3×180, comenzando en el punto C’ y terminando en el punto D’ de la Figura 4 (c).

Diagrama de Nyquist con Matlab

Considere la siguiente función de transferencia a lazo abierto:

null

Para elaborar el Diagrama de Nyquist, podemos utilizar los siguientes comandos en el command window de Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> G=1/(s^2+0.8*s+1)

>> nyquist(G)

Esta línea de comandos genera la siguiente gráfica:

null

Podemos obtener información sobre puntos de interés en el diagrama de Nyquist haciendo clik una vez sobre el punto de interés en el contorno:

null

Siguiente:

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Sin categoría, Variables de estado

Converting a Transfer Function to State Space representation

carakenio73

To convert a transfer function into state equations in phase variable form, we first convert the transfer function to a differential equation by cross-multiplying and taking the inverse Laplace transform, assuming zero initial conditions. Then we represent the differential equation in state space in phase variable form. An example illustrates the process.

Example 1

Find the state-space representation in phase-variable form for the transfer function shown in Figure (1):

null
Figure 1

Step 1. Find the associated differential equation:

null

Cross-multiplying yields:

null

The corresponding differential equation is found by taking the inverse Laplace  Transform, assuming zero initial conditions:

null

Step 2. Select the state variables. Choosing the state variables as successive derivatives, we get:

null

Using this notation, we can rewrite equation (1) as:

null

Step 3. Differentiating both sides of the last equations, we must find _x1 and _x2, then we use Eq. (2) to find x3. Proceeding in this way we obtain the state equations. Since the output is c=x1, the combined state and output equations are:

null

Step 4. Expressing the last equations in vector-matrix form, we get the state-space representation of the system as:

null

At this point, we can create an equivalent block diagram of the systemof Figure 1(a) to help visualize the state variables.We draw three integral blocks as shown in Figure 1(b) and label each output as one of the state variables, xi(t), as shown.

A transfer function with a polynomial in s in the numerator

The transfer function of the previous Example has a constant term in the numerator. If a transfer function has a polynomial in s in the numerator that is of order less than the polynomial in the denominator, as shown in Figure 2(a), the numerator and denominator can be handled separately. First separate the transfer function into two cascaded transfer functions, as shown in Figure 2(b); the first is the denominator, and the second is just the numerator. The first transfer function with just the denominator is converted to the phase-variable representation in state space as demonstrated in the last example. Hence, phase variable x1 is the output, and the rest of the phase variables are the internal variables of the first block, as shown in Figure 2(b).

null

Figure 2

The second transfer function with just the numerator yields:

null

Where, after taking the inverse Laplace transform with zero initial conditions, we obtain:

null

But the derivative terms are the definitions of the phase variables obtained in the
first block. Thus, writing the terms in reverse order to conform to an output equation, we obtain:

null

Hence, the second block simply forms a specified linear combination of the state
variables developed in the first block.

From another perspective, the denominator of the transfer function yields the
state equations, while the numerator yields the output equation. The next example
demonstrates the process.

Example 2

Find the state-space representation of the transfer function shown in
Figure 3(a).

null

Step 1. Separate the system into two cascaded blocks, as shown inFigure 3(b).The
first block contains the denominator and the second block contains the numerator.

Step 2. Find the state equations for the block containing the denominator. We notice that the first block’s numerator is 1/24 that of Example 1. Thus, the state equations are the same except that this system’s input matrix is 1/24 that of Example 1.

Step 3. Introduce the effect of the block with the numerator. The second block of
Figure 3(b) yields:

null

Taking the inverse Laplace transform with zero initial conditions, we get:

null

But:

null

Hence:

null

Thus, the last box of Figure 3(b) ‘‘collects’’ the states and generates the output equation:

null

Although the second block of Figure 3(b) shows differentiation, this block was implemented without differentiation because of the partitioning that was applied to the transfer function. The last block simply collected derivatives that were already formed by the first block.

Thus, the full state-space representation of the system is:

null

Once again we can produce an equivalent block diagram that vividly represents
our state-space model:

null

Sources:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

Literature review by:

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Variables de estado

Convertir la Función de Transferencia en variables de estado.

carakenio73

Para convertir una función de transferencia en ecuaciones de estado, primero convertimos la función de transferencia a una ecuación diferencial por
multiplicación cruzada y aplicación de la transformada inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales iguales a cero.

Una vez con la ecuación diferencial del sistema, procedemos a diseñar la matriz en espacio de estados del sistema. Un ejemplo ilustra este proceso.

Ejemplo 1

Encuentre la representación del sistema en espacio- estado para el sistema cuya función de transferencia que se muestra en la Figura (1):

null
Figura 1

Paso 1. Encuentra la ecuación diferencial asociada a la función de transferencia:

null

La multiplicación cruzada genera lo siguiente:

null
La ecuación diferencial correspondiente se encuentra tomando la transformada inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales cero:

null

Paso 2. Seleccionar las variables de estado. Al elegir las variables de estado como  derivadas sucesivas, obtenemos:

null

Utilizando esta notación, podemos reescribir la ecuación (1) como:

null

Paso 3. Diferenciando ambos lados de estas últimas ecuaciones, debemos encontrar _x1 y _x2. Luego usamos la ecuación (2) para encontrar x3. Procediendo de esta manera obtenemos las ecuaciones de estado. Como la salida es c = x1, las ecuaciones de estado y la ecuación de salida son:

null

Paso 4. Al expresar estas últimas ecuaciones en forma de matriz de vectores, obtenemos la representación del sistema en espacio de estados:

null

Función de transferencia con polinomio en s en el numerador

La función de transferencia del ejemplo anterior tiene un término constante en el numerador. Si una función de transferencia tiene un polinomio en función de s en el numerador que es de orden menor que el polinomio en el denominador, como se muestra en la Figura 2(a), el numerador y el denominador se pueden manejar por separado. Primero, separar la función de transferencia en dos funciones de transferencia en cascada, como se muestra en la Figura 2(b). En la primera función de transferencia se procede como en el ejercicio anterior. Por lo tanto, la variable de fase x1 es la salida, y el resto de las variables de fase son las variables internas del primer bloque, como se muestra en la Figura 2(b).

null
Figura 2

La primera etapa del diagrama de bloques de la Figura 2, sabemos como tratarla, ya que es el mismo caso que el del ejemplo 1. La segunda función de transferencia con solo el numerador genera:

null

Donde, después de tomar la transformada inversa de Laplace con cero condiciones iniciales, obtenemos:

null

Pero los términos derivados de la ecuación anterior son las definiciones de las variables de fase obtenidas en el primer bloque. Por lo tanto, al escribir los términos en orden inverso para ajustarse a una ecuación de salida, obtenemos:

null

Por lo tanto, el segundo bloque simplemente forma una combinación lineal específica del estado variables desarrolladas en el primer bloque. Desde otra perspectiva, el denominador de la función de transferencia produce las ecuaciones de estado, mientras que el numerador produce la ecuación de salida. El siguiente ejemplo demuestra el proceso.

Ejemplo 2

Encuentre la representación en el espacio de estado de la función de transferencia que se muestra en la Figura 3(a).

null
Figura 3

Paso 1. Separar el sistema en dos bloques en cascada, como se muestra en la Figura 3(b).
El primer bloque contiene el denominador y el segundo bloque contiene el numerador.

Paso 2. Determinar las ecuaciones de estado para el primer bloque, el que contiene el denominador. Notamos que se trata del ejemplo 1, multiplicado por 1/24. Por lo tanto, las ecuaciones de estado son las mismas, excepto que la matriz de entrada de este sistema es 1/24 que la del Ejemplo 1.

Paso 3. Introducir el efecto del bloque con el numerador. El segundo bloque de la Figura 3(b) genera:

null

Tomando la transformada inversa de Laplace con cero condiciones iniciales, obtenemos:

null

Pero:

null

Por lo tanto:

null

Así podemos observar que el último bloque de la Figura 3(b) «recoge» los estados y genera la ecuación de salida. En forma matricial obtenemos:

null

Aunque el segundo bloque de la Figura 3(b) muestra diferenciación, este bloque se implementó sin diferenciación debido a la partición que se aplicó a la función de transferencia. El último bloque simplemente recolectó derivados que ya estaban formados por el primer bloque.

En definitiva, la representación completa en espacio de estados del sistema es:

null

Una vez más, podemos producir un diagrama de bloques equivalente que represente  nuestro modelo de espacio de estado:

null

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
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Análisis de sistemas de control, Dinámica de sistemas, Función de Transferencia, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Mass-spring-damper Problems solved. Catalog 1

carakenio73

The transfer function of a Mass-Spring-Damper System. 

In this PDF guide, the Transfer Function of the exercises that are most commonly used in the mass-spring-damper system classes that are in turn part of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks with DC motor, is determined. electronic systems in mechatronics, etc. It is a good resource to also learn how to obtain the block diagram of the system, or the representation in state variables. Request via email – WhatsApp. Payment is provided by PayPal, Credit or debit card. Cost: € 21.5

Below, the statements of problems solved in this guide.

  1. Given the System of Figure 1, find the transfer function X(s)/U(s).

null

2. Given the System of Figure 2, find the transfer function X(s)/Y(s) .

null

3. Given the System of Figure 3, find the transfer function X2(s)/U(s) using its model in the frequency domain and linear algebra.

null

4. Given the System of Figure 4, find the transfer function Y2(s)/U(s):

null

5. Given the System of Figure 5, find the transfer function X2(s)/U(s). Illustrate the use of free-body diagrams.

null

6. Given the System of Figure 6, find the transfer functions X1(s)/U(s) and X2(s)/U(s).

null

7. Given the System of Figure 7, find the transfer function X(s)/U(s). Check the same result using the combination of state-space representation and block diagrams. Take u(t) as the input and x(t) as the output.

null

8. Given the System of Figure 8, find its state-space representation, taking x1(t) as the output and u(t) as the input. Build the block diagram of the system and determine the transfer function  X1(s)/U(s).

null

9.Given the System of Figure 9, find the transfer function X2(s)/U(s). Consider k1= k2=6 N/m, b1= b2= b3=2 N-s/m, m1= m2= m3=4 Kg. Illustrate the use of Matlab and linear algebra.

null

10. Given the System of Figure 10, find the transfer functions Y1(s)/U(s) and Y2(s)/U(s). Consider k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (The same exercise is solved with state variables in the exercise 11)

null

11. Find the state-space representation of the system of the previous exercise, Figure 10, taking y2(t) as the output and u(t) as the input. Transform the state-space representation obtained in the transfer function Y2(s)/U(s). Consider k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.

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Mass-spring-damper system. Problems solved. Catalog 1

In this PDF guide, the Transfer Function of the exercises that are most commonly used in the mass-spring-damper system classes that are in turn part of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks with DC motor, is determined. electronic systems in mechatronics, etc. It is a good resource to also learn how to obtain the block diagram of the system, or the representation in state variables. Request via email – WhatsApp. Payment is provided by PayPal, Credit or debit card. Cost: € 21.5. Once paid, please send a message to whatsapp +34633129287 to receive the catalog. Thanks a lot.

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Ingeniería Electrónica

Función de Transferencia de Sistema Electrónico. Problemas resueltos. Catálogo 7

carakenio73

La función de transferencia de un Sistema Electrónico. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas electrónicos que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 15 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

1. Hallar la función de transferencia del Sistema Electrónico mostrado en la Figura 49. Considerar R1=500 K, R2= 100 K , C1=2 F, C2=2  

null

2. Hallar la función de transferencia  del Sistema mostrado en la Figura 51. Considerar R1=400 K, R2= 600 K , R3=600 K, R4= 110 K , C1=4 F, C2=4 

null

3. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 52.

null

4. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 53.

null

5. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 54.

null

6. Hallar la función de transferencia del Sistema Electrónico mostrado en la Figura 78. Considerar R1=1 K, C=2 Determinar el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural del circuito.

null

7. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 64. Realizar el diagrama de bloques del sistema.

null

8. Determinar la función de transferencia Vo2(s)/Vg(s) para el circuito de la Figura 55:

null

Figura 55

Catálogo 7 – Función de Transferencia de Sistema Electrónico

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Análisis de circuitos eléctricos, Respuesta en Frecuencia

Respuesta en frecuencia de un circuito eléctrico

carakenio73

Si dibujamos la curva de amplificación y de desfase de un circuito versus la frecuencia, obtenemos la respuesta en frecuencia.

En el estado estacionario, las entradas sinusoidales a un sistema lineal generan respuestas sinusoidales de la misma frecuencia. Aunque estas respuestas son de la misma frecuencia que la entrada, difieren en amplitud y ángulo de fase de la entrada. Estas diferencias son funciones de la frecuencia.

Si la respuesta libre de un circuito eléctrico tiende a cero cuando pasado mucho tiempo (sistema estable) en régimen permanente sólo queda la respuesta forzada. La respuesta forzada a una excitación sinusoidal es la sinusoide de entrada amplificada y desfasada.

Es decir, una entrada sinusoidal de amplitud R y frecuencia ωo, genera una salida sinusoidal de amplitud C y fase φ:

null

Los valores de amplificación y desfase dependen de la frecuencia de la señal excitadora.

Supongamos la representación en diagrama de bloques de un sistema cuya entrada es la función exponencial x(t), la salida es la función y(t), y la función de transferencia es H(s):

nullDónde:

null

Nuevamente se afirma que en régimen permanente sólo queda la respuesta forzada. Se podría demostrar que la respuesta forzada yf(t) de este sistema es:null

Ejemplo 1

Es decir, supongamos que:

nullEntonces:

null

Por tanto respuesta forzada yf(t) es:nullSi la señal de excitación x(t) es una señal armónica, del tipo:

null

Se podría demostrar que la respuesta forzada yf(t) de este sistema se puede expresar como:

null

Ejemplo 2

Es decir, supongamos que:

nullEntonces:

null

null

Por tanto:

null

Diagrama de Bode

Si dibujamos la curva de amplificación y de desfase de un circuito versus la frecuencia, obtenemos la respuesta en frecuencia.

null

Este tipo de gráficas es mejor realizarlas en escala logarítmica en vez de escala lineal. En tal caso, se denominan “Diagramas de Bode”. Los «Diagramas de Bode» consideran trabajar con escalas logaritmicas en las frecuencias. Por otra parte, las magnitudes se grafican en «decibeles» mientras que las fases en forma lineal: H[dB]=20logH (Hendrik W. Bode)

null

Trabajando en decibeles la multiplicación de amplificaciones (conexión en cascada) de sistemas se convierte en suma de ganancias:

null

La banda entre dos frecuencias se denomina década si ω2=10ω1:

null

Utilizando el diagrama de Bode podemos hallar la respuesta forzada de la siguiente manera:

null

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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