Se analizan la Compensación PD y la Compensación Lead, dos formas de mejorar la respuesta transitoria de un Sistema de control con realimentación, mediante el uso del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) y de la compensación en cascada. Por lo general el objetivo consiste en diseñar un respuesta que tenga un porcentaje de sobrepaso deseable y un tiempo de establecimiento más corto que el que tiene el sistema antes de la compensación.
Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria
Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).
Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?
En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.
Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:
Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.
Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.
Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.
La primera técnica que presentada será la compensación derivativa ideal. Se agrega un diferenciador puro a la trayectoria directa del sistema de control con retroalimentación.
Compensación en Cascada - Controlador PD
Como se señalaba anteriormente, ante la inconveniencia de cambiar la estructura física de la planta, y con el fin de cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control, frecuentemente es necesario agregar polos y zeros a la función de transferencia directa de dicho sistema con el fin de obtener un Lugar Geométrico de las Raíces donde podamos seleccionar una ganancia que permita al sistema cumplir con las exigencias de diseño. Una manera de acelerar el sistema, que generalmente funciona de manera aceptable, es agregar un Zero en el camino de transferencia directa, justo antes de la planta y su controlador original.
Este Zero está representado por un compensador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:
Esta función, la suma de un diferenciador s y una ganancia pura Zc, es llamada compensación derivativa ideal (ideal derivative compensation), o controlador PD (Proportional-Derivative). En resumen, una respuesta transitoria que no puede ser alcanzada con un simple ajuste de ganancia (controlador proporcional) puede ser obtenida aumentando la cantidad de zeros del sistema mediante un Controlador PD.
Vamos a utilizar el LGR de la Figura 3 para descubrir como trabaja un Controlador PD. En dicha figura tenemos un LGR para un sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) con realimentación unitaria, está dada por:
Si consideramos a K=1, los comandos para trabajar en Matlab serían:
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G);
Suponga que queremos operar el sistema de la Figura 3 con un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. La Figura 4 muestra que podemos lograr ese coeficiente de amortiguamiento con un simple ajuste de ganancia, para lo cual podemos utilizar un compensador proporcional que establezca una ganancia K=23.7:
>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);
Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado:
La Figura 5 nos muestra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado utilizando un controlador proporcional con una ganancia Kp=23.7, con lo que alcanzamos un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4 en el LGR del sistema. Se muestra además el valor de los parámetros más importantes de una respuesta transitoria:
>> G1=23.7/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys1=feedback(G1,1);
>> step(sys1);
>> stepinfo(sys1)
Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación.
Suponga ahora que queremos mantener el factor de amortiguamiento en el valor ξ=0.4, pero debemos mejorar el tiempo de alzamiento (rise time) y el tiempo de establecimiento (settling time). Es decir, queremos que el sistema sea más rápido. Esa tarea sería imposible utilizando sólo un controlador proporcional porque estamos limitados por el LGR del sistema según consta en las Figuras 3 y 4.
El sistema sin compensar, de la Figura 3, podría transformarse en un sistema compensado mediante la suma de un zero en s= -2. En la Figura 6 vemos como se transforma el LGR, utilizando un compensador en cascada (cascade compensator) cuya función de transferencia Gc(s) es:
>> G2=((s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G2);
Figura 6. LGR para el sistema compensado.
La Figura 7 nos muestra una vez más que podemos obtener un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. estableciendo una ganancia de K=51.2:
>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);
Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado::
Figura 7. Localización en el LGR de ξ=0.4
La Figura 8 ilustra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado que utiliza el controlador PD de función de transferencia Gc(s), en cascada con un controlador proporcional de ganancia Kp=51.2, con el fin de lograr un ξ=0.4. Se muestra además los parámetros de la respuesta transitoria obtenida:
>> G3=(51.2*(s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys2=feedback(G3,1);
>> step(sys2);
>> stepinfo(sys2)
Figur8 8. Respuesta al escalón unitario del sistema compensado a lazo cerrado.
Manteniendo un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4, hemos mejorado el Tiempo de Levantamiento (de 0.6841 s a 0.1955 s) y el Tiempo de Establecimiento (de 3.7471 s a 1.1218 s). Sin embargo, lo hemos logrado a costa de un mayor Sobrepaso (de 23.3070 a 25.3568) y a costa de un pico más alto (de 0.8672 a 1.1420).
La Figura 9 compara las respuestas antes y después de la compensación PD:
>>step(sys1, sys2)
Figura 9. Respuesta al escalón unitario del sistema antes y después de la compensación.
La Figura 9 muestra también que el valor final del sistema compensado está más cerca del valor de referencia (1), por lo tanto el error en estado estable también ha mejorado después de la compensación PD (de 0.297 a 0.088). Sin embargo, los lectores no deben asumir que, en general, la mejora en la respuesta transitoria siempre produce una mejora en el error de estado estable.
Ahora que hemos visto lo que la compensación PD puede hacer, estamos preparados para diseñar nuestro propio compensador PD para cumplir con especificaciones específicas de diseño para la respuesta transitoria.
1) Dado el sistema de la Figura 10, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y una reducción considerable del tiempo de establecimiento.
Figure 10.
En construcción…
Pero, cómo implementamos una compensación PD?
La compensación PD utilizada hasta ahora para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control, es implementada por un controlador PD (proportional-plus-derivative controller). En la Figura 11 se muestra una manera de implementar la compensación PD. La función de transferencia del controlador PD de la Figura 11 es:
Figure 11. Implementación del controlador PD.
Lead Compensation
Un compensador PD activo puede aproximarse con un compensador pasivo. Cuando se usan redes pasivas, un solo cero no puede ser producido. Más bien, se utiliza un compensador con un cero y un polo. Sin embargo, si el polo está más lejos del eje imaginario que el cero, la contribución angular del compensador sigue siendo positivo y, por lo tanto, se aproxima a un solo cero equivalente al producido por un PD.
Es decir, la contribución angular del polo compensador se resta de la contribución angular del cero, pero no excluye el uso del compensador para mejorar la respuesta transitoria, ya que la contribución angular neta es positiva, al igual que para una
controlador PD de un solo cero.
Las ventajas de una red pasiva sobre un controlador de PD activo son (1) que no se requieren fuentes de alimentación adicionales y (2) que el ruido debido a la diferenciación es reducido.
Fuente:
- Control Systems Engineering, Nise
Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
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Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.
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2. Variables de estado
Definición:
Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para 
Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:
Despejamos 
:
Utilizando la definición de variables de estado:
Igualmente despejamos 
:
Utilizando la definición de variables de estado:
Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t), utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:
3. Función de Transferencia
La representación matricial del sistema tiene la forma:
Dónde:
De la teoría de sistemas de control se extrae que:
En este caso:
Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace.
Buscando ayuda en Matlab:
>> s=sym(‘s’);
…..
>> k3=sym(‘k3’) // declarar todas las variables
>> sIA= [s -1 0 0;(k1+k2)/m1 s+(fv1+fv3)/m1 -k2/m1 -fv3/m1;0 0 s -1;-k2/m2 -fv3/m2 (k2+k3)/m2 s+(fv2+fv3)/m2]
>> C=[0 0 1 0]
>> B= [0;1/m1;0;0]
>> V=(sI-A)^-1
>> G=C*V*B
G = (k2 + fv3*s)/(k1*k2 + k1*k3 + k2*k3 + fv1*m2*s^3 + fv2*m1*s^3 + fv3*m1*s^3 + fv3*m2*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + k3*m1*s^2 + m1*m2*s^4 + fv1*k2*s + fv2*k1*s + fv1*k3*s + fv2*k2*s + fv3*k1*s + fv3*k3*s + fv1*fv2*s^2 + fv1*fv3*s^2 + fv2*fv3*s^2)
Dónde:
Definimos el determinante como:
Por lo tanto:
Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: 
El diagrama de bloques para representar esta operación es:
En cuanto a las variables de estado definidas en este ejercicio, el diagrama de bloques anterior es equivalente a:
Luego, deducimos que:
1. 
Por otra parte:
2. 
Ecuación 2:
3. Función de Transferencia:
Sustituyendo los valores:
De dónde:
Donde Xe no es la entrada al sistema sino la entrada al amplificador y es igual a:
Al sustituir la ecuación (2) en (1):
Dónde:
Por tanto:
Luego:
Por tanto: 
La ecuación (5) es una de las más importantes de la ingeniería electrónica y se le denomina en la literatura general como Ganancia del sistema realimentado o Ganancia a lazo cerrado. Fue el ingeniero Harold Black en 1928 quién primero utilizó la denotación Afb para esta ganancia. Por tanto:
Por tanto:
O sea:
Por otra parte:
Es decir:
(a)
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2. En segundo lugar debemos calcular los valores en el punto de equilibrio
3. Linealizar utilizando la Tabla 2:
Se pide linealizar en torno a x0=1 y p0=2.
Solución:
En este caso:
En el punto de equilibrio:
Sustituyendo el valor de x0=1 y p0=2 obtenemos que:
Al linealizar, aplicando las equivalencias de la tabla 2, obtenemos que:
El sistema linealizado tiene la siguiente representación:
Al sustituir valores obtenemos que el sistema linealizado tiene la siguiente representación:
Nuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:
Es decir, vamos a cambiar f(x)=5cosx, que es la representación de una curva con variable independiente x, por f(x)=f(x0)+mxXˆ, que es la representación de una recta con pendiente mx y una nueva variable independiente xˆ, que se supone intercepta al eje y en f(x0) (recordar cómo se interpreta la ecuación de una recta. Para un repaso completo ver: 
Entonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:
El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:
La presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.
Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:
Así:
Alguien podría preguntar que significa lo anterior. Significa que x-xo es una pequeña distancia que indica lo que nos podemos alejar de xo=π/4, que es el punto «alrededor» del cual debemos hacer la linealización. A esa pequeña distancia se le llama excursión δx. Ya que el símbolo δx debe ser utilizado muchas veces, porque se convierte en la nueva variable independiente, preferimos llamarla xˆ. En el procedimiento anterior despejamos a la variable x para sustituir este resultado en la ecuación original para que dicha ecuación nos quede expresada en función de la nueva variable xˆ.
Ok. Procedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:
Aplicamos ahora las reglas de derivación:
Y para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir, linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:
Entonces de acuerdo con la ecuación (1):
Pero, ya que:
Podemos afirmar que:
Por tanto, con estos resultados, podemos reescribir la ecuación diferencial:
O lo que es lo mismo:
Esta es la nueva representación de nuestra ecuación diferencial original, sólo válida si no nos alejamos mucho de xo=π/2. Note que esta nueva representación es una ecuación diferencial lineal, que es el objetivo del procedimiento.
Donde:
Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.
Donde:
Para ver la solución de este problema ver: 
dademuchconnection 