Muchos componentes y actuadores poseen características no lineales y la eficacia de su acción requiere mucho de que se mantengan en el punto de operación donde actúan aproximadamente de manera lineal, el cuál puede ser un intervalo muy limitado. Por ejemplo, la música que todos escuchamos debe ser amplificada por un circuito compuesto por dispositivos electrónicos que sólo amplifican cuando están actuando en el punto de operación en el que se diseña el sistema para que actúe linealmente; muestra de ello es que la salida del sistema en su totalidad es proporcional a la entrada, es decir, un sistema lineal.
¿En qué consiste linealizar? En expresar una función o ecuación diferencial no lineal con una versión lineal aproximada, sólo válida en un intervalo muy pequeño de valores de la variable independiente. Algo así como expresar una función cuadrática mediante la fórmula matemática de una línea recta. ¿Con qué fin? Pues, poder aplicarle al sistema representado por dicha función o ecuación diferencial, todas las técnicas de control para sistemas lineales estudiadas hasta ahora. Nuestro objetivo es diseñar una estrategia para generar una ecuación lineal que represente a un sistema no lineal en una región muy limitada, estrategia que configuramos a continuación.
Para obtener un modelo matemático lineal de un sistema no lineal es necesario suponer que la variable a controlar sólo se desvía muy ligeramente de un punto de operación A de coordenadas (xo, f(xo)), donde xo es la entrada al sistema y f(xo) es la salida. En el punto A podemos colocar una recta con cierta pendiente (slope) y suponer que para pequeños cambios δx alrededor de xo la salida f(xo+δx) se mueve a lo largo de esta recta, tal como se muestra en la Figura 2-47:
Podemos utilizar el punto A como un nuevo centro de coordenadas donde la variable independiente δx se corresponde con la entrada al sistema, mientras que la variable dependiente δf(x) representa la salida del sistema. Hacemos este conveniente cambio de coordenadas para utilizar la ecuación de la pendiente ma de la recta de la siguiente manera:
ÓY así:
Al igual que:
Esta última es una aproximación matemática lineal para f(x) , una función que a grandes rasgos no es lineal, como se puede constatar en la Figura 2-47.
Esta técnica nos permite entonces obtener una expresión lineal para f(x), alrededor del punto de operación A. Ahora, vamos a combinar las expresiones obtenidas para f(x) y δf(x). Otra forma de razonar es pensar que, alrededor del punto de operación A, f(x) tiene el valor de f(xo) más un pequeño componente de valor maδx a lo largo de una línea recta de pendiente ma:
Donde (x-xo) es tan pequeño que se aproxima a δx. Misión cumplida, haremos que:
¿Qué teoría nos permite hacer esto? Las series de Taylor son como guante a la mano.
Series de Taylor
Las series de Taylor son la expansión de una función f(x) en términos del valor de esa función en un punto xo en particular, alrededor de ese punto y en términos de las derivadas de la función evaluadas en ese punto:
Cuando la excursión alrededor del punto xo es pequeña, como el caso que nos interesa, las derivadas de orden mayor se pueden ignorar, por lo que:
Sabiendo que la pendiente mx de una recta en el punto xo es la derivada de la recta evaluada en xo, podemos adaptar esta última ecuación a nuestra estrategia y obtenemos la fórmula que nos interesa:Donde mx=df/dx evaluado en x=xo. Note que δx es ahora la variable independiente, para la cual utilizamos sólo un rango válido de valores alrededor de xo, por lo que a δx le llamamos excursión. Volviendo a la Figura 2.47, ésta es la táctica clave del proceso de linealización, hemos creado un sistema de coordenadas centrado en el punto A, para sustituir la variable independiente x por δx. Podemos seguir utilizando la notación δx o cualquier otra más práctica como:Veamos cómo funciona esto mediante ejemplos.
Linealizar una función
Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función: Nuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:Hallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:Entonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:
El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:
Linealizar una ecuación diferencial
Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:La presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.
Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:Así:Procedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:Aplicamos ahora las reglas de derivación:Y para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir, linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:
Observar que en la anterior ecuación la excursión vale cero cuando la función se evalúa exactamente en el punto xo. Lo mismo pasa cuando se evalúa la pendiente en xo:Así:
Por tanto, podemos reescribir la ecuación diferencial de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:
O lo que es lo mismo:
Linealización de un sistema con dos variables independientes
Las series de Taylor nos habilitan para trabajar con funciones o ecuaciones diferenciales que tienen dos variables independientes. Al respecto, la serie de Taylor aplica la siguiente fórmula:
Donde el punto de operación tiene las coordenadas ¯x1y ¯x2. Para excursiones pequeñas alrededor del punto de equilibrio, podemos obviar las derivadas de mayor orden. El modelo matemático lineal para este sistema no lineal alrededor del punto de operación se obtiene mediante:
Donde:
Ejemplo. Linealización de un sistema con dos variables independientes.
Linealización de Sistema de levitación magnética de una esfera.
El sistema de suspensión magnética de una esfera se muestra en la Figura 1.
El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada e(t). La dinámica del sistema está representada por las siguientes ecuaciones diferenciales:
Donde:
Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.
Para ver la solución de este problema ver: Ejemplo 1
Ejemplo: Linealización de un sistema con tres o más variables independientes
Un modelo muy simplificado de la dinámica de un cohete, se observa en la Figura 1. Una barra uniforme de masa m y longitud 2L, sometida a la fuerza de la gravedad en G (centro de gravedad de la barra) y a dos fuerzas exteriores aplicadas en su extremo inferior: una vertical V(t) y otra horizontal H(t). Se pide: i) Dibujar el diagrama de variables de entrada y salida. Caracterizar el punto de equilibrio determinado por x(0)=0, y(0)=0, .ii) Obtener el sistema de ecuaciones linealizado alrededor del punto de equilibrio. iii) Dibujar el diagrama de bloques del sistema. iV)Obtener a partir de él las funciones de transferencia:
Determinar los valores de K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ωn de 4 rad/s.
RESPUESTA
1. Lo primero que se aconseja hacer es obtener el modelo del sistema de la Figura 5-84 que sea equivalente al sistema de segundo orden prototipo, el cual es el siguiente:
Modelo Prototipo
Donde definimos la función de transferencia directa G(s) y la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) como sigue:
2. Determinamos G(s) y Gce(s) en relación al sistema de la Figura 5-84:
Donde G1(s) es la función de transferencia del lazo cerrado interno formado por K/(s+2) y k:
Luego, sustituimos G1(s) en la ecuación de G(s). Actuando de esta manera, obtenemos las funciones de transferencia del sistema de la Figura 5-84, equivalentes al sistema prototipo:
3. Con estas dos funciones podemos obtener lo parámetros que se solicitan en el enunciado, es decir, K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ωn de 4 rad/s. Para ello comparamos G(s) y Gce(s) obtenidos en el paso 1 con los obtenidos en el paso 2. Así obtenemos que:
Sustituyendo los valores de las variables aportadas en el enunciado, y despejando, obtenemos el siguiente resultado:
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Si lo que Usted necesita es reducir un Diagrama de Bloques complejo, resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o resolver un problema más complejo que involucra el uso de dispositivos electromecánicos (motor, sensor, etc) en un sistema de control…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema..Yo le resolveré cualquier problema de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.
El sistema mecánico mostrado en la Figura P5.52(a) es parte del sistema de realimentación unitaria de la Figura P5.52(b). Encontrar los valores de M y D para producir un sobresalto del 20% y un tiempo de establecimiento de 2 segundos.
1. Dinámica del sistema
donde:
2. Transformada de Laplace
3. Función de Transferencia Motor&Load
donde:
además:
4. Función de transferencia directa
La ganancia a lazo abierto Ga(s) es:
5. Función de transferencia a lazo cerrado
La ganancia a lazo cerrado Gc(s) es:
Es decir:
6. Cálculo de M y D
De acuerdo con:
Además:
De esta manera:
Mientras:
7. Verificación en Matlab
Utilizamos Matlab para corroborar este resultado, sustituyendo todos los valores calculados en la función de transferencia original:
el objetivo era: Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.
>> stepinfo (sys)
RiseTime: 0.3554
SettlingTime: 1.8989
SettlingMin: 0.9331
SettlingMax: 1.1999
Overshoot: 19.9890
Undershoot: 0
Peak: 1.1999
PeakTime: 0.8059
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En términos generales, la finalidad del método es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:
La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden, representado por el vectoren la ecuación anterior.
La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar algebraicamente.
El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante un ejemplo.
Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 3.5
1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:
De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:
2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos alcanzar:
3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función de las variables de estado seleccionadas:
Sustituimos:
4to paso.Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en términos de las variables de estado seleccionadas:
Nota: no depende de , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.
5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la resistencia R, y la llamamos IR, obtenemos directamente que:
O lo que es lo mismo:
Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial siguiente:
Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:
Una ecuación de orden n genera n variables de estado
Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden.
Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su representación en variables de estado.
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Atención:
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Para el análisis transitorio de algunos ejemplos tomamos en cuenta el cuadro presentado con anterioridad en ensayo teórico Respuesta Transitoria de un Sistema de Control, junto con la forma estándar de la Función de Transferencia:
En la siguiente figura vemos la relación entre σ (coeficiente de amortiguamiento) y el tipo de respuesta obtenida: mientras menor sea el valor de σ, más oscilatoria es la respuesta. La frecuencia natural ωd es un factor de escala de tiempo y no afecta la naturaleza de la respuesta más allá de afectar su escalamiento en el tiempo.
Matlab y la función tf() y step(). La Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador se muestra en la Figura 2.15.
Considerando M=1 Kg, Fv= 4 N*seg/m, y K= 3 N/m. Introduciendo la expresión de la función de transferencia en la consola de Matlab, utilizando tf() y step(), obtenemos la respuesta del sistema a a la entrada escalón unitario
> X=tf([1],[1 4 3])
>step(X)
X = 1/ s^2 + 4 s + 3
Gráfica 1
Mediante la función residue (X) podemos ver que los polos de esta función están en -3 y -1:
> [r,p,k]=residue ([1],[1 4 3])
r = -0.5000, 0.5000 // polos = -3, -1 // k =0. Los polos son reales negativos diferentes, lo que sugiere un factor de amortiguamiento por ello estamos en presencia de un sistema sobreamortiguado como lo sugiere la gráfica 1
>ilaplace(1/(s^3 + 4*s^2 + 3*s),s,t)
ans = exp(-3*t)/6 – exp(-t)/2 + ⅓ (respuesta a la aplicación de una fuerza repentina semejante a la función escalón unitario)
2. Utilizando tf() introducimos la función de transferencia del sistema descrito en forma estándar 25/(s^2 + 4s +25). Realice el gráfico de x(t) ante impulso y rampa para el intervalo 0<t<3 utilizando lsim() y impulse()
> p=tf([25],[1 4 25])
> t=0:0.1:3
> x=t
>lsim(p,x,t)
obtenemos la respuesta a la entrada rampa
> impulse(p)
obtenemos la respuesta al impulso del sistema
Utilizando step() obtenemos la respuesta al escalón unitario y utilizando stepinfo() obtenemos el valor de los parámetros más relevantes de esta respuesta:
> s=tf([25],[1 4 25])
> step(s)
> stepinfo(s)
3. Matlab y la función residue() y ilaplace(). Considerando el sistema
Gráfica 2. Respuesta a la entrada escalón unitario
>[r,p,k]=residue ([2 25],[1 4 25])
r = 1.0000 – 2.2913i; 1.0000 + 2.2913i
polos = -2.0000 + 4.5826i; -2.0000 – 4.5826i; k = []. Dos polos imaginarios conjugados, lo que sugiere un sistema subamortiguado, como se confirma en la gráfica, para
Vemos claramente que ωn*ζ= 2 y ωd = 4.5826.
>ilaplace((2*s + 25)/(s^3 + 4*s^2 + 25*s),s,t)
ans =1 – exp(-2*t)*cos(21^(1/2)*t) parecida a la forma
Vemos que a diferencia del ejemplo 1, en este caso la salida en el tiempo incluye un componente coseno que la hace oscilar como se muestra en la Gráfica 2.
Utilizando la función damp(), podremos encontrar los valores del coeficiente de amortiguamiento ζ , la constante de tiempo τ y el de la frecuencia natural ωn:
> damp(s2)
Pole Damping Frequency (r/s) Time Constant (s)
-2.00e+00 + 4.58e+00i 4.00e-01 5.00e+00 5.00e-01
-2.00e+00 – 4.58e+00i 4.00e-01 5.00e+00 5.00e-01
ζ=0.4 // ωn=5.00 r/s // τ=0.5 s
4. Matlab y la forma estándar: Supongamos que las especificaciones que deben cumplirse están expresadas como los valores del coeficiente de amortiguamiento y de la frecuencia natural. Podemos generar la función de transferencia de este sistema utilizando las funciones ord2() y printsys(NUM,DEN,’s’), y luego graficar esta respuesta recordando que ambos parámetros se relacionan con la entrada escalón unitario:
[NUM,DEN] = ord2(Wn,Z) returns the polynomial transfer function of the second order system.
> wn=5
> damping_ratio=0.4
>[Num0,den]=ord2(wn,damping_ratio)
Num0 =1;
den = 1 4 25.
printsys(NUM,DEN,’s’) prints the transfer function as a ratio of two polynomials in the transform variable ‘s’
> Num=5^2*Num0
> printsys(Num,den,’s’)
num/den = 25/ s^2 + 4 s + 25
>p=tf([25],[1 4 25])
>step(p)
5. Ahora analizamos la aplicación de la función lsim(): lsim – Simulate time response of dynamic system to arbitrary inputs-This MATLAB function produces a plot of the time response of the dynamic system model sys to the input history, t,u.
Consideramos el sistema simple 25/(s^2 + 4s +25) en su forma estándar, y la respuesta al escalón unitario. Aplicamos las funciones siguientes:
> p=tf([25],[1 4 25])
>[u,t]=gensig(‘pulse’,0.1,3,0.1)
> lsim(p,u,t)
obtenemos
6. Vamos a derivar la Función de Transferencia a partir de un diagrama de bloques y la función feedback(). Consideramos el sistema:
donde:
Determine la expresión de la función de transferencia Gfinal=C(s)/R(s) en Matlab utilizando el comando feedback()
>s=tf(‘s’)
> G3=1/s
> H3=10/(s+5)
>G3H3cloop=feedback(G3,H3)
G3H3cloop = s + 5/ s^2 + 5 s + 10
G2=20/(s+2)
> H2=10/(s+20)
G2H2cloop=feedback(G2,H2) // G2H2cloop = 20 s + 400/ s^2 + 22 s + 240 //
> G1plusG2H2cloop= G2H2cloop + G1
G1plusG2H2cloop = 5 s^2 + 130 s + 1600/ s^2 + 22 s + 240
> GRH1cloop=feedback(GR,H1)
GRH1cloop = 5 s^2 + 130 s + 1600/ 51 s^2 + 1322 s + 16240
Vemos claramente que el sistema tiene dos polos en el semiplano derecho, dos polos en el eje imaginario y cuatro en el semiplano izquierdo, por tanto es inestable. La respuesta al escalón unitario mediante step() así lo sugiere:
8. Obtenga las respuestas impulso, escalón y rampa para 0<t<10 s simulando los sistemas siguientes en Simulink, utilice un Scope para comparar las respuestas escalón y las respuestas ante una entrada rampa.
Peak: 1.2383 (se señala Pt y P en la gráfica para la curva color azul)
9. Ejercicio 77, p295, Nise. The mechanical system shown in Figure P5.52(a) is used as part of the unity feedback system shown in Figure P5.52(b). Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.
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Los Diagramas de Bloques son representaciones que permiten desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema.
Cimientos
Un sistema de control puede estar compuesto por numerosos mecanismos eléctricos (resistencias, inductancias, capacitores), electrónicos (amplificadores, controladores), electromecánicos (motores, generadores). Para representar todos estos componentes y la manera como fluye la información entre ellos, los ingenieros de control se valen de Los Diagramas de Bloques. Esta representación permite desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema.
A diferencia de una representación puramente matemática integrada por ecuaciones diferenciales, o su equivalente luego de utilizar la Transformada de Laplace o Variables de Estado, los diagramas de bloques nos permiten visualizar de una manera más realista el flujo de las señales en el sistema.
Forma realimentación.
Donde:
La configuración de la La Figura se denomina Sistema de control con realimentación unitaria, y es una de las más importantes en la ingeniería de control.
Para un estudio y análisis intensivo visite nuestro nuevo sitio:
El siguiente ejemplo ilustra la manera de obtener la Función de Transferencia de un modelo con realimentación, utilizando las reglas mencionadas en la Tabla 3-1 y las del modelo en cascada, para reducir Diagramas de Bloques:
Ejemplos de reducción de diagramas de bloques - Hallar la función de transferencia mediante álgebra de bloques.
Obtener la función de transferencia G(s)=Y(s)/R(s) de la Figura 1, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.
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Diagrama de Bloques - Problemas resueltos - Catálogo 8
En esta guía PDF se determina el Diagrama de Bloques y la Función de Transferencia mediante la aplicación álgebra de bloques, de los ejercicios que forman parte de la cátedra de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas, etc.Cada problema tiene un costo de 12.5 euros. La Guía completa tiene un valor de 27.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal en Diagrama de bloques – Catálogo 8.
1. Obtener la función de transferencia G(s)=Y(s)/R(s) de la Figura 1, por dos métodos: empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques y utilizando la fórmula de Mason.
2. Obtener la función de transferencia G(s)=C(s)/R(s) de la Figura 2, por dos métodos: empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques y utilizando la fórmula de Mason.
3. Obtener la función de transferencia G(s)=C(s)/R(s) de la Figura 3, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.
4. Determinar la función de transferencia G(s)=Y(s)/R(s) en el siguiente diagrama de bloques.
5. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 7 y representarlo mediante variables de estado. A partir de allí determinar el diagrama de bloques del sistema. Luego, utilizando álgebra de diagrama de bloques, Hallar la función de transferencia X(s)/U(s). Considerar a x(t) como la salida y a u(t) como la entrada. Comprobar el resultado mediante transformada de Laplace.
6. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 8. Hallar la representación matricial del sistema (variables de estado). Considere a x1(t) como la salida, y a u(t) como la entrada. Construya el diagrama de bloques del sistema y utilizando álgebra de bloques determinar la función de transferencia X1(s)/U(s).
7. Hallar las ecuaciones del sistema de la figura 22. Determinar la función de transferencia X1(s)/U(s). Determinar el diagrama de bloques del sistema a partir de la función de transferencia obtenida.
8. Hallar las ecuaciones del Sistema de la Figura 24. Hallar la representación en espacio de estados del sistema, considerando a Θ1(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar el diagrama de bloques del sistema y a partir de allí, mediante álgebra de bloques, determinar la función de transferencia Θ1(s)/T(s).
9. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 25. Determinar la función de transferencia X1(s)/F(s). Obtener el diagrama de bloques del sistema a partir de la función de transferencia obtenida (Explicar paso a paso). Graficar la respuesta del sistema a una entrada función escalón mediante Matlab. Considerar k1= k2= k3= 1 N/m, b1= b2= b3=1 N-s/m, m1= m2= m3=1 Kg.
Gráfica de respuesta al escalón unitario del ejercicio 9.
10. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema de la Figura 75. Utilizar el método de análisis de nodos. Hallar la función de transferencia Vo(s)/V(s). Realice la representación del sistema en diagrama de bloques a partir de la función de transferencia Vo(s)/V(s). Considerar R1=1Ω, R2= R3=1 Ω, L=1 H, C1=C2=1 pF.
11. Obtener la función de transferencia Vo(s)/V(s) del sistema eléctrico de la figura 75, a partir del diagrama de bloques del sistema obtenido en el problema 10, utilizando álgebra de bloques. Simular y analizar en Matlab la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario.
12. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema mostrado en la Figura 39 suponiendo que Θ4(t) es la salida y T(t)es la entrada. Dibujar el diagrama de bloques del sistema y hallar la función de transferencia Θ4(t)/T(t). Considerar k=2 N-m/rad, b=16 N-m-s/rad, J=4 Kg-m2
13. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Ei(s)del Sistema mostrado en la Figura 56. Hallar la representación en espacio de estados del sistema, suponiendo que ΘL(t) es la salida y que ei(t) es la entrada. Representar el Sistema mediante un diagrama de bloques. A partir del diagrama de bloques del sistema, determinar nuevamente y por medio de álgebra de bloques la función de transferencia ΘL(s)/Ei(s).
14. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Θr(s) del Sistema mostrado en la Figura 59. Diseñar el diagrama de bloques del sistema.
15. Hallar la función de transferencia Q2(s)/Q1(s) del Sistema de Nivel de Líquido mostrado en la Figura 68. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema tomando a q2(t)como la salida, y a q1(t)como la entrada. Obtener el diagrama de bloques del sistema y determinar la misma función de transferencia por medio de álgebra de bloques.
16. Un modelo muy simplificado de la dinámica de un cohete, se observa en la Figura 1. Una barra uniforme de masa m y longitud 2L, sometida a la fuerza de la gravedad en G (centro de gravedad de la barra) y a dos fuerzas exteriores aplicadas en su extremo inferior: una vertical V(t) y otra horizontal H(t). Se pide: i) Dibujar el diagrama de variables de entrada y salida. Caracterizar el punto de equilibrio determinado por x(0)=0, y(0)=0, .ii) Obtener el sistema de ecuaciones linealizado alrededor del punto de equilibrio. iii) Dibujar el diagrama de bloques del sistema. iV)Obtener a partir de él las funciones de transferencia:
17. Determinar la expresión para la salida C(s) del sistema de la Figura 90:
Figura 90
A
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Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales.
INDICE
Capítulo 1———————————————————- 1
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
Capítulo 2———————————————————- 51
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
Atención: Si lo que Usted necesita es reducir un Diagrama de Bloques complejo, resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o resolver un problema más complejo que involucra el uso de dispositivos electromecánicos (motor, sensor, etc) en un sistema de control…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema..Yo le resolveré cualquier problema de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital ..opcional simulación en Matlab.
En términos generales, la finalidad del método «Representación en variables de estado» es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:
La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden, representado por el vectoren la ecuación anterior.
La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar algebraicamente.
El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante un ejemplo.
Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 3.5
1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:
De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:
2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos alcanzar:
3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función de las variables de estado seleccionadas:
Sustituimos:
4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en términos de las variables de estado seleccionadas:
Nota: la derivada de il no depende de il , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.
5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la resistencia R, y la llamamos iR, obtenemos directamente que:
O lo que es lo mismo:
Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial siguiente:
Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:
Una ecuación de orden n genera n variables de estado
Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden.
Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su representación en variables de estado.
Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.
1er paso. Una vez más, la clave para seleccionar las variables de estado es centrar la atención sobre aquellos parámetros que son necesarios derivar para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del sistema.
Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de superposición:
Donde:
Vemos claramente que debemos seleccionar x1, x2 y x3 como nuestras variables de estado, pero además vemos que cada una de estas tres ecuaciones genera dos variables de estado, por lo tanto requerimos al menos seis variables de estado para representar este sistema.
Para evitar confusión, utilizaremos la letra Z para representar nuestras variables de estado. Y para facilitarnos la vida seleccionamos a la derivada de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:
con esta artimaña obtenemos directamente la siguiente relación:
que cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X, es decir:
De manera análoga, aplicamos el mismo procedimiento para el resto de las masas, y así obtenemos las otras variables de estado (que forman nuestro vector X en la ecuación anterior):
2do paso.Vemos que este método nos brinda ciertas relaciones de manera directa, es decir, ya sabemos cuáles son nuestras variables de estado, suficientes para poder representar al sistema en toda su complejidad, y además ya tenemos tres miembros del vector X‘ en función de las variables de estado. Es decir, sólo para aclarar de que estamos hablando:
Necesitamos ahora el resto de los términos del vector X‘ en función de las variables de estado ya seleccionadas, es decir:
Para hallar estas segundas derivadas, utilizamos la segunda ley de Newton y el criterio de superposición:
Masa 1:
Sustituyendo las variables y sus derivadas por las variables de estado ya seleccionadas, cumplimos con nuestro propósito:
Sustituyendo el valor de las variables por los datos aportados en el problema, y ordenando las variables de estado de menor a mayor, obtenemos:
Masa 2
Es decir:
Masa 3:
Es decir:
Por último, si seleccionamos x1 y x3 como nuestras salidas, nuestra representación del sistema en espacio de estados, en términos generales, queda así:
Y en términos específicos:
Otro ejemplo.
Las variables de estado son la herramienta más poderosa de la Ingeniería de Control Moderna, ya que no está limitada a sistemas lineales como sí o está el método hasta ahora visto, La Transformada de Laplace.
Las variables de estado en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 8, nos permitirá reescribir un sistema de segundo orden en un sistema de primer orden. El siguiente material fue obtenido del video: State-Space Representation
Figura 8
Seleccionando nuevamente el desplazamiento como la coordenada generalizada, la ecuación de movimiento del sistema es la siguiente:
El objetivo es expresar esta ecuación en una forma equivalente que tiene la siguiente forma:
Aquí el vector es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).
Las ecuaciones encerradas en círculos amarillos muestran como la primera forma de escribir es la forma compacta de escribir las ecuaciones para y.
El primer paso es definir las variables de estado:
Este procedimiento nos permite obtener de inmediato la primera ecuación de estado :
…..por tanto
El segundo paso consiste en forzar al coeficiente que acompaña al orden más alto, el coeficiente líder, a ser igual a la unidad. Para ello, en nuestro caso, se divide la ecuación de movimiento original entre m (y en general, entre el valor que ocupe ese lugar):
En el tercer paso se despeja la derivada de mayor orden:
El cuarto paso consiste en sustituir las derivadas de la variable original por sus ya asignadas variables de estado:
Y así hemos encontrado la segunda ecuación de estado:
….
Y así hemos completado el objetivo. La ecuación de movimiento original puede ser expresado como variables de estado en la siguiente forma:
Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
Mentoring Académico / Emprendedores / Empresarial
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.
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Los elementos básicos de todo sistema mecánico son la masa, el resorte y el amortiguador. El estudio del movimiento en sistemas mecánicos se corresponde con el análisis de sistemas dinámicos. En robótica, por ejemplo, la palabra Forward Dynamic se refiere a lo que le sucede a los actuadores cuando le aplicamos a los mismos ciertas fuerzas y torques.
La masa, el resorte, el amortiguador, son actuadores elementales de un sistema mecánico.
En consecuencia, para controlar el robot es necesario conocer muy bien la naturaleza del movimiento de un sistema masa-resorte-amortiguador.
Además, este sistema elemental se presenta en numerosos campos de aplicación, de allí la importancia de su análisis. De nuevo, en robótica, cuando se habla de Inverse Dynamic, se habla sobre el cómo hacer que el robot se mueva de una manera deseada, cuáles fuerzas y torques debemos aplicar sobre los actuadores para que nuestro robot se mueva de una manera particular.
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Antes de realizar el Análisis Dinámico de nuestro sistema masa-resorte-amortiguador, debemos obtener su modelo matemático. Éste es el primer paso a ejecutar por toda persona que pretenda conocer a profundidad la dinámica de un sistema, especialmente el comportamiento de sus componentes mecánicos.
Iniciaremos nuestro estudio con el modelo de un sistema masa-resorte.
Esto es conveniente por el motivo siguiente. Todos los sistemas mecánicos presentan una naturaleza en su movimiento que le impulsa a oscilar, como cuando un objeto pende de un hilo en el techo y con la mano lo empujamos. O un zapato sobre una plataforma con resortes. Es bueno saber qué función matemática es la que mejor describe ese movimiento.
Pero resulta que las oscilaciones de nuestro ejemplos no son infinitas. Existe una fuerza de roce que amortigua el movimiento. En el caso del objeto que cuelga de un hilo es el aire, un fluido. Por lo que luego de estudiar el caso de un sistema ideal masa-resorte, sin amortiguación, pasaremos a considerar dicha fuerza de roce y añadir a la función ya encontrada un nuevo factor que describa el decaimiento del movimiento.
Sistema Masa-Resorte.
Fuente: Física. Robert Resnick
La dinámica de un sistema se representa en primer lugar mediante un modelo matemático compuesto por ecuaciones diferenciales. En el caso de el sistema masa-resorte, dicha ecuación es la siguiente:
Esta ecuación se conoce como Ecuación de Movimiento de un Oscilador Armónico Simple. Veamos de donde se deriva.
Si nuestra intención es obtener una fórmula que describa la fuerza que ejerce un resorte en contra del desplazamiento que lo estira o lo encoge, la mejor manera es visualizando la energía potencial que se inyecta al resorte cuando tratamos de estirarlo o encogerlo. La siguiente gráfica describe cómo se comporta esta energía en función del desplazamiento horizontal:
A medida que la masa m de la figura anterior, sujeta al extremo del resorte como se muestra en la Figura 5, se aleja del punto de relajación del resorte x=0 en sentido positivo o negativo, la energía potencial U(x) se acumula y aumenta en forma parabólica, llegando a un valor superior de energía donde U(x)=E, valor que se corresponde con la máxima elongación o compresión del resorte. La ecuación matemática que en la práctica describe mejor esta forma de curva, incorporando una constante k para la propiedad física del material que aumenta o disminuye la inclinación de dicha curva, es la siguiente:
La fuerza se relaciona con la energía potencial de la siguiente manera:
Por lo tanto:
Tiene sentido ver que F(x) es inversamente proporcional al desplazamiento de la masa m. Porque está claro que si estiramos el resorte, o lo encogemos, esta fuerza se opone a dicha acción, intentando devolver al resorte a su posición relajada o natural. Por ello se le llama fuerza de restitución. La ecuación anterior es conocida en la academia como La Ley de Hooke, o ley de la fuerza para resortes. La siguiente es una gráfica representativa de dicha fuerza, en relación con la energía como se ha venido mencionando, sin intervención de fuerzas de roce (amortiguación), por lo que se le conoce como Oscilador Armónico Simple. Es importante recalcar la relación proporcional entre desplazamiento y fuerza, pero con pendiente negativa, y que, en la práctica, es más compleja, no lineal.
Esta ecuación nos dice que la sumatoria vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m, es igual al producto del valor de dicha masa por su aceleración adquirida debido a dichas fuerzas. Considerando que en nuestro sistema resorte-masa, ∑F=-kx, y recordando que la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento, aplicando la Segunda Ley de Newton obtenemos la siguiente ecuación:
Arreglando un poco las cosas, obtenemos la ecuación que queríamos obtener desde un principio:
Esta ecuación representa La Dinámica de un Sistema Masa-Resorte ideal.
A parte de la Figura 5, otra forma común de representar este sistema es mediante la configuración siguiente:
Fuente: Dinámica de Sistemas. Katsuhiro Ogata
En este caso debemos considerar la influencia del peso en la sumatoria de fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m. El peso P está determinado por la ecuación P=m.g, donde g es el valor de la aceleración del cuerpo en caída libre.
Si se jala la masa hacia abajo y luego se suelta, actúa la fuerza de restitución del resorte, provocando una aceleración ÿen el cuerpo de masa m. Obtenemos la siguiente relación aplicando Newton:
Si implícitamente consideramos la deflexión estática, es decir, si realizamos las medidas a partir del nivel de equilibrio de la masa colgando del resorte sin moverse, entonces podemos obviar y descartar la influencia del peso P en la ecuación. Si hacemos y=x, obtenemos de nuevo la ecuación:
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador
Si no existiera ninguna fuerza de roce, el oscilador armónico simple oscila infinitamente. En la realidad, la amplitud de la oscilación disminuye gradualmente, un proceso conocido como amortiguación, descrito gráficamente a continuación:
Fuente: Física. Robert Resnick
El desplazamiento de un movimiento oscilatorio se grafica contra el tiempo, y su amplitud se representa mediante una función sinusoidal amortiguada por un factor exponencial decreciente que en la gráfica se manifiesta como una envolvente. La fuerza de fricción Fv que actúa en el Movimiento Armónico Amortiguado es proporcional a la velocidad V en la mayoría de los casos de interés científico. Dicha fuerza tiene la forma Fv = bV, donde b es una constante positiva que depende de las características del fluido que ocasiona la fricción, entre otras cosas. Esta fricción, también conocida como Fricción Viscosa, se representa mediante un diagrama que consiste en un pistón y un cilindro lleno de aceite:
La manera más popular de representar un sistema masa-resorte-amortiguador es mediante una conexión en serie como la siguiente:
Figura 6
Fuente: Física. Robert Resnick
Así como la siguiente:
Fuente: Dinámica de Sistemas. Katsuhiro Ogata
En ambos casos se obtiene el mismo resultado al aplicar nuestro método de análisis. Considerando la Figura 6, podemos observar que es la misma configuración mostrada en a Figura 5, pero agregando el efecto del amortiguador. Aplicando la segunda Ley de Newton a este nuevo sistema, obtenemos la siguiente relación:
Esta ecuación representa La Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Es de importancia observar que la ecuación (37) es también una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden 2 (Ordinary Differential Equation – ODE) porque sólo involucra las derivadas de una sola variable (en este caso x) hasta la segunda derivada. Además, al despejar la ecuación e igualarla a cero, se transforma también en una ODE Lineal Homogénea (Homogeneous Linear ODE) la cual posee importantes propiedades que facilitan el cálculo. Más adelante en este mismo documento veremos eso mediante la aplicación de La Transformada de Laplace.
Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1
La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
En esta guía PDF se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 21.5 €.
A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía (también Resuelvo ejercicios particulares…atención inmediata!!..W+34747458738):
La Figura 1 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador. La salida es el desplazamiento x(t) del sistema, mientras que la entrada es la fuerza u(t) que se ejerce sobre la masa m. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s).
2. La Figura 2 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador montado sobre un carro. El desplazamiento del carro es y(t) (la entrada) y el desplazamiento del sistema es x(t) (la salida). Considerar que el carro no tiene masa. Hallar la función de transferencia X(s)/Y(s) .
3. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema de la Figura 3 utilizando su modelo en frecuencia y algebra lineal.
4. Hallar la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema de la Figura 4:
5. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 5. Ilustrar el uso de diagramas de cuerpo libre.
6. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s), X2(s)/U(s), del sistema de la Figura 6.
7. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s) del sistema presentado en la Figura 7. Comprobar el mismo resultado utilizando la combinación variables de estado – diagrama de bloques. Considerar a x(t) como la salida y a u(t) como la entrada.
8. Hallar la representación matricial del sistema de la Figura 8. Considere a x1(t) como la salida, y a u(t) como la entrada. Construya el diagrama de bloques del sistema y determine la función de transferencia X1(s)/U(s).
9. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 9. Considerar k1= k2=6 N/m, b1= b2= b3=2 N-s/m, m1= m2= m3=4 Kg. Ilustrar el uso de Matlab para la aplicación del álgebra lineal.
10. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema de Suspensión Vehicular de la Figura 10. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número)
11. Hallar la representación en el espacio de estados del sistema del ejercicio anterior, Figura 10, considerando u(t) como la entrada y y2(t)como la salida. Transformar la representación matricial en la función de transferencia Y2(s)/U(s) directamente, utilizando álgebra de matrices. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.
Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1.
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Transformada de Laplace de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador
Una solución para la ecuación (37) se presenta a continuación:
Fuente: Física. Robert Resnick
La ecuación (38) muestra claramente lo que se había observado con anterioridad. Un ejemplo puede simularse en Matlab mediante el siguiente procedimiento:
La forma de la curva del desplazamiento en un sistema masa-resorte-amortiguador está representada por una sinusoide amortiguada por un factor exponencial decreciente. Es importante entender que en el caso anterior no se está aplicando ninguna fuerza al sistema, por lo que el comportamiento de este sistema se puede catalogar como «comportamiento natural» (también llamada respuesta homogénea). Más adelante mostramos el ejemplo de aplicar una fuerza al sistema (un escalón unitario), lo que genera un «comportamiento forzado» que influye el comportamiento final del sistema que será el resultado de sumar ambos comportamientos (natural + forzado). Observación: Cuando se aplica una fuerza al sistema, el lado derecho de la ecuación (37) ya no es igual a cero, y la ecuación deja de ser homogénea.
La solución para la ecuación (37) presentada anteriormente, puede derivarse mediante el método tradicional para resolver ecuaciones diferenciales. Sin embargo, dicho método es poco práctico cuando nos encontramos con sistemas más complicados como el siguiente que en los cuáles además se aplica una fuerza f(t):
Figura 7
Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.
Surge entonces la propuesta de un método más práctico para hallar la dinámica de los sistemas y facilitar el posterior análisis de su comportamiento mediante simulación computarizada. La Transformada de Laplace permite alcanzar este objetivo de una manera rápida y rigurosa.
En la ecuación (37) no es fácil despejar x(t), que en ese caso es la función de salida y de interés. Tampoco puede representarse una ecuación diferencial en forma de Diagrama de Bloquesque es el lenguaje más utilizado por los ingenieros para modelar sistemas, haciendo de lo complejo un objeto visual más fácil de entender y analizar. Esto conduce al primer objetivo para un método más práctico. El primer paso es separar claramente la función de salida x(t), la función de entrada f(t) y la función del sistema, alcanzando una representación como la siguiente:
r(t)=f(t), c(t)=x(t)
Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.
La Transformada de Laplace consiste en cambiar las funciones de interés del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia mediante la siguiente ecuación:
Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.
La ventaja principal de este cambio radica en que transforma derivadas en sumas y restas, luego, mediante asociaciones, podemos despejar la función de interés aplicando las simples reglas del álgebra. Además, no es necesario aplicar la ecuación (2.1) a todas las funciones f(t) que nos encontremos, cuando se dispone de tablas que de antemano ya nos indican la transformada de funciones que se presentan con gran frecuencia en todos los fenómenos, como las sinusoides (salida del sistema masa, resorte y amortiguador) o la función escalón (entrada que representa un cambio brusco). En el caso de nuestros elementos básicos para un sistema mecánico, es decir: masa, resorte y amortiguador, contamos con la siguiente tabla:
Es decir, aplicamos un diagrama de fuerzas para cada unidad de masa del sistema, sustituimos la expresión de cada fuerza en tiempo por su equivalente en frecuencia (que en la tabla se denomina Impedancia, haciendo analogía entre sistemas mecánicos y sistemas eléctricos) y aplicamos la propiedad de superposición (cada movimiento se estudia por separado y luego se suma el resultado).
La Figura 2.15 muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador cuya dinámica se describe mediante una sola ecuación diferencial:
El sistema de la Figura 7 permite describir un método general bastante práctico para encontrar la función de transferencia de sistemas con varias ecuaciones diferenciales. Primero se aplica el diagrama de fuerzas a cada unidad de masa:
La Transformada de Laplace llama a la función del sistema Función de Transferencia, cuya definición depende de cual es la función de entrada y cual la salida. Por ejemplo, para la Figura 7 nos interesa conocer la Función de Transferencia G(s)=X2(s)/F(s).
Arreglando en forma matricial las ecuaciones del movimiento obtenemos lo siguiente:
Las ecuaciones (2.118a) y (2.118b) muestran un patrón que siempre se cumple y se puede aplicar para cualquier sistema masa-resorte-amortiguador:
La consecuencia inmediata del método anterior es que facilita enormemente obtener las ecuaciones del movimiento para un sistema masa-resorte-amortiguador, al contrario de lo que sucede con las ecuaciones diferenciales. Además, podemos llegar rápidamente a la solución exigida. En el caso de nuestro ejemplo:
donde
que son resultados que se obtienen aplicando las reglas del Algebra Lineal, lo que concede un gran poder computacional al método de Transformada de Laplace.
Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 2
En esta guía PDF se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo por toda la guía: 21.5 €. Costo por un solo ejercicio: 14.5 €.
A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía .
1. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 12.
2. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 13.
3. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s) y X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 14.
4. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 15. Considerar k1=1, k2= 15 N/m, b1=4, b2= 16 N-s/m, m1= 8, m2=3 Kg.
5. Hallar la función de transferencia X3(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 16. Considerar k1=5, k2= 4. k3= 4 N/m, b1=2, b2= 2, b3= 3 N-s/m, m1= 4, m2=5, m3=5 Kg.
6. Hallar la función de transferencia X1(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 17. Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1 N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1 Kg. El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número.
7. Hallar el modelo en espacio de estados del Sistema del ejercicio anterior Figura 17, tomando a x1(t)como la salida y u(t) como la entrada. Transformar dicho modelo en la función de transferencia X1(s)/U(s). Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1 N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1 Kg.
8. Hallar la función de transferencia Yh(s)/fup(s) del Sistema de la Figura 19. Considerar kh=7, ks=8, kave=5 N/m, bf=3, bh= 10 N-s/m, mh=1, mf=2 Kg.
9. Hallar las funciones de transferencia X2(s)/U(s) y X3(s)/U(s) del Sistema de la Figura 20. Considerar k1=1, k2=2, k3=3, k4=4 N/m, b1=2,b2= 1,b3= 3 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=3 Kg.
10. Hallar la representación en espacio de estados tomando x3(t)como salida y u(t)como entrada, y la función de transferencia X3(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 21. Considerar k=2 N/m, b1=b2=b3=b4=b5=1 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=1 Kg.
11. Determinar la función de transferencia y el diagrama de bloques del sistema de la figura 22:
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Caso Rotacional
Hasta ahora se ha considerado solamente el caso traslacional. En el caso de que el desplazamiento sea rotacional, la siguiente tabla resume la aplicación de la transformada de Laplace en ese caso:
Para ilustrar su uso consideramos el siguiente ejemplo:
Las siguientes figuras ilustran la manera cómo realizar el diagrama de fuerzas para este caso:
De esta manera, el resultado se obtiene a continuación:
Siendo:
Observamos que de nuevo se cumple que:
Sistema masa-resorte-amortiguador. Sistema Rotacional. Problemas resueltos. Catálogo 3
La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
En esta guía PDF se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador rotacional que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo por toda la guía: 21.5 €. Costo por un ejercicio: 14.5 €.
A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.
1. Hallar la función de transferencia Θ(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 22.
2. Hallar la función de transferencia Θ(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 23.
3. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s)del Sistema mostrado en la Figura 24.El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.
4. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 24, considerando a Θ1(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar el diagrama de bloques del sistema y a partir de allí la función de transferencia Θ1(s)/T(s).
5. Hallar la función de transferencia ΘL(s)/Tm(s) del Sistema Motor-Eje Flexible-Carga mostrado en la Figura 26.
6. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/Tm(s) y Θ2(s)/Tm(s) del Sistema mostrado en la Figura 27.
7. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 28.
8. Hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 29.
9. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s)del Sistema mostrado en la Figura 30. Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2. El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.
10. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 30, considerando a Θ2(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s), directamente desde la representación en variables de estado obtenida. Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2.
11. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema mostrado en la Figura 32, considerando a Θ2(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Utilizando Matlab, hallar la función de transferencia Θ2(s)/T(s) directamente a partir de la representación en variables de estado obtenida. Considerar k1= k2=1 N-m/rad, b1= b2=1 N-m/rad, J=1 Kg-m2.
12. Hallar Las funciones de transferencia Θ1(s)/Tm(s) y Θ2(s)/Tm(s)del Sistema mostrado en la Figura 33.
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Respuesta de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador con Condiciones Iniciales
La técnica discutida hasta ahora, la aplicación de la Transformada de Laplace para obtener la función de transferencia, ha implicado condiciones iniciales iguales a cero en el sistema. Es por ello que muchos problemas inician con el anuncio de «suponga que el sistema parte del reposo», o, «suponga condiciones iniciales iguales a cero».
En el caso de que las condiciones iniciales de un sistema Masa-Resorte-Amortiguador no sean cero, la aplicación de la transformada de Laplace tiene una variante que hace poco factible encontrar la función de transferencia del sistema. En cambio, podemos obtener una expresión para la salida X(s) tomando en cuenta dichas condiciones iniciales, para luego evaluar un sistema paralelo cuyo comportamiento sea equivalente al sistema que nos interesa. Veamos.
Consideramos el sistema de la Figura 5-30, con m=1 Kg; b= 3 N-s/m; k=2 N/m:
Si las condiciones iniciales no son iguales a cero, debemos obtener primero la ecuación diferencial del este sistema, la cual es:
Suponemos que en el tiempo t=0 la masa es jalada hacia abajo (sentido positivo) tal que posee las siguientes condiciones iniciales: x(0)=0.1 m; x´=0.05 m/s. Tomando en cuenta condiciones iniciales diferentes de cero, la transformada de Laplace para x’ es sX(s) – x(0), y para x» es s^2X(s) – sx(0) – x'(0). Por tanto, la transformada de Laplace del sistema anterior es:
Despejando X(s)obtenemos:
Por tanto, la expresión para la salida considerando las condiciones iniciales diferentes de cero es:
Si aún queremos evaluar el movimiento del sistema mediante una función de transferencia, podemos aplicar una fuerza externa y observar que pasa. Hacemos uso de una de las entradas más comunes para evaluar sistemas: una entrada escalón unitario. Es muy utilizada porque muchos fenómenos se manifiestan de esta manera, cuando la fuerza aparece súbitamente y luego permanece constante.
La ecuación anterior se puede escribir como sigue:
Por lo tanto el movimiento de la masa m puede ser evaluada como la respuesta a la entrada escalón unitario del siguiente sistema cuya Función de Transferencia G(s) es:
Introduzca en el Command Window de Matlab el siguiente código el cual simula el comportamiento del sistema ante una entrada escalón:
RiseTime: 2.5518
Peak: 0.1042
¿Cómo se puede interpretar este resultado? El sistema originalmente comienza su movimiento en x(0)=0.1 m (offset) y viaja a una velocidad de 0.05 m/s. Según la gráfica, el sistema (la masa m) se desplaza (oscila) levemente hasta 0.1042 m (Peak) al ser «empujada» por una fuerza en forma de escalón unitario en sentido positivo, y en 2.5518 segundos (RiseTime) a regresado a la posición 0,0368 m aprox., que se corresponde con el 63.2% de su trayecto hasta la posición final que es 0m, es decir, la masa y el sistema en general regresa desde 0.1metros a su posición de equilibrio.
Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Las variables de estado son la herramienta más poderosa de la Ingeniería de Control Moderna, ya que no está limitada a sistemas lineales como sí o está el método hasta ahora visto, La Transformada de Laplace.
Las variables de estado en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 8, nos permitirá reescribir un sistema de segundo orden en un sistema de primer orden. El siguiente material fue obtenido del video: State-Space Representation Figura 8
Seleccionando nuevamente el desplazamiento como la coordenada generalizada, la ecuación de movimiento del sistema es la siguiente:
El objetivo es expresar esta ecuación en una forma equivalente que tiene la siguiente forma:
Aquí el vector es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).
Las ecuaciones encerradas en círculos amarillos muestran como la primera forma de escribir es la forma compacta de escribir las ecuaciones para y.
El primer paso es definir las variables de estado:
Este procedimiento nos permite obtener de inmediato la primera ecuación de estado :
…..por tanto
El segundo paso consiste en forzar al coeficiente que acompaña al orden más alto, el coeficiente líder, a ser igual a la unidad. Para ello, en nuestro caso, se divide la ecuación de movimiento original entre m (y en general, entre el valor que ocupe ese lugar):
En el tercer paso se despeja la derivada de mayor orden:
El cuarto paso consiste en sustituir las derivadas de la variable original por sus ya asignadas variables de estado:
Y así hemos encontrado la segunda ecuación de estado:
….
Y así hemos completado el objetivo. La ecuación de movimiento original puede ser expresado como variables de estado en la siguiente forma:
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Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales.
INDICE
Capítulo 1———————————————————- 1
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
Capítulo 2———————————————————- 51
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
Capítulo 3———————————————————- 76
Sistema Mecánico con engranajes
Capítulo 4———————————————————- 89
Sistema eléctrico, electrónico
Capítulo 5———————————————————-114
Sistema Electromecánico – Motor DC
Capítulo 6——————————————————— 144
Sistema del nivel de líquido
Capítulo 7——————————————————— 154
Linealización de sistemas no lineales
Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos
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Lo primero que hay que entender sobre los sistemas de control es que son sistemas dinámicos. Según Ogata (1987), autor de uno de los libros más utilizados en las escuelas de ingeniería de control, un sistema es dinámico cuando su salida en el presente depende de una entrada en el pasado. La otra opción es cuando la salida presente del sistema depende sólo de una entrada en el presente, en cuyo caso el sistema se hace llamar estático. Cuando un sistema dinámico no está en su estado de equilibrio, la salida cambia con el tiempo. Mientras, en un sistema estático, la salida permanece constante si la entrada no cambia; es decir, la salida sólo cambia si cambia su entrada. Una breve introducción es ejecutada por el profesor Pedro Albertos de la UPV en el link: Systems and Signals Examples.
Las Figuras 1 y 2 son ejemplos de sistemas estáticos y dinámicos respectivamente. La primera muestra la relación de balance en una palanca apoyada sobre un fulcro (punto de apoyo). El valor presente de la salida y(t) depende del valor presente de la entrada u(t). La segunda muestra que la velocidad y posición de un vehículo depende de una entrada en el pasado.
Figura 1. Ejemplo de sistema estático (Albertos, 2016)
Figura 2. Ejemplo de sistema dinámico (Albertos, 2016)
Los sistemas artificiales tales como la plataforma petrolera de la Figura 3, o la cabina de un avión de la Figura 4, son también ejemplos de sistemas dinámicos de alta complejidad fabricados por los seres humanos:
Figura 3. Sistema Artificial (Albertos,2016)
Figura 4. Sistema Artificial. (Albertos,2016)
La respuesta transitoria.
En relación a los sistemas de control, Nise (2011) define un sistema dinámico de la siguiente manera: “A control system is dynamic: It responds to an input by undergoing a transient response before reaching a steady-state response that generally resembles the input” [Nise, 2011, p. 10] (Un sistema de control es dinámico: responde a una entrada por medio de una respuesta transitoria antes de alcanzar una respuesta en estado estable que generalmente sigue, intenta igualar, a la entrada). La Figura 5 muestra un sistema para controlar la posición de una antena. Aquí, la salida es la posición angular (Azimuth Angle), mientras que la entrada es la señal emitida por el potenciómetro. La Figura 6 muestra la salida (línea azul) del sistema mostrado en la Figura 5, en términos de la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable, para ambos casos: alta ganancia y baja ganancia.
Figura 5. Sistema de control de posición (Nise, 2016)
Figura 6. Respuesta transitoria y respuesta en estado estable del sistema de control de posición de la Figura 5.
La intención, la misión del sistema de control de la Figura 5, es colocar la antena en la posición indicada por la entrada, por eso la salida sigue a la entrada. Observando la gráfica de la Figura 6 podemos verificar la característica principal de un sistema dinámico. La entrada o input, se presenta en el tiempo t=0. La respuesta a partir de allí, en cualquier tiempo futuro depende de la entrada en el pasado, o sea, aquella que se presentó en el tiempo t=0. La respuesta transitoria corresponde a aquella que se presenta antes de alcanzar el estado estable, el cual es el valor final de la respuesta del sistema. En la imagen podemos observar dos respuestas transitorias. La primera, de alta ganancia (hig gain), genera alta fluctuación antes de alcanzar el estado estable, pero tiene la ventaja de que es muy rápida en alcanzar el valor final (output), mientras la segunda, de baja ganancia (lowgain), presenta poca fluctuación, pero tarda mucho más en alcanzar el valor final. En la primera respuesta podemos imaginar a la antena moviéndose con rapidez súbita y zigzagueando alrededor de su posición final. En el segundo caso, la antena se moverá más lentamente hacia su posición final, a la cual llegará de una manera mucho más amortiguada, serena. La selección de una u otra respuesta dependerá de la necesidad del operador y de los límites de estabilidad del sistema que por lo general se establecen en los requerimientos iniciales.
Sistemas LTI.
Estudiar un sistema de control exige obtener en primer lugar, el modelo matemático de dicho sistema, lo que en realidad implica el desarrollo del modelo de un sistema dinámico.
Un modelo matemático es percibido como un conjunto de ecuaciones que representa la dinámica de un sistema de manera exacta o aproximada. La dinámica de un sistema mecánico, eléctrico o biológico, puede ser representada mediante ecuaciones diferenciales (Ogata, 2002). En general, resolver un problema por lo general requiere en su primera etapa de contar con un modelo sencillo, simplificado, de manera tal que visualizar la solución sea una tarea lo más práctica posible. Para lograr un modelo simplificado, el ingeniero de control debe decidir cuáles de las variables y relaciones físicas son esenciales para el modelo, y cuáles pueden despreciarse (Ogata, 1987). (Por ejemplo, para estudiar el desplazamiento de un resorte que actúa a baja frecuencia, se puede despreciar su masa. Pero, cuando el mismo resorte actúa a alta frecuencia, su masa influye de manera determinante en su desplazamiento, por tanto, no puede despreciarse. De allí a que la ecuación que gobierna el desplazamiento del resorte es más sencilla a baja frecuencia).
Una vez que se tiene una idea aproximada sobre el tipo y la cobertura de la solución, de la conducta y respuesta natural del sistema, el modelo puede ser optimizado, transformándose en uno de mayor complejidad que requiera de la aplicación de software especializado en análisis y simulación, para obtener información oculta en la profundidad de dicha complejidad.
A propósito de la tarea de realizar un modelo, el Prof. del MIT John Sterman comparte su filosofía con nosotros sobre la eficacia de un modelo, mediante las siguientes palabras:
“Every model is a representation of a system…But for a model to be useful, it must address a specific problem and must simplify rather than attempt to mirror an entire system in detail…the usefulness of models lies in the fact that they simplify reality, creating a representation of it we can comprehend…Von Clausewitz famously cautioned that the map is not the territory. It´s a good thing it isn´t: A map as detailed as the territory would be of no use” [Sterman, 2000, p. 89] . (Cada modelo es una representación de un sistema…Pero para que un modelo sea útil, debe enfocarse en un problema específico y debe simplificar en vez de intentar una representación del sistema completo en detalle…la utilidad de los modelos radica en el hecho de que ellos simplifican la realidad, creando una representación de ella que nosotros podamos comprender… Von Clausewitz ofreció su famosa alerta sobre el hecho de que el mapa no es el territorio: Un mapa tan detallado como el territorio sería completamente inútil)
Para obtener las ecuaciones que conforman los modelos de sistemas dinámicos los ingenieros utilizan las leyes de la física, aplicadas a las propiedades de estos sistemas, buscando siempre el camino más fácil para sintetizar el modelo. Entre las propiedades de los sistemas más útiles para alcanzar este objetivo, se encuentran la propiedad de linealidad y la invariancia en el tiempo, básicamente por dos razones principales. En primer lugar, una inmensa cantidad de procesos físicos, sobre todo aquellos que interesan a la ciencia, poseen ambas propiedades. En segundo lugar, los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, conocidos también como Sistemas LTI (Linear Time Invariant) son ampliamente accesibles en términos de herramientas disponibles para su análisis. La ciencia de las señales y sistemas ha alcanzado un poderoso desarrollo de estas herramientas, permitiendo que personas de todos los ámbitos académicos puedan aproximarse con facilidad al análisis de los sistemas LTI (Oppenheim, 1996). Es por eso que la comprensión de los sistemas LTI se convierte en la siguiente tarea en la preparación para el análisis de un sistema de control.
Concepto de análisis y diseño.
Antes de profundizar sobre las características de un sistema LTI, es necesario definir las áreas básicas de trabajo del ingeniero de control (Ogata, 1986): el análisis, el diseño y la síntesis de sistemas.
Análisis: es el estudio del funcionamiento de un sistema en condiciones específicas, cuyo modelo matemático se conoce. Por lo general se hacen variar los valores de los parámetros involucrados en los modelos matemáticos para observar las diferentes respuestas y de allí sacar conclusiones. Como el análisis depende del modelo matemático, es independiente del tipo de sistema físico de que se trate, sea este mecánico, eléctrico, hidráulico, etc.
Diseño: dada una tarea específica, se trata del proceso para encontrar el sistema que cumpla con esa tarea. Por lo general no es directo y requiere ensayo y error. El diseño implica por tanto aclarar los requerimientos para el sistema, generalmente dados en términos cuantitativos y cualitativos. Luego, el ingeniero recurre a la síntesis. Una vez dotado de un modelo, mediante simulación computarizada lo analiza para predecir el cumplimiento de los requerimientos. Aplicando ensayo y error, modifica el modelo, hasta aproximarse lo más posible al resultado deseado. De ser posible, fabrica un prototipo y continúa el análisis, hasta cumplir con el objetivo final.
Síntesis: es el uso de un procedimiento explícito para encontrar un sistema que funcione de manera específica. En este caso, las características del sistema se postulan al principio, y luego se utilizan varias técnicas matemáticas para dar con ese sistema.
Existen por tanto, dos métodos de diseño (Distefano et al, 1995):
Diseño por análisis: hecho por medio de la modificación de las características de un sistema que ya existe;
Diseño por síntesis: definición de un sistema a partir de sus especificaciones
En relación a los sistemas de control, Nise expone en los siguientes términos las funciones de un ingeniero: “…we discuss three major objectives of systems analysis and design: producing the desired transient response, reducing steady-state error, and achieving stability” [Nise, 2011, p. 10]. (Discutimos tres objetivos principales en el análisis y diseño de sistemas: producir la respuesta transitoria deseada, reducir el error en estado estable y lograr estabilidad).
Caso de aplicación.
Para ilustrar el proceso de obtención de la dinámica de un sistema, utilizaremos el popular del sistema masa-resorte-amortiguador montado en un carro, mostrado en la Figura 7
Figura 7. Sistema masa-resorte-amortiguador, montado en un carro.
Se supone que el sistema está en reposo en . Lo primero que se debe determinar es cuál es la entrada y cual es la salida del sistema en estudio, a la vez que asignarles un nombre en forma de función dependiente del tiempo, a cada una de ellas. El sistema masa-resorte-amortiguador se moverá en el momento en que el carro se mueve, por lo que el movimiento del carro es la entrada, mientras que el desplazamiento de la masa es la salida. De manera intuitiva podemos prever que si tiene una dirección, digamos a la derecha, entonces tendrá la misma dirección pero con sentido contrario, es decir, a la izquierda.
En el instante el carro se mueve con una velocidad constante, que se representa como la derivada de su desplazamiento con respecto al tiempo, es decir .
El amortiguador actúa como una fricción ante el movimiento de la masa . Dicha masa se desplaza con velocidad . Si la constante del amortiguador de la Figura 7 es , la fuerza que ejerce para oponerse a todo movimiento será proporcional a la velocidad de ese movimiento, en nuestro caso a con pendiente , es decir, estamos ante una función lineal que representa la fuerza de fricción ejercida por el amortiguador al desplazamiento de la masa , y que es igual a . Pero la función ejerce su influencia sobre a través del amortiguador, por lo que tiene un segundo componente que favorece el movimiento de . Dicho desplazamiento es proporcional a y tiene sentido contrario a . De acuerdo con Newton, ambas fuerzas producen una aceleración en la masa que podemos denominar . La relación entre estas fuerzas y dicha aceleración viene dada por la relación formulada por la segunda Ley de Newton: o bien .
El resorte por su parte, también se opone al movimiento de la masa , pero a su vez lo favorece porque el carro también transmite su influencia a la masa a través del resorte. Si la constante del resorte es , y la aceleración de la masa debido al resorte es , la fuerza total que ejerce el resorte sobre la masa es igual a , o bien,
Ahora bien, la expresión matemática que resume la relación entre la aceleración total aplicada sobre la masa , y las fuerzas y , siguiendo la segunda Ley de Newton, es la siguiente:
La ecuación anterior representa la dinámica del sistema, un modelo matemático constituido generalmente por ecuaciones diferenciales como se explicaba en los primeros párrafos de este documento.
Y así:
Donde mx=df/dx evaluado en x=xo. Note que δx es ahora la variable independiente, para la cual utilizamos sólo un rango válido de valores alrededor de xo, por lo que a δx le llamamos excursión. Volviendo a la Figura 2.47, ésta es la táctica clave del proceso de linealización, hemos creado un sistema de coordenadas centrado en el punto A, para sustituir la variable independiente x por δx. Podemos seguir utilizando la notación δx o cualquier otra más práctica como:
Veamos cómo funciona esto mediante ejemplos.
Nuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:
Hallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:
Entonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:
La presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.
Así:
Procedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:
Aplicamos ahora las reglas de derivación:
Y para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir, linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:
Así:
Es decir:
en la ecuación anterior.
por ello estamos en presencia de un sistema sobreamortiguado como lo sugiere la gráfica 1
es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).
es la forma compacta de escribir las ecuaciones para 
y
.
…..por tanto
….
2. La Figura 2 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador montado sobre un carro. El desplazamiento del carro es y(t) (la entrada) y el desplazamiento del sistema es x(t) (la salida). Considerar que el carro no tiene masa. Hallar la función de transferencia X(s)/Y(s) .
3. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema de la Figura 3 utilizando su modelo en frecuencia y algebra lineal.
4. Hallar la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema de la Figura 4:
5. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 5. Ilustrar el uso de diagramas de cuerpo libre.
6. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s), X2(s)/U(s), del sistema de la Figura 6.
7. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s) del sistema presentado en la Figura 7. Comprobar el mismo resultado utilizando la combinación variables de estado – diagrama de bloques. Considerar a x(t) como la salida y a u(t) como la entrada.
10. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema de Suspensión Vehicular de la Figura 10. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número)
11. Hallar la representación en el espacio de estados del sistema del ejercicio anterior, Figura 10, considerando u(t) como la entrada y y2(t) como la salida. Transformar la representación matricial en la función de transferencia Y2(s)/U(s) directamente, utilizando álgebra de matrices. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.
Respuesta completa en el siguiente link: 
2. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 13.
3. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s) y X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 14.
4. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 15. Considerar k1=1, k2= 15 N/m, b1=4, b2= 16 N-s/m, m1= 8, m2=3 Kg.
5. Hallar la función de transferencia X3(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 16. Considerar k1=5, k2= 4. k3= 4 N/m, b1=2, b2= 2, b3= 3 N-s/m, m1= 4, m2=5, m3=5 Kg.
6. Hallar la función de transferencia X1(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 17. Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1 N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1 Kg. El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número.
7. Hallar el modelo en espacio de estados del Sistema del ejercicio anterior Figura 17, tomando a x1(t) como la salida y u(t) como la entrada. Transformar dicho modelo en la función de transferencia X1(s)/U(s). Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1 N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1 Kg.
8. Hallar la función de transferencia Yh(s)/fup(s) del Sistema de la Figura 19. Considerar kh=7, ks=8, kave=5 N/m, bf=3, bh= 10 N-s/m, mh=1, mf=2 Kg.
9. Hallar las funciones de transferencia X2(s)/U(s) y X3(s)/U(s) del Sistema de la Figura 20. Considerar k1=1, k2=2, k3=3, k4=4 N/m, b1=2,b2= 1,b3= 3 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=3 Kg.
10. Hallar la representación en espacio de estados tomando x3(t) como salida y u(t) como entrada, y la función de transferencia X3(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 21. Considerar k=2 N/m, b1=b2=b3=b4=b5=1 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=1 Kg.
11. Determinar la función de transferencia y el diagrama de bloques del sistema de la figura 22:
Para ilustrar su uso consideramos el siguiente ejemplo:
Las siguientes figuras ilustran la manera cómo realizar el diagrama de fuerzas para este caso:
De esta manera, el resultado se obtiene a continuación:
Observamos que de nuevo se cumple que:
Sistema masa-resorte-amortiguador. Sistema Rotacional. Problemas resueltos. Catálogo 3
2. Hallar la función de transferencia Θ(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 23.
3. Hallar las funciones de transferencia Θ1(s)/T(s) y Θ2(s)/T(s) del Sistema mostrado en la Figura 24.El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.
6. Hallar las funciones de transferencia 
7. Hallar las funciones de transferencia 
8. Hallar la función de transferencia 
9. Hallar las funciones de transferencia 
10. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 30, considerando a 
12. Hallar Las funciones de transferencia 
Contacto a través de:
Si las condiciones iniciales no son iguales a cero, debemos obtener primero la ecuación diferencial del este sistema, la cual es:
Suponemos que en el tiempo t=0 la masa es jalada hacia abajo (sentido positivo) tal que posee las siguientes condiciones iniciales: x(0)=0.1 m; x´=0.05 m/s. Tomando en cuenta condiciones iniciales diferentes de cero, la transformada de Laplace para x’ es sX(s) – x(0), y para x» es s^2X(s) – sx(0) – x'(0). Por tanto, la transformada de Laplace del sistema anterior es:
Despejando X(s) obtenemos:
Por tanto, la expresión para la salida considerando las condiciones iniciales diferentes de cero es:
Si aún queremos evaluar el movimiento del sistema mediante una función de transferencia, podemos aplicar una fuerza externa y observar que pasa. Hacemos uso de una de las entradas más comunes para evaluar sistemas: una entrada escalón unitario. Es muy utilizada porque muchos fenómenos se manifiestan de esta manera, cuando la fuerza aparece súbitamente y luego permanece constante.
La ecuación anterior se puede escribir como sigue:
Por lo tanto el movimiento de la masa m puede ser evaluada como la respuesta a la entrada escalón unitario del siguiente sistema cuya Función de Transferencia G(s) es:
Introduzca en el Command Window de Matlab el siguiente código el cual simula el comportamiento del sistema ante una entrada escalón:
RiseTime: 2.5518
Peak: 0.1042
¿Cómo se puede interpretar este resultado? El sistema originalmente comienza su movimiento en x(0)=0.1 m (offset) y viaja a una velocidad de 0.05 m/s. Según la gráfica, el sistema (la masa m) se desplaza (oscila) levemente hasta 0.1042 m (Peak) al ser «empujada» por una fuerza en forma de escalón unitario en sentido positivo, y en 2.5518 segundos (RiseTime) a regresado a la posición 0,0368 m aprox., que se corresponde con el 63.2% de su trayecto hasta la posición final que es 0 m, es decir, la masa y el sistema en general regresa desde 0.1 metros a su posición de equilibrio.
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