Un fasor es un número complejo que representa la magnitud y la fase de una senoide. Los fasores tienen la forma siguiente:
El método más corto para sumar voltajes y corrientes alternos, es el que utiliza el vector radial en rotación. A este vector radial se le llama fasor en ingeniería eléctrica, y tiene magnitud constante con un extremo fijo en el origen.
Los circuitos de voltaje y corriente alterna son excitados por fuentes senoidales. Una senoide es una señal que tiene la forma de la función seno o coseno. La senoide representa la forma más frecuente en la naturaleza, de allí su importancia.
Voltaje
Una tensión senoidal tiene la forma siguiente en el dominio temporal:
Donde Vm es la amplitud máxima de V(t) medida en voltios, ω es la frecuencia angular medida en radianes por segundo, t es el tiempo medido en segundos, y Ø es el ángulo de fase de la tensión senoidal medido en grados con respecto a la tensión o corriente de referencia, tal como se muestra en la Figura (1):
Para ver un fasor en operación, supongamos que queremos sumar dos voltajes que varían en el tiempo, V1(t) y V2(t), los cuáles están representados matemáticamente por las siguientes expresiones:
Podemos apreciar que ambas señales son sinusoidales. Que V1(t) tiene una amplitud máxima de 2 V, mientras que V2(t) tiene una amplitud máxima de 1 V. Además, entre ambas señales hay un desfase de 90 grados. La trigonometría nos permite saber que la suma de ambos voltajes da como resultado:
La ventaja que ofrece el uso de fasores es que la operación anterior la podemos realizar como suma de vectores, como se muestra a continuación.
Para poder graficar estas señales debemos tomar una “fotografía instantánea” en algún momento específico. Supongamos que ese momento es el tiempo t=0 s. En ese instante, ambas señales cruzan el eje vertical. Las magnitudes de ambas señales son V1(0) =2 V, mientras que V2(0)=0 V. La curva de cada uno de los voltajes, así como la curva de su suma, pueden ser representadas mediante tres fasores detenidos en el instante t=0 segundos, en un diagrama denominado diagrama fasorial, como se muestra a la izquierda en la Figura 2:
Es necesario recalcar que en una simulación en tiempo real, los fasores rotan. Para que la suma, la resta, la multiplicación o división de dos fasores tenga sentido, ambos deben rotar a la misma frecuencia. Es decir, todas las señales implicadas en la operación fasorial deben tener la misma frecuencia.
Algebra de números complejos (fasores)
El marco teórico del álgebra de fasores es el álgebra de los números complejos. En la Figura (2) los fasores tienen la forma siguiente, conocida como forma exponencial:Donde la letra A en negrita indica que se trata de un vector (un fasor), mientras que A sin negritas, representa la magnitud del vector, y Ø es el ángulo que forma el vector con el eje de la abscisa, tal como se muestra en la Figura (3):
En ingeniería eléctrica se acostumbra utilizar la siguiente notación fasorial, conocida como forma polar:
En el caso del voltaje (o la corriente), la transformación fasorial se manifiesta de la siguiente manera:
Utilizando la forma polar y regresando a nuestro ejemplo, los voltajes V1(t) y V2(t), y su suma Vl(t), se representan de la siguiente manera en el dominio fasorial:
Notar que hemos retirado la t del subíndice de la variable Vl ya que hemos pasado del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Será más evidente esto cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito.
La forma polar es ideal para realizar multiplicación y división, pero no lo es para suma y resta. Otra manera de representar el fasor es mediante la forma rectangular:
Dónde a=Acos(Ø) se conoce como la parte real, mientras que b=Asen(Ø) se conoce como la parte imaginaria, como se muestra en la Figura (4):
Al transformar de su forma polar a su forma rectangular los voltajes V1(t) y V2(t), obtenemos los siguiente:
Ahora la suma de V1(t) y V2(t) se ejecuta fácilmente, según la regla que indica sumar las partes reales e imaginarias por separado:
Para obtener la forma polar de Vl(t), a partir de su forma rectangular, consideramos la siguiente regla:
Por tanto:
Corrientes
Como segundo ejemplo se calculará el valor para i(t) de la red de la Figura (5):
Sabiendo que:
Respuesta:
Cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, veremos que la corriente que atraviesa una impedancia inductiva se atrasa con respecto al voltaje en los extremos de la impedancia. En el caso de una impedancia capacitiva, la corriente se adelanta al voltaje sobre la impedancia. Y en el caso de una impedancia puramente resistiva, la corriente y el voltaje están en fase. Esto explica los signos de los ángulos de fase de las corrientes en nuestro ejercicio considerando que el voltaje v(t) es el voltaje de referencia. En notación polar:
Para ejecutar la suma, transformamos la forma polar a la forma rectangular:
Luego:
En conclusión, en coordenadas rectangulares:
Y en coordenadas polares:
Para poner en práctica el conocimiento te recomiendo ver:
- Problema resuelto de C.A. y aparatos de medición
- Circuito RLC en serie – análisis y ejemplos – circuito de segundo orden
SIGUIENTE:
- Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico
- Circuitos de primer orden – Circuitos RC y RL
- La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico.
- Ejercicio de cálculo de corriente y voltaje mediante fasores.
- Análisis fasorial de circuitos eléctricos de corriente alterna (CA) – Nodos y Mallas
- Método de Mallas – Análisis de circuitos
- Método de Mallas Vs Nodo – Análisis de circuitos
- El teorema de Thevenin – Análisis de circuitos
- El teorema de Norton – Análisis de circuitos
- Principio de superposición – Análisis de circuitos
Fuentes:
- Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
- Análisis de Sistemas Lineales asisitido con Scilab, Ebert Brea.
- Analisis_de_Sistemas_Lineales
- Oppenheim – Señales y Sistemas
- Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch
Mentoring Académico / Emprendedores / Empresarial
Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs
Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.
Contacto: Jaén – España: Tlf. 747458738
Caracas, Valladolid, Quito, Guayaquil, Jaén, Villafranca de Ordizia.
WhatsApp: +34 747458738
FACEBOO DademuchConnection
email: dademuchconnection@gmail.com
Esta ecuación significa que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, la cual podría estar constituida por un conjunto de cargas puntuales, una línea de carga, una carga superficial o una carga volumétrica. Esta última, que utiliza el concepto de 
De manera que el flujo eléctrico se mide en Coulombs.
Esta será la densidad de flujo inclusive llevando al límite el radio de la esfera interior hasta reducirla a una carga puntual. Si ahora comparamos este resultado con el obtenido para la intensidad del campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre (
Llegamos a la conclusión de que:
La densidad de flujo eléctrico D debido a dicha distribución de carga volumétrica en el vacío es:
Podemos considerar a la ecuación (2) como la definición de densidad de flujo eléctrico D en el vacío.
El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada producido por una carga Q “dentro de la superficie encerrada”, se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie S:
Como dS implica el producto de dos coordenadas, la integral de la ecuación (3) es una integral triple. El círculo sobre la integral indica que la integración debe hacerse sobre una superficie cerrada. La formulación matemática de la Ley de Gauss es:
Por otra parte, sabemos que el flujo eléctrico ψ=Q. Esta carga Q puede ser una carga puntual, en cuyo caso:
Q también puede ser una línea de carga:
O también una carga superficial:
O también una distribución de carga volumétrica:
Por convención los científicos siempre hacen referencia a este último caso. Por tanto, podemos reescribir la ecuación (4) como:
Esta ecuación matemática es una de las más básicas de la electrostática y significa simplemente que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, carga total que puede mostrar cualquiera de las propiedades señaladas.
Como:
Obtenemos: 
Notar que el vector unitario a1o tiene componentes que igualan el valor de seno y coseno de 45 grados. Esto es debido a que el punto P forma con el punto O y la proyección en x y en y, un triángulo de lados iguales, lados de valor 2 m. Es decir, el vector unitario a1o y, por lo tanto, la fuerza F1o, forman un ángulo de 45 grados con los ejes x y y. Por tanto, podríamos utilizar este hecho para encontrar las componentes de la fuerza F1o, una vez determinado su módulo. 
dademuchconnection 