Categoría: Ingeniería Eléctrica

Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL

carakenio73

La función de transferencia H(s) es una representación del sistema eléctrico de la entrada x(t) a salida y(t), sólo se expresa como una función de la variable compleja s:

Introducción

La Función de Transferencia H(s) es el cociente formado por Y(s), la Transformada de Laplace de la salida de un sistema LTI (Causal, Lineal e Invariante en el tiempo), dividida entre X(s), la Transformada de Laplace de la entrada a dicho sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero en el tiempo t=0 – seg:Dónde:Observación: La Función de Transferencia sólo se expresa como una función de la variable compleja s. Para obtenerla, es necesario que las condiciones iniciales sean nulas. De no serlo, se debe obligar a dichas condiciones a ser cero.

Observación: Conociendo la Función de Transferencia H(s) de un sistema, podemos conocer la salida y(t) en el dominio del tiempo para cualquier entrada x(t), aplicando los siguientes pasos:

Veremos un par de comandos en Matlab que ilustran este importante resultado.

Observación: La Función de Transferencia es una propiedad intrínseca del sistema, no depende del tipo o naturaleza de la entrada o excitación.

Observación: La Función de Transferencia no ofrece información sobre las características físicas del sistema. De hecho, sistemas con diferentes estructuras, dimensiones o distribuciones físicas pueden tener la misma Función de Transferencia.

Observación: La Función de Transferencia es una parte importante del primer paso necesario para el diseño y análisis de sistemas de control: el modelo matemático del sistema.

Observación: La Función de Transferencia H(s) de un sistema LTI también se puede definir como la Transformada de Laplace de la Respuesta al Impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero. Suponiendo que la respuesta del sistema al impulso se denota como h(t), entonces:

La Función de Transferencia se obtiene a partir  de la representación de un sistema LTI por medio de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, el modelo dinámico del sistema.  Se hace uso intensivo de la propiedad de La Transformada de Laplace definida como “derivación n-ésima de una función en el dominio del tiempo”. Dicha propiedad sirve de fundamento para el método que permite separar algebraicamente la salida de la entrada, y obtener la Función de Transferencia.

Función de transferencia de un sistema de primer orden 

Ahora discutimos sistemas de primer orden sin ceros para definir una especificación de rendimiento para dicho sistema. Un sistema de primer orden sin ceros se puede describir mediante la función de transferencia que se muestra en Figura 1. Si la entrada es un escalón unitario, la transformada de Laplace de la respuesta C(s), es:

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Figura 1. a) Circuito de primer orden; b) Diagrama de polos

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Definimos la constante de tiempo τ, como:

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Se puede definir la constante de tiempo τ como el tiempo en que la respuesta de un circuito a la entrada escalón disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial. Alternativamente, la constante de tiempo τ es el tiempo que tarda la respuesta a la entrada escalón unitario en llegar al 63.2% de su valor final. En la Gráfica 1 se muestra este resultado:

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Gráfica 1. Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada escalón.

Así, la constante de tiempo puede considerarse una especificación de respuesta transitoria para un primer orden sistema, ya que está relacionado con la velocidad a la que el sistema responde a un paso de entrada.

En la Gráfica 1 se muestra otras especificaciones de diseño como es el caso del tiempo de levantamiento (Tr por Rise Time) y tiempo de estabilización (Ts por Settling Time):

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Circuito RC de primer orden

Un circuito RC de primer orden en fase de carga tiene la configuración de la Figura 2.

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Sabemos de un artículo anterior (Modelo matemático de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab) que las funciones de transferencia de esta red RC de primer orden son:

a) Voltaje de salida – Corriente de entrada:

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a) Corriente de salida – Corriente de entrada:

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Sabemos que la gráfica de ambas curvas (Voltaje Vs Corriente del capacitor) se interceptan en el tiempo t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 2 que vc(t) y ic(t) se interceptan en el tiempo igual a la constante de tiempo, es decir t=τ=1 seg:

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Gráfica 2. Curva de voltaje (azul) Vs corriente (rojo) del capacitor de un circuito RC en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

En la Gráfica 2 puede apreciarse el significado alternativo de la constante de tiempo τ: como cuando t=τ, la corriente ic(t) en el capacitor de la Figura 2 ha disminuido 36.8% de su valor inicial. Mientras, cuando t=τ, el voltaje vc(t) en el capacitor ha alcanzado 63.2% de su valor final.

Ejemplos

Para una mayor comprensión de la función de transferencia de un circuito eléctrico, recomiendo:

Te puede interesar:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  5. Análisis en estado permanente de un circuito RLC
  6. Circuitos y sistemas de segundo orden
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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Circuitos de primer orden – Circuitos RC y RL

carakenio73

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden. Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control.

Introducción

La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL es una ecuación de primer orden, como es el caso de la ecuación (1) o de la ecuación (2), presentadas a continuación con su respectivo circuito de origen. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden:

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Para ver como se obtiene la ecuación 1, ver: El capacitor – Un circuito abierto para CD

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Para ver como se obtiene la ecuación 2, ver: El Inductor – Un cortocircuito para CD

Por tanto, Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

Tenemos dos maneras de excitar los circuitos RC y RL. La primera es mediante las condiciones iniciales del capacitor o del inductor, sin necesidad de conectar una fuente de alimentación. La segunda manera es excitar al circuito mediante una fuente independiente. Aplicar el primer método nos permite analizar la respuesta natural del sistema, mientras que gracias al segundo método podemos determinar la respuesta forzada del sistema a una entrada específica, que por lo general es la función escalón unitario. Por ello, consideraremos ambos métodos para cada tipo de red (RC o RL).

Circuito RC sin fuente

Considere el circuito RC de la Figura 3. Obtenemos este circuito cuando la fuente independiente, conectada como en la Figura 1, se desconecta súbitamente:

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Figura 3. Descarga de un circuito RC sin fuente.

Los pasos necesarios para analizar la respuesta de un circuito RC sin fuente son:

  1. Determinar el valor de la tensión vc(t) en el capacitor en el tiempo t=0 seg;
  2. Hallar el valor de la constante de tiempo τ.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ. En el caso de un circuito RC:

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La constante de tiempo τ de un circuito RC descargándose es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema a la entrada escalón, disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial. La etapa en la cual el capacitor descarga toda su energía en el circuito RC es conocida como Fase de Descarga. Veamos cómo funciona.

En el circuito de la Figura 3, cuando se desconecta la fuente en el instante inicial to= 0 seg, la energía acumulada en el capacitor está al máximo según su capacidad y por ende la tensión vc(t) en el en el capacitor en el tiempo inicial to= 0 seg es vc(t) =vc(o). Es también a su valor máximo Vo. Es decir:

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Aplicando La Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK) en el circuito de la Figura 3, obtenemos:

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Sabemos por definición que:

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Sustituimos estas últimas fórmulas en la ecuación (5):

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Se puede demostrar que la solución a la ecuación diferencial (6) es la siguiente:

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La Gráfica 1 muestra la curva para la ecuación (7):

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Gráfica 1. Curva exponencial para el voltaje del capacitor un circuito RC en Fase de descarga.

En la Gráfica 1 podemos ver la respuesta natural de un circuito RC en Fase de Descarga, donde el voltaje en el capacitor cae exponencialmente, y en el tiempo t=τ, el voltaje ha caído 36.8% de su valor máximo. Es decir:

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Diferentes valores de la constante de tiempo τ  genera diferente respuesta, como se puede ver en la Gráfica 2:

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Gráfica 2. Diferente respuesta para diferentes valores de la constante de tiempo τ.

Si en vez de graficar el voltaje vc(t), graficamos la corriente ic(t) en el circuito RC en su fase de descarga, podemos esperar el efecto contrario, la corriente en el capacitor aumenta exponencialmente y en el tiempo t=τ obtiene el 63,2 de su valor máximo. La Gráfica 3 se toma prestada de Modelo matemático de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab:

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Si graficamos vc(t) Vs ic(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

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Gráfica 4. Curva de voltaje Vs corriente del capacitor de un circuito RC en Fase de descarga.

Al revisar los valores de los parámetros en Modelo matemático de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 4 que vc(t) y ic(t se interceptan en t=τ=1 seg.

Para un estudio completo del tema recomiendo ver la siguiente guía: Circuitos de primer orden – RL y RC; 0_IyME_BIBLIOGRAFIA_BASICA_v53

Circuito RC con fuente

Ver:

Respuesta natural y respuesta al escalón unitario de un circuito RL

Ver:

Te puede interesar:

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  5. Circuitos de primer orden – RL y RC

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Te puede interesar también:

Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Función de transferencia de un circuito RL – Carga de un inductor

carakenio73

Un inductor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo magnético. Veremos la curva de carga del inductor, y porque se dice que un inductor es un cortocircuito para la corriente directa (CD).

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Los inductores encuentran numerosas aplicaciones en sistemas electrónicos y de potencia. Se usan en alimentaciones de potencia, transformadores, motores eléctricos, radio y tv, etc.

Un inductor se fabrica con muchas vueltas de alambre conductor, formando una bobina cilíndrica como la observada en la Figura 1:

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Figura 1. Forma habitual de un inductor.

La inductancia L es la propiedad por la cual un inductor presenta oposición al cambio de corriente que fluye a través de dicho inductor.

Si la inductancia L no varía con el tiempo, la relación voltaje-corriente en un inductor está determinada por la ecuación (1):

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De acuerdo con la ecuación (1) un cambio instantáneo en la corriente requiere una tensión infinita, lo cual es físicamente imposible. Este hecho es descrito en la siguiente gráfica:

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La relación voltaje corriente expresada en la ecuación (1) puede verse en la gráfica siguiente:

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La unidad de la inductancia L es el Henry (H). La relación corriente-voltaje en un inductor se puede obtener integrando la ecuación (1):

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O sea:

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La ecuación (2) demuestra que la corriente del inductor depende de la historia pasada del voltaje del inductor. Por lo tanto, el inductor tiene memoria, propiedad que se explota con frecuencia.

Modelo matemático de un circuito RL.

Para analizar y comprender el comportamiento de un inductor en una red eléctrica, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.

A continuación obtendremos el modelo del circuito más simple del cual puede formar parte un inductor: Un circuito Resistencia-Inductor (RL), excitado por una fuente de voltaje o de Corriente Directa. Obtendremos el modelo tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, utilizando el método clásico de resolver ecuaciones diferenciales para el caso del dominio del tiempo, y la Transformada de Laplace para el dominio de la frecuencia.

La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.

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TABLA 1

En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.

Dominio del tiempo

Utilizaremos el análisis de mallas en el esquema de un circuito eléctrico RL excitado por una fuente de voltaje de la Figura 1:

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Figura 1. Circuito RL

En el circuito de la Figura 1 se cumple que:

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Según la Tabla 1, o la ecuación (1) sustituimos en la ecuación (3) de la manera siguiente, tomando en cuenta además que iR(t)= iL(t)=i(t):

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Reordenando y sustituyendo i(t)=y(t) obtenemos:

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La ecuación (4) es el modelo matemático del sistema de la Figura 1 en el dominio del tiempo, también conocida como ecuación diferencial de entrada/salida del circuito.

Dominio de la frecuencia

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (4):

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Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación (4) obtenemos el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia:

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La principal utilidad de determinar el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia, es la posibilidad de obtener la función de transferencia del sistema :

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La ecuación (6) es la Función de Transferencia del circuito de la Figura 1, considerando E(t) como la entrada y y(t) (la corriente) como la salida, y considerando las condiciones iniciales igual a cero. Supongamos ahora que R=1, L=1, entonces la ecuación (6) se reduce a:

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El Inductor- Un cortocircuito para la CD

Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.

Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de voltaje vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);

Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva y(t)=iL(t) a medida que pasa el tiempo:

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¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, nos muestra la curva de carga del inductor.

Volvamos al circuito de interés:

null

Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de voltaje de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, IL(t) =0 volt. Esto significa que en este instante, el inductor es un circuito abierto.

Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, IL(t) =1 amp. Esto significa que en este instante, el inductor es un cortocircuito. Es decir:

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Voltaje en el Inductor- Un cortocircuito para la CD

Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y(s)/ E(s) (Corriente de inductor Vs. voltaje de entrada), podemos obtener VL(s)/ E(s) (voltaje del inductor Vs. voltaje de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (3):

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Por tanto:

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Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (7):

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Sustituyendo estos resultados en la ecuación (7) obtenemos:

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Así obtenemos la función de transferencia VL(s)/ E(s):

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Supongamos que R=1, L=1, entonces la ecuación (8) se reduce a:

null

Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida vL(t) Vs la entrada E(t):

>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)

null

La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y vL(t)=E(t)= 1 volt. En este instante, el inductor es un circuito abierto.

Mientras que en el tiempo t=6 seg, vL(t)=0 volt, i(t)= iR(t)=iL(t)=1 amp, y . En este instante, el inductor es un cortocircuito.

La constante de tiempo.

Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (4), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:

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La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.

Si graficamos vL(t) Vs iL(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);

null

Gráfica 3. Curva de corriente (azul) Vs voltaje (rojo) del inductor de un circuito RL en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que vL(t) y iL(t) se interceptan en t=τ=1 seg.

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  5. Getty Images

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Modelo Matemático y Función de Transferencia de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab

carakenio73

Para analizar y comprender el comportamiento de un circuito RC, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.

La respuesta natural de un circuito RC se puede determinar a partir del siguiente ejemplo:

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Respuesta natural

Suponemos que el interruptor ha estado en la posición “a” por mucho tiempo, lo que permite que el lazo formado por la fuente de tensión constante, Vg, la resistencia R1 y el condensador c alcancen una posición de estado permanente.

Hay que tener en cuenta que el condensador se comporta como un circuito abierto cuando se le aplica una tensión constante. De tal modo, la fuente de tensión no puede sostener una corriente y, por ello, la tensión de la fuente aparece en las terminales del condensador. Debido a que no hay cambio instantáneo de la tensión en los terminales de un condensador, el problema queda reducido a resolver el siguiente circuito:

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Podemos encontrar fácilmente la tensión v(t) pensando en términos de tensiones en los nudos. Utilizando el nudo inferior de R y C como nudo de referencia y sumando la corriente que se aleja del nudo superior:

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Al resolver esta ecuación, obtenemos que:

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Como se ha determinado antes, la tensión inicial del condensador es igual a la tensión de la fuente de tensión Vg:

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dónde v(0)  es la tensión inicial en el condensador. La constante de tiempo para el circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:

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Así, en términos de la constante de tiempo:

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La respuesta natural de un circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicial. La constante de tiempo RC es un parámetro que regula la velocidad a la que decrece la tensión. La siguiente gráfica representa la ecuación de v(t)  y la interpretación gráfica de la constante de tiempo.

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Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:

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El cálculo de la respuesta natural de un circuito RC se puede resumir en:

  1. Determinar la tensión inicial V(0), en el condensador.
  2. Encontrar la constante de tiempo en el circuito.
  3. Utilizar la ecuación:

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Respuesta forzada

 Es posible encontrar la respuesta al escalón de un circuito RC de primer orden analizando el circuito de la figura:

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Para esto, calculamos el equivalente Norton de la red conectado al condensador equivalente.

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Si ecuación la dividimos por C,

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Resolviendo esta ecuación obtenemos que la respuesta completa, natural más forzada, del voltaje del condensador es:

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Dónde:

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Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:

null

Para obtener estos resultados se ha utilizado las siguientes relaciones voltaje-corriente:

Relación voltaje corriente para el capacitor, el inductor y la resistencia

La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.

null
TABLA 1

En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.

Ejemplo

Supongamos el circuito de la siguiente figura:

null

En el circuito de la Figura se cumple que:

null

null

Según la Tabla 1, o la ecuación (3) sustituimos en la ecuación (4) de la manera siguiente, tomando en cuenta además que vR(t)= vC(t):

null

Reordenando y sustituyendo vC(t) por y(t) obtenemos:

null

La ecuación (5) es el modelo matemático del sistema de la Figura 1 en el dominio del tiempo, también conocida como ecuación diferencial de entrada/salida del circuito considerando a y(t) como la salida.

Dominio de la frecuencia

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (5):

null

Sustituyendo en la ecuación (5) obtenemos:

null

La principal utilidad de determinar el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia, es la posibilidad de obtener la función de transferencia del sistema Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada) a partir de la ecuación (6), considerando i(t) como la entrada y y(t) como la salida:

null

La ecuación (7) es la Función de Transferencia del circuito de la Figura 1, considerando i(t) como la entrada y y(t) como la salida, y considerando las condiciones iniciales igual a cero. Supongamos ahora que R=1, C=1, entonces la ecuación (7) se reduce a:

null

El Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.

Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de corriente vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);

Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva Y(t) a medida que pasa el tiempo:

null
Gráfica 1: Carga del condensador. Voltaje Vc(t) durante los primeros 9 segundos.

¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, la Gráfica 1 nos muestra la curva de carga del condensador.

Volvamos al circuito de interés:

null

Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de corriente de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, VC(t) =0 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el capacitor en el tiempo t=0 seg. Es decir, en este instante, t=0 seg, IR(t)=0 amp, y I(t)= IC(t). En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, VC(t) =1 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el resistor en el tiempo t=6 seg. Es decir, en este instante, t=6 seg,  IC(t)=0 amp, y I(t)= IR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

Corriente en el Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada), podemos obtener Ic(s)/ I(s) (corriente del capacitor Vs. corriente de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (4):

null

Por tanto:

null

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (8):

null

Sustituyendo estos resultados en la ecuación (8) obtenemos:

null

Así obtenemos la función de transferencia Ic(s)/ I(s):

null

Supongamos que R=1, C=1, entonces la ecuación (9) se reduce a:

null

Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida IC(t) Vs la entrada I(t):

>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)

null
Gráfica 2: Corriente del condensador. Ic(t) durante los primeros 9 segundos.

La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, IR(t)=0 amp, y I(t)=IC(t)= 1. En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Mientras que en el tiempo t=6 seg, IC(t)=0 amp, y I(t)= IR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

La constante de tiempo.

Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (5), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:

null

La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta de un sistema a la entrada escalón disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.

Si graficamos vc(t) Vs ic(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);

null

Gráfica 3. Curva de voltaje (azul) Vs corriente (rojo) del capacitor de un circuito RC en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que vc(t) y ic(t se interceptan en t=τ=1 seg.

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
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  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Ingeniería Eléctrica

Carga de un condensador – El capacitor: Un circuito abierto para la CD

carakenio73

Un capacitor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo eléctrico. Veremos la curva de carga del condensador, y porque se dice que un capacitor es un circuito abierto para la corriente directa (CD).

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Un capacitor está compuesto por dos placas conductoras separadas por un aislante (también llamado dieléctrico). La Capacitancia es la razón entre la carga de una placa del capacitor y la diferencia de tensión entre las dos placas.

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Introducción.

La Capacitancia es una medida de la habilidad del capacitor para almacenar carga sobre sus placas. En otras palabras, la capacidad de almacenamiento del capacitor está expresada mediante su Capacitancia.

La Capacitancia C se mide en farads (F) en honor a Michael Faraday, quien descubrió experimentalmente la inducción electromagnética.

Cuando una fuente de tensión v se conecta al capacitor, como en la siguiente figura, deposita una carga positiva +q en una placa, y una carga negativa –q en la otra.

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Se dice que el capacitor almacena la carga eléctrica. El monto de carga almacenada q, es directamente proporcional a la tensión v aplicada, por lo tanto:

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Esta última ecuación también se conoce como relación carga-voltaje del capacitor.

Formalmente, la Capacitancia es la razón entre la carga de una placa del capacitor y la diferencia de tensión entre las dos placas:

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Por lo general el farad es una medida de Capacitancia demasiada grande para la mayoría de las aplicaciones prácticas, por lo que se utiliza más el microfarad (10-6) o el picofarad (10-12).

Relación corriente-voltaje del capacitor

Para obtener la relación de corriente-tensión del capacitor, primero es necesario estudiar la relación entre la carga q y la corriente i. Dicha relación viene dada por la ecuación:

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Para encontrar la carga q de las placas en el tiempo t se integra sobre todo el tiempo anterior:

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Utilizando el hecho de que q=Cv, obtenemos la relación voltaje-corriente del capacitor, ecuación (1), suponiendo un capacitor lineal, es decir, que no depende del valor de la tensión v en el tiempo:

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O sea:

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La ecuación (2) demuestra que la tensión del capacitor depende de la historia pasada de la corriente del capacitor. Por lo tanto, el capacitor tiene memoria, propiedad que se explota con frecuencia.

Suponiendo condiciones iniciales iguales a cero, la ecuación (2) conduce a  la relación corriente-voltaje del capacitor:

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Utilizando esta última ecuación, podemos graficar la relación corriente-voltaje del capacitor de la manera siguiente:

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Recomiendo leer la siguiente guía: Capacitores e Inductores – Circuitos y asociaciones

Modelo matemático de un circuito RC.

Para analizar y comprender el comportamiento de un capacitor en una red eléctrica, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.

A continuación obtendremos el modelo del circuito más simple del cual puede formar parte un capacitor: Un circuito Resistencia-Capacitor (RC), excitado por una fuente de voltaje o de corriente directa. Obtendremos el modelo tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, utilizando el método clásico de resolver ecuaciones diferenciales para el caso del dominio del tiempo, y la Transformada de Laplace para el dominio de la frecuencia.

La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.

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TABLA 1

En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.

La respuesta natural de un circuito RC se puede determinar a partir del siguiente ejemplo:

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Respuesta natural

Suponemos que el interruptor ha estado en la posición “a” por mucho tiempo, lo que permite que el lazo formado por la fuente de tensión constante, Vg, la resistencia R1 y el condensador c alcancen una posición de estado permanente.

Hay que tener en cuenta que el condensador se comporta como un circuito abierto cuando se le aplica una tensión constante. De tal modo, la fuente de tensión no puede sostener una corriente y, por ello, la tensión de la fuente aparece en las terminales del condensador. Debido a que no hay cambio instantáneo de la tensión en los terminales de un condensador, el problema queda reducido a resolver el siguiente circuito:

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Podemos encontrar fácilmente la tensión v(t) pensando en términos de tensiones en los nudos. Utilizando el nudo inferior de R y C como nudo de referencia y sumando la corriente que se aleja del nudo superior:

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Al resolver esta ecuación, obtenemos que:

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Como se ha determinado antes, la tensión inicial del condensador es igual a la tensión de la fuente de tensión Vg:

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dónde v(0)  es la tensión inicial en el condensador. La constante de tiempo para el circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:

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Así, en términos de la constante de tiempo:

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La respuesta natural de un circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicial. La constante de tiempo RC es un parámetro que regula la velocidad a la que decrece la tensión. La siguiente gráfica representa la ecuación de v(t)  y la interpretación gráfica de la constante de tiempo.

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Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:

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El cálculo de la respuesta natural de un circuito RC se puede resumir en:

  1. Determinar la tensión inicial V(0), en el condensador.
  2. Encontrar la constante de tiempo en el circuito.
  3. Utilizar la ecuación:

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Respuesta forzada

 Es posible encontrar la respuesta al escalón de un circuito RC de primer orden analizando el circuito de la figura:

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Para esto, calculamos el equivalente Norton de la red conectado al condensador equivalente.

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Si ecuación la dividimos por C,

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Resolviendo esta ecuación obtenemos que la respuesta completa, natural más forzada, del voltaje del condensador es:

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Dónde:

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Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:

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El Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.

Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de corriente vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);

Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva y(t) a medida que pasa el tiempo:

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Gráfica 1: Voltaje Vc(t) durante los primeros 9 segundos.

¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, la Gráfica 1 nos muestra la curva de carga del condensador.

Volvamos al circuito de interés:

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Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de corriente de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, vC(t) =0 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el capacitor en el tiempo t=0 seg. Es decir, en este instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y i(t)= iC(t). En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, vC(t) =1 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el resistor en el tiempo t=6 seg. Es decir, en este instante, t=6 seg,  iC(t)=0 amp, y i(t)= iR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

Corriente en el Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada), podemos obtener Ic(s)/ I(s) (corriente del capacitor Vs. corriente de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (4):

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Por tanto:

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Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (8):

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Sustituyendo estos resultados en la ecuación (8) obtenemos:

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Así obtenemos la función de transferencia Ic(s)/ I(s):

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Supongamos que R=1, C=1, entonces la ecuación (9) se reduce a:

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Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida iC(t) Vs la entrada i(t):

>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)

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Gráfica 2: Corriente del condensador. ic(t) durante los primeros 9 segundos.

La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y i(t)=iC(t)= 1 amp. En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Mientras que en el tiempo t=6 seg, iC(t)=0 amp, y i(t)= iR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

La constante de tiempo.

Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (5), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:

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La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta de un sistema a la entrada escalón, disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.

Si graficamos vc(t) Vs ic(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);

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Gráfica 3. Curva de voltaje (azul) Vs corriente (rojo) del capacitor de un circuito RC en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que vc(t) y ic(t se interceptan en t=τ=1 seg.

Recomiendo leer la siguiente guía: Capacitores e Inductores – Circuitos y asociaciones

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  5. Getty Images

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Eléctrica, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de la Respuesta Transitoria de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

carakenio73

Se analizan la Compensación PD y la Compensación Lead, dos formas de mejorar la respuesta transitoria de un Sistema de control con realimentación, mediante el uso del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) y de la compensación en cascada. Por lo general el objetivo consiste en diseñar un respuesta que tenga un porcentaje de sobrepaso deseable y un tiempo de establecimiento más corto que el que tiene el sistema antes de la compensación.

Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

La primera técnica que presentada será la compensación derivativa ideal. Se agrega un diferenciador puro a la trayectoria directa del sistema de control con retroalimentación.

Compensación en Cascada - Controlador PD

Como se señalaba anteriormente, ante la inconveniencia de cambiar la estructura física de la planta, y con el fin de cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control, frecuentemente es necesario agregar polos y zeros a la función de transferencia directa de dicho sistema con el fin de obtener un Lugar Geométrico de las Raíces donde podamos seleccionar una ganancia que permita al sistema cumplir con las exigencias de diseño. Una manera de acelerar el sistema, que generalmente funciona de manera aceptable, es agregar un Zero en el camino de transferencia directa, justo antes de la planta y su controlador original.

Este Zero está representado por un compensador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:


Esta función, la suma de un diferenciador s y una ganancia pura Zc, es llamada compensación derivativa ideal  (ideal derivative compensation), o controlador PD (Proportional-Derivative). En resumen, una respuesta transitoria que no puede ser alcanzada con un simple ajuste de ganancia (controlador proporcional) puede ser obtenida aumentando la cantidad de zeros del sistema mediante un Controlador PD.

Vamos a utilizar el LGR de la Figura 3 para descubrir como trabaja un Controlador PD. En dicha figura tenemos un LGR para un sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) con realimentación unitaria, está dada por:

Si consideramos a K=1, los comandos para trabajar en Matlab serían:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G);

Figura 3. Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) para G(s)

Suponga que queremos operar el sistema de la Figura 3 con un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. La Figura 4 muestra que podemos lograr ese coeficiente de amortiguamiento con un simple ajuste de ganancia, para lo cual podemos utilizar un compensador proporcional que establezca una ganancia K=23.7:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado:

Figura 4. Localización en el LGR de ξ=0.4 a una ganancia K=23.7 

La Figura 5 nos muestra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado utilizando un controlador proporcional con una ganancia Kp=23.7, con lo que alcanzamos un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4 en el LGR del sistema. Se muestra además el valor de los parámetros más importantes de una respuesta transitoria:

>> G1=23.7/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys1=feedback(G1,1);
>> step(sys1);
>> stepinfo(sys1)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación.

Suponga ahora que queremos mantener el factor de amortiguamiento en el valor ξ=0.4, pero debemos mejorar el tiempo de alzamiento (rise time) y el tiempo de establecimiento (settling time). Es decir, queremos que el sistema sea más rápido. Esa tarea sería imposible utilizando sólo un controlador proporcional porque estamos limitados por el LGR del sistema según consta en las Figuras 3 y 4.

El sistema sin compensar, de la Figura 3, podría transformarse en un sistema compensado mediante la suma de un zero en s= -2. En la Figura 6 vemos como se transforma el LGR, utilizando un compensador en cascada (cascade compensator) cuya función de transferencia Gc(s) es:

>> G2=((s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G2);

Figura 6. LGR para el sistema compensado.

La Figura 7 nos muestra una vez más que podemos obtener un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. estableciendo una ganancia de K=51.2:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado::

Figura 7. Localización en el LGR de ξ=0.4

La Figura 8 ilustra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado que utiliza el controlador PD de función de transferencia Gc(s), en cascada con un controlador proporcional de ganancia Kp=51.2, con el fin de lograr un ξ=0.4. Se muestra además los parámetros de la respuesta transitoria obtenida:

>> G3=(51.2*(s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys2=feedback(G3,1);
>> step(sys2);
>> stepinfo(sys2)

Figur8 8. Respuesta al escalón unitario del sistema compensado a lazo cerrado. 

Manteniendo un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4, hemos mejorado el Tiempo de Levantamiento  (de 0.6841 s a 0.1955 s) y el Tiempo de Establecimiento  (de 3.7471 s a 1.1218 s). Sin embargo, lo hemos logrado a costa de un mayor Sobrepaso (de 23.3070 a 25.3568) y a costa de un pico más alto (de 0.8672 a 1.1420).

La Figura 9 compara las respuestas antes y después de la compensación PD:

>>step(sys1, sys2)

Figura 9. Respuesta al escalón unitario del sistema antes y después de la compensación.

La Figura 9 muestra también que el valor final del sistema compensado está más cerca del valor de referencia (1), por lo tanto el error en estado estable también ha mejorado después de la compensación PD (de 0.297 a 0.088). Sin embargo, los lectores no deben asumir que, en general, la mejora en la respuesta transitoria siempre produce una mejora en el error de estado estable.

Ahora que hemos visto lo que la compensación PD puede hacer, estamos preparados para diseñar nuestro propio compensador PD para cumplir con especificaciones específicas de diseño para la respuesta transitoria.

1) Dado el sistema de la Figura 10, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y una reducción considerable del tiempo de establecimiento.

Figure 10.

En construcción…

Pero, cómo implementamos una compensación PD?

La compensación PD utilizada hasta ahora para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control, es implementada por un controlador PD (proportional-plus-derivative controller). En la Figura 11 se muestra una manera de implementar la compensación PD. La función de transferencia del controlador PD de la Figura 11 es:

Figure 11. Implementación del controlador PD.

Lead Compensation

Un compensador PD activo puede aproximarse con un compensador pasivo. Cuando se usan redes pasivas, un solo cero no puede ser producido. Más bien, se utiliza un compensador con un cero y un  polo. Sin embargo, si el polo está más lejos del eje imaginario que el cero, la contribución angular del compensador sigue siendo positivo y, por lo tanto, se aproxima a un solo cero equivalente al producido por un PD.

Es decir, la contribución angular del polo compensador se resta de la contribución angular del cero, pero no excluye el uso del compensador para mejorar la respuesta transitoria, ya que la contribución angular neta es positiva, al igual que para una
controlador PD de un solo cero.

Las ventajas de una red pasiva sobre un controlador de PD activo son (1) que no se requieren fuentes de alimentación adicionales y (2) que el ruido debido a la diferenciación es reducido.

Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Análisis fasorial de sistemas eléctricos de corriente alterna (CA) – Nodos y Mallas

carakenio73

En este artículo vamos a transformar circuitos eléctricos típicos al dominio fasorial (frecuencia) y vamos a resolver problemas utilizando las técnicas de Kirchhoff  (Análisis de Mallas y Nodos).

Análisis de Mallas (Análisis de Lazo)

Recordando La Ley de Voltaje de Kirchhoff (LVK), la misma establece que la suma algebraica de las elevaciones y caídas de potencial alrededor de un lazo (o trayectoria) cerrado es cero. Un lazo cerrado es cualquier trayectoria continua que sale de un punto en una dirección y regresa al mismo punto desde otra dirección sin abandonar el circuito. En forma simbólica:

De manera alternativa, la LVK establece que el voltaje aplicado de un circuito en serie equivale a la suma de las caídas de voltaje en los elementos en serie.

La LVK es la base del análisis de malla.

  1. Determine la corriente Io en el circuito de la Figura 1.
Figura 1.

Claramente tenemos tres mallas. Aplicamos LVK de la siguiente manera:

Malla 1: se corresponde con aquella asignada con la corriente I1. Aplicando Kirchhoff a la malla 1 obtenemos la siguiente ecuación:

La corriente I1 atraviesa tres impedancias, mientras que I2 e I3 atraviesan solo una impedancia, desde el punto de vista de la malla 1.

De acuerdo con Kirchhoff, la caída de voltaje a través de las impedancias que atraviesa la corriente I1 se consideran de signo contrario a aquellas caídas de voltaje que atraviesan otras corriente en sentido contrario. Fíjese por ejemplo que en la impedancia –j2 la corriente I1 va hacia abajo, mientras que la corriente I2 va hacia arriba. Es por ello que la caída de voltaje determinada por el producto –j2* I1 tiene signo positivo en la ecuación (1) mientras que la caída de voltaje determinada por el producto –j2* I2 tiene signo negativo en la ecuación (1). Fíjese que si cambiamos los signos de la ecuación (1), la ecuación es igualmente válida:

Malla 2: se corresponde con aquella asignada con la corriente I2. El mismo criterio que para la malla 1 obtenemos la siguiente ecuación:

Malla 3: se corresponde con aquella asignada con la corriente I3. En este caso, la corriente I3 tiene un valor constante, lo que reduce el número de incógnitas que tenemos en el sistema. Es decir, si:

Entonces, sustituyendo en la ecuaciones (1) y (2), obtenemos que:

Simplificando:

Expresado en términos matriciales:

En vista de que nuestro problema consiste en determinar el valor para Io, y que según el diagrama de la Figura 1:

Resolvemos la ecuación (3). Primero hallamos el determinante de la matriz principal:

Luego resolvemos la ecuación (3) para I2:  

De esta manera:

Por tanto:

Análisis de Nodos

La Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK), establece que la suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un área, sistema o unión, es cero.

De manera alternativa, la LCK establece que la suma de las corrientes que entran a un área, sistema o unión, debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicha área, sistema o unión. En forma simbólica:

La LCK es la base del análisis de nodos.

2. Hallar Ix en el circuito de la Figura 2.

Figura 2.

Como primer paso debemos transformar los valores al dominio de la frecuencia:

Luego de la transformación, la Figura 3 muestra el circuito equivalente y los nodos que serán considerados para el análisis nodal:

Figura 3.

Nodo 1: se corresponde con aquel asignado con el voltaje V1. Aplicando la LCK al nodo 1 obtenemos la siguiente ecuación:

Es decir, las corrientes que entran a un nodo tienen el signo contrario al de las corrientes que salen.

Simplificando la ecuación anterior:

Nodo 2: se corresponde con aquel asignado con el voltaje V2. Aplicando la LCK al nodo 2 obtenemos la siguiente ecuación:

Sabemos además en el nodo 1 que:

                               

Sustituyendo esta última relación en la ecuación (5) obtenemos:

Simplificando, obtenemos que:

Con las ecuaciones (4) y (6) obtenemos la representación matricial del sistema:

Ya que el problema consiste en hallar Ix, podemos resolver la ecuación (7) para V1 como sigue:

Luego resolvemos la ecuación (7) para V1:

De esta manera:

Por tanto:

SIGUIENTE:

Fuentes:

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Sin categoría

Ejercicio de cálculo de corriente y voltaje mediante fasores.

carakenio73

Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.

Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 1 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:

Figura 1. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).

Respuesta:

Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:

La impedancia Z es:

Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:

Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:

De esta manera:

Que en su forma rectangular I es:

Para hallar eo(t)  por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:

Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:

Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:

Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.

Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:

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Así, tenemos que:

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’

null

Ambas señales:

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);

>> plot(t,x,t,y)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

Figura 5. Simulación en Matlab de i(t) y eo(t). Para repasar la teoría en esta materia recomiendo ver:

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico – análisis fasorial

carakenio73

La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial V y la corriente fasorial I, medida en ohms (Ω). Es decir:

La admitancia Y es el inverso de la impedancia, medida en siemens (S):

A veces resulta más conveniente trabajar con la admitancia en vez de trabajar con la impedancia.

La impedancia representa la oposición que ejerce un circuito eléctrico al paso de la corriente senoidal. La admitancia por su parte, representa lo contrario, la falta de oposición al paso de la corriente senoidal.

De lo estudiado en Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, podemos extraer las expresiones para la impedancia en una resistencia R, un inductor L o un capacitor C, particulares, como sigue:

Resumiendo mediante un cuadro:

Figura 1. Impedancia t admitancia para los elementos pasivos de un circuito eléctrico.

Si bien, tanto la impedancia como la admitancia se pueden expresar como cantidades complejas en forma rectangular o polar, es necesario resaltar que la impedancia no es un fasor, porque no varía senoidalmente.

En la Figura (1) resaltan dos casos extremos, cuando ω=0  y cuando ω=∞:

Es decir, cuando ω=0  (circuito CD), un inductor es lo mismo que un circuito cerrado, por lo tanto se puede reemplazar por un cable que conduce corriente libremente, mientras que un capacitor representa un circuito abierto que se puede reemplazar por un cable interrumpido (cortado), por el que no puede pasar la corriente. Mientras que, cuando ω=∞ (circuito de alta frecuencia), sucede totalmente lo contrario. Estas posibilidades se muestran en la siguiente Figura (2):

Figura 2. Circuitos equivalentes de CD y alta frecuencia para a) el inductor; b) el capacitor.
La impedancia y la admitancia como cantidades complejas

En sus formas rectangular y polar, la impedancia Z se puede expresar como sigue:

Dónde:

Por su parte, la admitancia Y se puede expresar como sigue:

Dónde:

Algebraicamente se podría comprobar que:

Dónde:

Aplicación – ejemplo

Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.

Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 3 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:

Figura 3. Ejercicio de aplicación.

Respuesta:

Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:

La impedancia Z es:

Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:

Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:

De esta manera:

Que en su forma rectangular I es:

Para hallar eo(t)  por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:

Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:

Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:

Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.

Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:

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Así, tenemos que: Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t): >> t=-5:0.01:5; >> eo=4.48*cos(4*t-1.10706); >> plot(t,x) >> grid >> xlabel(‘Tiempo(segundos)’) >> ylabel(‘Voltaje(voltios)’
Ambas señales: >> t=-5:0.01:5; >> eo=4.48*cos(4*t-1.10706); >> i=1.79*cos(4*t+0.4637); >> plot(t,x,t,y) >> grid >> xlabel(‘Tiempo(segundos)’) >> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

Figura 5. Simulación en Matlab de i(t) y eo(t). ANTERIOR: Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico SUGUIENTE: Te recomiendo ver: Función de transferencia de sistema eléctrico – Problemas resueltos – Catálogo 5 También te puede interesar: Fuentes:
  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
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Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico

carakenio73

La resistencia, el inductor y el capacitor en circuitos de corriente alterna, requieren de un método de estudio particular. El siguiente método permite transformar la relación tensión-corriente del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia (dominio fasorial), de los elementos pasivos de una red: resistencia, inductor y capacitor.

Resistor o resistencia

Supongamos que la corriente ir(t) que pasa a través de un resistor r, tiene la siguiente expresión matemática:

De acuerdo a lo discutido en Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores, en notación fasorial polar, ir(t)  puede ser escrita como:

De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del resistor está dada por:

La ecuación (1) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:

La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (1) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

Figura 1. Relación de voltaje-corriente del resistor; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.

La ecuación (2) indica que el voltaje y la corriente en un resistor tienen la misma fase, es decir, están en fase, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (2):

Figura 2. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el resistor r.

Inductor o inductancia

Supongamos que la corriente il(t) que pasa a través de un inductor L, tiene la siguiente expresión matemática y expresión fasorial exponencial:

De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del inductor está dada por:

Debido a que:

La ecuación (3) se transforma en:

La ecuación (4) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:

Debido a que:

Podemos reescribir la ecuación (5):

La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (3) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

Figura 3. Relación de voltaje-corriente del Inductor L; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.

La ecuación (5) indica que el voltaje se adelanta 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corriente se atrasa con respecto a el voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (4):

Figura 4. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductor l. La corriente se atrasa 90° respecto al voltaje.

Capacitor o capacitancia

Supongamos que la corriente vc(t) que pasa a través de un capacitor c, tiene la siguiente expresión matemáticany expresión fasorial exponencial:

De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del capacitor está dada por:

La ecuación (6) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:

Podemos reescribir la ecuación (7):

Es decir:

La relación entre el voltaje y la corriente en un capacitor se puede apreciar en la Figura (5) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

Figura 5. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el capacitor C. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.

La ecuación (6) indica que el voltaje se atrasa 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corriente se adelanta con respecto al voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (6):

Figura 6. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductor C. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.

En resumen:

Figura 7. Resumen de relación de voltaje-corriente de los elementos pasivos de un circuito eléctrico: resistencia, inductor y capacitor.

ANTERIOR: Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Elementos básicos del circuito eléctrico
  5. Capacitores e Inductores – Circuitos y asociaciones
  6. Divisor de tensión y divisor de corriente

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