Nuestro objetivo en este artículo es determinar la relación entrada-salida de un Convertidor C/D ideal, en el dominio de la frecuencia. Comenzamos por la conversión de la señal x(t) en xp(t), proceso que se ilustra a continuación:
En el artículo anterior (Muestreo Ideal – Introducción) determinamos que la relación entre x(t) y la señal muestreada xp(t) se resume de la manera siguiente:
Para analizar este sistema en el dominio de la frecuencia, vamos a obtener la transformada de Fourier (TF) de la señal xp(t). Según la Tabla de propiedades de la TF, se cumple que si:
Entonces:
Luego, de la Tabla de pares comunes de la TF obtenemos que:
Por lo tanto:
Consideramos ahora la siguiente propiedad:
En definitiva, se puede concluir que:
La ecuación (1) provee la relación entre las Transformadas de Fourier de las señales de entrada x(t) y la salida xp(t) de la Figura 4.2:
La ecuación (1) además nos demuestra que “El espectro Xp(Ω) de la señal muestreada xp(t) es una superposición de réplicas desplazadas en frecuencia del espectro original X(Ω) de la señal x(t), escaladas por 1/T”. Fenómeno que podemos observar en la Figura 4.3 del texto de Oppenheim:
Las copias de X(Ω) se desplazan una distancia que es múltiplo entero de Ω(s), la frecuencia de muestreo. Luego, se repiten (o se superponen) para generar la Transformada de Fourier del tren de muestras (the periodic FT of the impulse train of samples). Para que suceda este efecto, el espectro de la señal x(t) debe cumplir con la siguiente condición: ser de banda limitada, en este caso, entre –Ω(N) y Ω(N). Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:
Podemos ver en la Figura 4.3(a) que la componente de más alta frecuencia de X(Ω), de valor diferente de cero, está ubicada en Ω(N). Se presenta ahora el problema de averiguar el valor de Ω(s) o frecuencia de muestreo, para poder recuperar la señal exacta x(t) a partir de xp(t). La Figura 4.3(c) muestra el caso en que es posible recuperar x(t) a partir de xp(t), mientras que la Figura 4.3(d) muestra el caso contrario (las muestras se solapan).
En la Figura 4.3(c), para que las muestras no se solapen, se cumple que el punto Ω(s) – Ω(N)> Ω(N):
Volvemos a la ecuación (1):
Entonces, podemos asegurar que, cuando Ω(s)>2Ω(N), las réplicas de X(Ω) se suman y se mantienen fieles a la original (no se solapan, lo que si sucede en 4.3(d)), escaladas en un factor 1/T. De esta manera, la señal x(t) puede ser recuperada utilizando un filtro que deje pasar sólo la componente de Xp(Ω) que más convenga, como por ejemplo un filtro pasabajo de función de transferencia Hr(Ω) (ideal lowpass Filter) cuyo diagrama se muestra en la Figura 4.4(a):
Para las transformadas X(Ω) y Xp(Ω) de la Figura 4.4(b) y 4.4(c), se muestra el proceso de recuperación de la señal x(t) mediante la aplicación del filtro pasa-bajos Hr(Ω) de 4.4(c), lo que genera Xr(Ω).
Aplicando las propiedades de Fourier:
Si el filtro pasa-bajos es ideal, con ganancia T y frecuencia de corte Ω(c), tal que:
Es decir:
Entonces:
Toda esta teoría se recoge en la Teoría de Nyquist: “Sea x(t) una señal de banda limitada, es decir:
Entonces, x(t) está determinada (uniquely determined) por sus muestras x[n]= x(nT):
Si se cumple que:
El teorema de Nyquist también es conocido como Teoría de Muestreo, Teorema de Shannon, Teorema de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon”
La frecuencia de muestreo Ω(s) es generalmente conocida como La Frecuencia de Nyquist. Y la frecuencia 2Ω(N) que debe ser superada por la frecuencia del muestreo, es conocida como La Tasa de Nyquist.
En términos de la frecuencia (muestras por segundo), la ecuación anterior indica que si muestreamos la señal x(t) a intervalos regulares mayores a T=1/(2 f(N)), la densidad espectral de xp(t) será una réplica periódica de X(Ω), y por lo tanto, contiene toda la información de x(t).
Si la condición de Nyquist no se cumple, es decir:
Las copias de X(Ω) solapan. Por lo tanto, X(Ω) no puede ser recuperada utilizando un filtro pasa-bajos. En este caso, el resultado se conoce como Aliasing, y es un concepto bien importante. Por otra parte, siempre existirá Aliasing cuando el espectro de la señal x(t) no sea de banda limitada, por muy rápido que se realice el muestreo. En otras palabras, habrá información de alta frecuencia de la señal original que se perderá y no será posible reconstruir dicha señal a partir de la función muestreada. Muestrear por debajo del umbral de Nyquist no sólo implica pérdida de información del contenido de alta frecuencia, sino que también puede suceder que las señales de alta frecuencia pueden ser observadas con una frecuencia inferior a la que realmente tienen. En eso consiste en la práctica el solapamiento de los sumandos en frecuencia.
En sistemas mecánicos es muy corriente suponer que la respuesta del sistema ante una fuerza en su entrada, es una señal de banda limitada. En cualquier caso, llega un momento en que la respuesta de alta frecuencia posee una amplitud tan pequeña que está por debajo de la resolución del sensor de medida, y a partir de ese momento podemos suponer que la respuesta es anulada, o tiene valor cero.
La Figura 4.5(a) muestra la Transformada de Fourier (el espectro) de la señal coseno en su forma más simple:
La Figura 4.5(b) muestra el caso en que el espectro de xp(t) cumple con la condición de Nyquist, es decir:
Mientras que la Figura 4.5(c) muestra el caso en que no se cumple. Al pasar Xp(Ω) por el filtro pasabajos, obtenemos las Figuras 4.5(d) y 4.5(e) que son los casos en que respectivamente se presenta “No Aliasing” y “Aliasing” .
En el caso de las Figuras 4.5(b) y 4.5(d), al reconstruir Xr(Ω) y volver al dominio del tiempo, obtenemos la siguiente x(t):
Mientras que en el caso de las Figuras 4.5(c) y 4.5(e), obtenemos la siguiente x(t):
Es decir, el coseno de alta frecuencia ha tomado la identidad (Alias) de un coseno de baja frecuencia como consecuencia del proceso de muestreo y reconstrucción sin cumplir la condición de Nyquist.
Las señales reales son limitadas en el tiempo. Una señal limitada en el tiempo no puede ser de banda limitada. Por lo tanto, si se muestrea una señal limitada en el tiempo con un intervalo de muestreo T, no importa que tan pequeño sea T, las réplicas X(Ω) se traslaparán. En la práctica, el Aliasing no puede eliminarse totalmente, ya que un filtro pasa baja que corta todas las componentes de frecuencia por encima de cierta frecuencia no puede sintetizarse (es decir, construirse). Sin embargo, la magnitud de los componentes con este efecto puede reducirse si la señal x(t) se filtra con un pasa baja antes de ser muestreada. Este método es factible siempre y cuando el filtrado pasa baja de la señal x(t) no elimine el “contenido de información” de dicha señal.
FUENTE: Discrete Time Signal Processing Oppenheim, Chapter 4.
Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs
Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.
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