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La siguiente guía contiene los procedimientos estándar de la cátedra de sistemas de control para el cálculo de la respuesta en tiempo, función de transferencia o régimen transitorio de un Sistema Eléctrico . Se facilita pago a través de Paypal. Costo de la guía completa: 21.5 €. Costo de un solo ejercicio: 12.5 €. A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía (también Resuelvo ejercicios particulares…atención inmediata!!..W+34633129287):

1. Determinar V_o(s) en el dominio transformado, y luego mediante anti transformada de Laplace, obtener v_o(t), del Sistema Eléctrico mostrado en la Figura 78.

2. En el circuito de la Figura 82 el interruptor se encuentra cerrado el tiempo suficiente para garantizar el régimen permanente. Si en el instante t=0 el interruptor se abre, se pide:

• Calcular para t=>0 las expresiones de la intensidad en la bobina, i_(t) , y de la tensión que hay entre los contactos del interruptor, U_(t).
• Graficar ambas variables.

3. Determinar V_o(s) en el dominio transformado, y luego mediante anti transformada de Laplace, obtener v_o(t) para t >0, del Sistema Eléctrico mostrado en la Figura 79. Es necesario calcular las condiciones iniciales no nulas de los componentes reactivos.

4. Calcule el equivalente Thevenin del sub circuito a la izquierda de los nudos A y B del circuito de la Figura 81, suponiendo condiciones iniciales nulas en los elementos reactivos. Determinar tipo de amortiguamiento.

5. En el circuito de la Figura 83 el interruptor se encuentra abierto el tiempo suficiente para garantizar el régimen permanente. Si en el instante t=0 el interruptor se cierra, se pide:

• Calcular para t=>0 las expresiones de la intensidad que circula por el interruptor, i_(t), y de la tensión, u_c(t).
• Graficar ambas variables.

6. Calcular para el circuito activo de la Figura 80, determinar la región de amortiguamiento de la función de transferencia V_o(s)/V_i(s). Determinar la respuesta en tiempo v_o(t) para una entrada v_i(t) escalón unitario.

7. Calcular para el circuito activo de la Figura 84, la función de transferencia V_2(s)/V_1(s). 

8. Para el circuito RCL paralelo de la Figura 85, deducir cuál es la correspondiente región de amortiguamiento y calcular una expresión para v_(t) (t>0) suponiendo que las condiciones iniciales v_c(t=0)=10 V; i_L(t=0)=1 A.

9. En el circuito de la Figura 86 el interruptor se encuentra en la posición A el tiempo suficiente para garantizar el régimen permanente. Si en el instante t=0 el interruptor pasa a la posición B, se pide:

• Que tipo de respuesta transitoria presenta el circuito.
• Calcular para t=>0 la expresión de la tensión, u_(t) en el condensador.
• Graficar la variable u_(t).

10. En el circuito de la Figura 87 el interruptor se encuentra abierto el tiempo suficiente para garantizar el régimen permanente. Si en el instante t=0 el interruptor se cierra, se pide:

• Que tipo de respuesta transitoria presenta el circuito.
• Calcular para t=>0 la expresión de la tensión, u_(t) en el condensador, y de la intensidad que suministra la fuente de tensión, i_(t).

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Puedes consultar también:

• Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores
• Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico
• La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico.
• Ejercicio de cálculo de corriente y voltaje mediante fasores.
• Análisis fasorial de circuitos eléctricos de corriente alterna (CA) – Nodos y Mallas
• Circuitos de primer orden – Circuitos RC y RL
• La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL
• Función de transferencia de un circuito LC
• Modelo matemático y función de transferencia de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab
• El capacitor – Un circuito abierto para CD
• El Capacitor
• Función de transferencia de un circuito RL – Carga de inductor
• El potenciómetro – Medición de potencia consumida por una carga
• Método de Mallas – Análisis de circuitos
• Método de Mallas Vs Nodo – Análisis de circuitos
• El teorema de Thevenin – Análisis de circuitos
• Teorema de Thevenin con fuentes dependientes
• El teorema de Norton – Análisis de circuitos
• Principio de superposición – Análisis de circuitos
• Comparación entre Thevenin, Norton y Superposición – Análisis de circuitos
• Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1.
• Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 2.
• Sistema masa-resorte-amortiguador. Sistema rotacional. Problemas resueltos. Catálogo 3.
• Sistema masa-resorte-amortiguador con engranajes. Problemas resueltos. Catálogo 4.
• Motor DC – Problemas resueltos de sistema electromecánico – Función de Transferencia – Catálogo 6

Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos

En este libro encontrará ejercicios de sistemas MRA, eléctricos, electrónicos, nivel de líquido, electromecánicos, etc. Su compra incluye una hora de clase online para asesorar sobre el tema o sobre el método utilizado para hallar la función de transferencia de cada sistema. Una vez realizado el pago, por favor enviar copia de recibo de pago al whatsapp +34633129287 para recibir el producto por esa vía. (o por email dademuch@gmail.com en su defecto).

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In this PDF file, the Block Diagram and the Transfer Function are determined by applying block algebra, from the exercises that are part of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks, etc. Each problem has a cost of 12.5 euros. The complete workshop costs 27.5 euros. Payment through Paypal is facilitated.

1. Obtain the transfer function G_(s)=Y_(s)/R_(s) of Figure 1, by two methods: using block algebra reduction techniques and using Mason’s formula.

2. Obtain the transfer function G_(s)=C_(s)/R_(s) of Figure 2, by two methods: using block algebra reduction techniques and using Mason’s formula.

3. Obtain the transfer function G_(s)=C_(s)/R_(s) of Figure 3, by using block algebra reduction techniques .

4. Obtain the transfer function G_(s)=Y_(s)/R_(s) of the next Figure, by using block algebra reduction techniques . .  

5. Find the equations of the system in Figure 7 and represent it using state variables. From there determine the block diagram of the system. Then, using block diagram algebra, find the transfer function X_(s)/U_(s). Consider x_(t) as the output and u_(t) as the input. Check the result using Laplace transform.

6. Find the equations of the system in Figure 8. Find the matrix representation of the system (state variables). Consider x_1(t) as the output, and u_(t) as the input. Construct the block diagram of the system and use block algebra to determine the transfer function  X_1(s)/U_(s).

7. Find the equations of the system in Figure 22. Determine the transfer function X_1(s)/U_(s). Determine the block diagram of the system from the transfer function obtained.

8. Find the equations of the System in Figure 24. Find the state space representation of the system, considering Θ_1(t) as the output and T_(t) as the input. Find the block diagram of the system and from there, using block algebra, determine the transfer function Θ_1(s)/T_(s).

9. Find the equations of the system in Figure 25. Determine the transfer function X_1(s)/F_(s). Obtain the block diagram of the system from the transfer function obtained (Explain step by step). Graph the response of the system to a step function input using Matlab. Consider k₁= k₂= k₃= 1 N/m, b₁= b₂= b₃=1 N-s/m, m₁= m₂= m₃=1 Kg.

Response graph to the unit step of exercise 9.

10. Determine the differential equations that represent the model of the system in Figure 75. Use the node analysis method. Find the transfer function V_o(s)/V_(s). Make the representation of the system in block diagram from the transfer function V_o(s)/V_(s). Consider R₁=1Ω,  R₂= R₃=1 Ω, L=1 H, C₁=C₂=1 pF.

11. Obtain the transfer function V_o(s)/V_(s) of the electrical system in figure 75, from the block diagram of the system obtained in problem 10, using block algebra. Simulate and analyze in Matlab the response of the system to a unit step input

12. Find the state space representation of the System shown in Figure 39 assuming that Θ_4(t) is the output and T_(t) is the input. Draw the block diagram of the system and find the transfer function Θ_4(t)/T_(t). Consider k=2 N-m/rad, b=16 N-m-s/rad, J=4  Kg-m²

13. Find the transfer function Θ_L(s)/E_i(s) of the system shown in Figure 56. Find the state space representation of the system, assuming that Θ_L(t) is the output and that e_i(t) is the input . Represent the System by means of a block diagram. From the block diagram of the system, determine again and by means of block algebra the transfer function Θ_L(s)/E_i(s).

14. Find the transfer function Θ_L(s)/Θ_r(s) of the system shown in Figure 59. Design the block diagram of the system.

15. Find the transfer function Q_2(s)/Q_1(s) of the Liquid Level System shown in Figure 68. Find the state space representation of the System taking q_2(t) as the output, and q_1(t) as the input. Obtain the block diagram of the system and determine the same transfer function using block algebra.

16. A very simplified model of the dynamics of a rocket is shown in Figure 1. A uniform bar of mass m and length 2L, subjected to the force of gravity G (center of gravity of the bar) and to two external forces applied at its lower end: a vertical V_(t) and a horizontal H_(t). It is requested: i) Draw the input and output variables diagram. Characterize the equilibrium point determined by x₍₀₎=0, y₍₀₎=0. Ii) Obtain the system of equations linearized around the equilibrium point. iii) Draw the block diagram of the system. iV) Obtain the transfer functions from it

17. Determine the expression for the output C_(s) of the system of Figure 90

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To solve this guide the following rules will be used:

Puedes consultar también:

• Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador
• Simulación en Matlab de respuesta en el tiempo de sistema masa-resorte-amortiguador
• Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguado, función de transferencia.
• Ejercicio de dinámica, variable de estado, función de transferencia. 
• Ejercicio de diagrama de bloques a partir de la Transformada de Laplace
• Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de representación en variables de estado 
• Ejercicio de Función de Transferencia a partir de representación en Variables de Estado
• Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador
• Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador
• Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador
• Función de Transferencia de Sistema Mecánico Rotacional – Ejemplo 1
• Respuesta Transitoria de sistema masa-resorte-amortiguador
• Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1. 
• Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 2.
• Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 3.
• Sistema masa-resorte-amortiguador con engranajes. Problemas resueltos. Catálogo 4.
• Función de transferencia de sistema eléctrico – Problemas resueltos – Catálogo 5
• Motor DC – Problemas resueltos de sistema electromecánico – Función de Transferencia – Catálogo 6
• Función de transferencia de sistema electrónico – Problemas resueltos – Catálogo 7
• Análisis de respuesta transitoria – Problemas resueltos – Catálogo 9
• Error en estado estable estable – problemas resueltos – catálogo 10
• Convolución – Problemas resueltos – Catálogo 11

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Si ya se dispone de una gráfica de la señal de salida del sistema ante una entrada escalón, es posible obtener la representación analítica del sistema en forma de función de transferencia G_(s). Veremos a continuación varios métodos según sea el caso.

Sistema de primer orden

Obtención de G_(s) a partir de la curva de la señal de salida en respuesta a un escalón.

Supongamos que la curva de respuesta real de un sistema al escalón unitario es la siguiente:

En este caso, disponemos de dos métodos:

1. Método de la constante de tiempo τ: Debemos aquí considerar que la curva alcanza el 63,212% del valor final cuando ha transcurrido un tiempo t=τ. En la gráfica observamos que el valor final de la curva y es 1. En otras palabras, y_(∞)=1. Por lo tanto, debemos identificar sobre la gráfica el momento en que la curva alcanza el valor 0.63212. Es decir, el tiempo t para que y_(t)=0.63212. En ese instante se cumple que t=τ. Se procede entonces a trazar una recta paralela al eje de las abscisas (eje t en este caso) que corresponda al 63,212% del valor final de y_(t). En ese punto se traza ahora una recta paralela al eje de las ordenadas (eje y en este caso) hasta cortar el eje t. Este último punto de corte es el valor de τ.

• Método de la pendiente máxima: Se traza una recta con pendiente máxima desde el origen sobre la curva de respuesta, hasta que intercepta la recta de prolongación que coincide con el valor final (y_(∞)=1 en este caso). En este punto se traza ahora una recta paralela al eje de las ordenadas (eje y en este caso) hasta cortar el eje t. Este último punto de corte es el valor de τ. Es de utilidad Notar que la recta paralela al eje de las ordenadas corta la curva cuando su valor es del 63,212% del valor final.

De acuerdo con la gráfica, el valor de τ=2s  y la ganancia estática k=1(y_(∞)=1), sustituimos ambos valores en la ecuación prototipo para un sistema de primer orden y obtenemos la función de transferencia G_(s) del sistema (de la planta):

Comprobamos este resultado con el simulador de Matlab y vemos que el resultado se corresponde con el enunciado:

G=tf([0.5],[1 0.5]);
step(G)

Sistema de grado superior

Una forma de determinar la función de transferencia de un sistema de grado mayor o igual a 2, a partir de la gráfica de la curva real de su respuesta al escalón, es considerar que el sistema de grado n está formado por n subsistemas de primer grado interconectados en serie. Es decir, la función de transferencia de un sistema de grado mayor o igual a 2, se puede aproximar mediante la ecuación:

En la gráfica siguiente podemos observar respuesta críticamente amortiguadas de sistemas de grado 2 hasta grado 7:

En la gráfica anterior se observa la semejanza entre la respuesta del sistema de segundo grado con respecto a la respuesta de sistemas de grados superiores, salvo que conforme se incrementa el grado del sistema, la respuesta tiende a retrasarse cada vez más (tiempo de atraso) en su despegue para empezar a alcanzar su valor final (tiempo de crecimiento exponencial).

Definimos los parámetros:

En la gráfica anterior, una vez medidos los valores de Ta y Tce, nos interesa saber el valor del cociente Tce/Ta. Gracias a la siguiente tabla podemos relacionar el valor del cociente Tce/Ta con el orden del sistema y además hallar el valor de la constante de tiempo:

Al aplicar el método, lo conveniente es simular el resultado, para luego ajustar los valores obtenidos para la ganancia y la constante de tiempo (en el caso de un sistema de primer grado) hasta alcanzar un resultado óptimo.

Fuente:

1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
2. Control Systems Engineering, Nise

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En primer lugar utilizamos como referencia el esquema básico de un sistema de control con un Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID):

Para asignar valores a los parámetros del controlador PID sin conocer la función de transferencia de la planta que se desea controlar, se han propuesto una serie de tablas que utilizan varios parámetros que se obtienen de forma experimental. El método más utilizado es el que propusieron John Ziegler y Nataniel Nichols para el control de servomecanismos hidráulicos en baterías antiaéreas empleadas en la segunda guerra mundial.

El ajuste de Ziegler-Nichols propone unos parámetros para el PID de forma que el sistema controlado posea un buen rechazo a las perturbaciones que se puedan introducir en el sistema. En muchos procesos industriales un buen rechazo a las perturbaciones es mucho más interesante que un buen seguimiento a la referencia.

Existen dos formas de ajuste. Una emplea los parámetros a y L de la respuesta de la planta ante una entrada escalón (Basado en la respuesta transitoria experimental en lazo abierto de la planta a una entrada escalón). Otra forma emplea los parámetros de ganancia crítica KCR y período de oscilación crítico TCR (Basado en la respuesta oscilatoria experimental en lazo cerrado de la planta). Los valores de los parámetros del PID se obtienen con la siguiente tabla:

Método basado en los parámetros a y L:  

En la figura siguiente se muestra como obtener los parámetros a y L de la respuesta de la planta ante una entrada escalón unidad:

Este método se puede utilizar Si la planta:

• No posee integradores;
• Polos dominantes complejos conjugados;
• La respuesta no tiene oscilaciones;
• Posee un retardo de tal forma que se forma una “s”.

Se obtiene de forma experimental la respuesta de la planta a una entrada escalón, y si cumple las condiciones anteriores, pueden obtenerse los parámetros del controlador PID mediante el método mencionado.

Existe variedad de notación. Alternativamente, para aplicar el criterio Ziegler-Nichols a la curva de reacción de la planta ante el escalón unitario, podemos considerar la Tabla 2, que utiliza los parámetros T_a (tiempo de atraso) y m (pendiente máxima) para la modulación de los controladores P, PI y PID:

Método basado en ganancia crítica KCR y período de oscilación crítico TCR     

En primer lugar se debe utilizar un controlador únicamente proporcional, incrementando K_p hasta un valor crítico K_cr, para el que la planta presenta oscilaciones sostenidas de amplitud constante (sistema de segundo orden no amortiguado – si la planta no presenta respuesta oscilatoria para ningún valor de K_p, este método no se puede utilizar). De dicha respuesta experimental en lazo cerrado se extrae el período de la oscilación, T_cr.

Este criterio de ajuste se denomina método de sintonización en lazo cerrado, ya que el controlador permanece en la trayectoria directa como elemento activo, según la configuración de la Figura 3:

En el siguiente ejemplo, lograremos los siguientes objetivos:

Ejercicio 1.

1. De acuerdo con la siguiente gráfica:

• Obtener la Función de Transferencia G_(s) de la planta a partir de la curva real de respuesta al escalón por método de aproximación analítica.
• Sintonizar los controladores P, PI, PID, mediante los dos métodos de Ziegler-Nichols:
  • Curva de reacción (respuesta de planta ante una entrada escalón);
  • Utilizando la función de transferencia de la planta;
  • Ganancia crítica (o ganancia máxima).
• Simulación en Matlab de cada métodos. Análisis de la respuesta del sistema al aplicar los controladores diseñados.

Fuente:

1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
2. Control Systems Engineering, Nise

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Sea x_[n] una señal analógica y sea X_(z)  su transformada z.

Un cero de X_(z) es todo valor de z para el que la expresión de X_(z) es igual a 0.

Un polo de X_(z) es todo valor de z para el que la expresión de X_(z) es igual a infinito.

El diagrama de polos y ceros de X_(z) es una representación gráfica sobre el plano z de los polos y ceros de X_(z), en la cual:

• La ubicación de un cero en plano z se simboliza mediante un círculo (O).
• La coincidencia de dos o más ceros en la misma ubicación (c_i= c_j,con i≠j) se simboliza mediante un superíndice añadido al círculo (O², O³,…, O^N).
• La ubicación de un polo en el plano z se simboliza mediante una cruz (×).
• La coincidencia de dos o más polos en la misma ubicación (p_i= p_j,con i≠j) se simboliza mediante un superíndice añadido a la cruz (ײ, ׳,…, ×^N).

Ejemplo:

1. Calcular ceros y polos y representar gráficamente su diagrama de polos y ceros. Considere la señal x_[n]:

A partir de la ecuación:

Podemos señalar que la transformada Z de x_[n] es:

Para la convergencia de X_(Z) se requiere que:

En consecuencia, la región de convergencia es el rango de valores de z ara el cual:

Entonces, añadiendo la información relativa a la ROC, la transformada Z de x_[n] es:

Entonces hablamos del siguiente par transformado:

Al tratarse de una señal racional, el cálculo de los polo y ceros de X_(Z) pasa por evaluar los valores de z que o bien anulan o bien hacen tender a infinito al numerador, por un lado, y al denominador, por otro. Así pues:

• Un cero de un X_(Z) racional se corresponde o bien con un cero del numerador o bien con un valor de z para el que el denominador tienda a infinito.
• Un polo de un X_(Z) racional se corresponde o bien con un cero del denominador o bien con un valor de z para el que el numerador tienda a infinito.

En el caso de la X_(Z) del ejemplo, la función presenta un cero en el origen (z=0), mientras presenta un polo en z=a. Para la representación gráfica se asume arbitrariamente que a es una constante real positiva, de modo tal que:

Entonces el diagrama de X_(Z) es:

Es importante tener presente que la ROC de una transformada z y los ceros y los polos de la misma están íntimamente relacionadas entre sí. Por ello, es de gran utilidad la representación conjunta del diagrama de polos y ceros y la ROC de X_(Z):

Este ejemplo ilustra bien algunos conceptos a tomar en cuenta siempre que se calcula una Transformada z:

• Que un cero sea un punto en que la transformada sea igual a cero no quiere decir que los ceros de una transformada pertenezcan a su ROC
• Posiblemente habrá uno o más polos situados en las circunferencias fronteras que delimitan la ROC. En todo caso, es seguro que nunca habrá  polos en el interior de la ROC.
• Una vez calculada la transformada, conviene siempre comprobar si los valores particulares z=0 y z→∞, pertenecen o no a la ROC.

Teoría completa:

• La Transformada Z

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Un pulso rectangular aislado de amplitud A y duración T se representa matemáticamente como:

Dónde:

El siguiente código simula un pulso rectangular con un ancho de pulso deseado y el gráfico resultante:

fs=500; %sampling frequency
T=0.2; %width of the rectangular pulse in seconds
t=0.5:1/fs:0.5; %time base
g=(t>-T/2).(t(t==T/2)+0.5(t==-T/2); g=(t>-T/2).(t<T/2)+0.5(t==T/2)+0.5(t==-T/2); %rectpuls(t,T); %using inbuilt function (signal proc toolbox)
plot(t,g); title([‘Pulso Rectangular de ancho=’,num2str(T),’s’])

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El circuito de la Figura siguiente está alimentado por un generador de c.a. v_(t)

Los aparatos de medida dan los siguientes resultados:

Además, se sabe que Z₁ es completamente inductiva, Z_aes una impedancia capacitiva con fase -70°, Z₂ es una impedancia completamente resistiva y Z_b es una impedancia con componente inductivo y resistivo.

Se pide:

1. La lectura del amperímetro I_T.
2. La lectura del voltímetro V₂.
3. La lectura del vatímetro P₁.

Solución:

1. Lectura del amperímetro I_T. Para hallar I_T utilizamos la ley de corrientes de Kirchhoff y la siguiente relación:

Vamos a determinar I_a en primer lugar. Sabemos que la impedancia Z_a es capacitiva, con fase -70°. Conviene definir V_a como el voltaje de referencia. Además, en el diagrama del circuito vemos claramente que I_a=V_a/Z_a  y además V_a = V_b. Entonces:

En consecuencia:

Además es importante saber que:

Para determinar I_b, determinaremos el valor de la fase de la impedancia Z_b para luego aplicar:

Calcularemos la fase de la impedancia Z_b mediante las siguientes fórmulas:

La potencia aparente S_b relativa a la impedancia Z_b es la siguiente:

Luego:

Para calcular P_b, utilizamos la potencia medida por P₂, que es la potencia activa consumida por los componentes  resistivos de las impedancias Z_a y Z_b:

Este resultado nos permite determinar Q_b:

Con estos datos, la impedancia Z_b queda definida como:

En consecuencia:

Recordamos que:

Por lo tanto:

De donde:

En conclusión, la lectura del amperímetro es I_T =28.09 A.

2. Lectura del voltímetro V₂. Podemos determinar V₂ mediante la siguiente fórmula:

Como ya conocemos V_b vamos a calcular primero a V₁, del cual gracias a los datos del problema ya conocemos su módulo:

Por la impedancia Z₁ circula I_T. Podemos utilizar este hecho para determinar la fase de V₁, ya que en una impedancia puramente inductiva, la corriente se retrasa con respecto al voltaje en 90°. Por lo tanto:

Para determinar el módulo de V₂, aprovechamos el hecho de que la impedancia Z₂ es puramente resistiva. Esto significa que V₂ está en fase con la corriente I_T la cual atraviesa Z₂. Es decir:

De los datos del problema sabemos que:

De esta manera:

Considerando el módulo de la expresión anterior, obtenemos que:

Simplificando:

De donde:

En conclusión, la lectura del voltímetro es V₂  = 338.12 V

3. Lectura del potenciómetro P₁: El amperímetro mide el consumo de potencia activa en la red. A parte de la potencia medida por P₂, R₂ es la única resistencia que consume potencia. Por tanto:

En conclusión, la lectura del potenciómetro es P₁  = 16698 W.

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Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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The z-transform is an extension of the DTFT (The Discrete-Time Fourier Transform) to overcome two shortcomings of the DTFT approach: First, there are many important signals for which the DTFT does not exist. Take the case of the step u_[n]. Second, the transient response of a system due to initial conditions or due to changing inputs cannot be computed using the DTFT approach.

In consequence, the bilateral version of the z-transform provides another domain in which a larger class of sequences and systems can be analyzed. Meanwhile, the unilateral version of the z-transform can be used to obtain the response of systems with initial conditions or changing inputs.  

THE BILATERAL Z-TRANSFORM

The z-transform of an arbitrary sequence x_[n] is given by:

where z is a complex variable called the complex frequency:

The set  of values for which X[z] exists is called the region of convergence (ROC) and is given by:

For some non-negative numbers R_x- and R_x+. Since the ROC defined in terms of the module of z, the shape of the ROC is an open ring, as show in Figure 1:

Another way of defining the ROC is:

When:

Hence, the DTFT X[e^jω] may be viewed as a special case of the z-transform X[z].

The inverse z-transform of a complex function X_[z] is given by:

where C is a counterclockwise contour encircling the origin and lying in the ROC.  

Example 1. 

Let x_1[n] a positive-time sequence:

Then:

Note: in example 1:

That is, has a zero at the origin (z=0) and a pole in z=a.

Summarizing:

Example 1 is s special case of a right-side sequences, defined as a sequence x_[n]  that is zero for some n<n₀. The ROC of a right-side sequence is always outside of a circle of radius R_x-. In the case of example 1, R_x-=a. If n₀ ≥ 0, then the right-side sequence is also called a casual sequence. Note that if a=1, example 1 is the z-transform of the unit step. That is to say:

Example 2

Let x_2[n] a negative-time sequence:

Then:

Example 2 is s special case of a left-side sequences, defined as a sequence x_[n]  that is zero for some n>n₀. The ROC of a left-side sequence is always inside of a circle of radius R_x+. In the case of example 2, R_x+=b. If n₀<=0, then the right-side sequence is also called an anticasual sequence.

Example 3

Let x_3[n] a two-side sequence:

Then:

Example 3 is s special case of a two-side sequences. The ROC of a two-side sequence is always an open ring R_x+ <IzI<R_x+ if it exist.

Another considerations about ROC are as follows:

• The sequences that are zero for n<n₁ and n>n₂ are called finite-duration sequences. The ROC of such sequences is the entire z-plane. If n₁<0, then z=+∞ is not in the ROC. If n₂>0, then z=0 is not in the ROC.
• The ROC cannot include a pole since X(z) converges uniformly in there.
• There is at least one pole on the boundary of a ROC of a rational X(z).
• The ROC is one contiguous region; that is, the ROC does not come in pieces.

In digital signal processing, signals are assumed to be casual since almost every digital data is acquired in real time. Therefore, the only ROC of interest is those of the same type of example 1.

Previous: The Discrete-Time Fourier Transform – The Frequency Response of an LTI system

Source:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

You can also be interested in:

• What is DSP ?- Digital Signal Processing
• Matlab code for DSP – Introduction
• Elementary sequences in Digital Signal Processing (Versión en Español)
• The Geometric Series in DSP (Versión en Español)
• The sinusoidal function in discrete-time (Versión en Español)
• Convolution in Discrete-Time in Matlab (Versión en Español)
• Solving discrete-time differential equations with Matlab (Versión en Español)
• Digital Filters – Moving Average Filters (Versión en Español)
• The Discrete-Time Fourier Transform (Versión en Español)

Literature review by:

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La Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT – Discrete-Time Fourier Transform) de la respuesta al impulso de un sistema (respuesta impulsiva) se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de Transferencia) de un sistema LTI.

Anterioirmente habíamos manifestado queLa Transformada de Fourier es la representación más útil para un sistema LTI (La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto – DTFT). Esto es debido a la siguiente razón:

RESPUESTA A LA EXPONENCIAL COMPLEJA ejωon

Sea e^jωon  la entrada a un sistema LTI con respuesta impulsiva h_[n]:

Entonces:

Definición:

RESPUESTA EN FRECUENCIA: La Transformada de Fourier de tiempo discreto de La Respuesta al Impulso se denomina Respuesta en Frecuencia (o Función de transferencia) de un sistema LTI y se denota por:

En consecuencia, si x_[n] es la entrada a un sistema LTI:

El sistema puede ser representado por:

Lo que es equivalente a escribir:

y la salida y_[n] del sistema es:

Por tanto, la secuencia de salida es la secuencia de entrada modificada por la respuesta del sistema a la frecuencia ω₀. Esto justifica la definición de H_[e^jω] como la respuesta en frecuencia porque es lo que se multiplica el exponencial complejo e^jωon para obtener la salida y_[n]. Este es un resultado poderoso que puede extenderse a una combinación lineal de exponenciales complejas utilizando la propiedad de linealidad de los sistemas LTI:

Respuesta a secuencias sinusoidales

Equation (2) is also a powerful result because of the way it facilitates a faster determination of output to any very-used signal capable of being represented by a combination of complex exponentials, such as sinusoidal sequences. Take the case of the following x_[n] being an input to an LTI system h_[n]:

La ecuación (2) también es un resultado poderoso debido a la forma en que facilita una determinación más rápida de la salida a cualquier señal de entrada capaz de ser representada por una combinación de exponenciales complejas, como secuencias sinusoidales. Tomemos el caso siguiente en que la entrada x_[n] un sistema LTI con h_[n] es de la forma:

You already know how to use Euler to represent x_[n] in this case as a combination of complex exponentials. So, we can get directly to what we want to point out, the power of equations (2) and (3) to faster knowledge of the output y_[n]:

Ya sabemos como utilizar Euler para representar la x_[n] de este ejercicio, como una combinación de exponenciales complejos. Entonces, directamente podemos utilizar el poder de las ecuaciones (2) y (3) para determinar rápidamente la salida y_[n] del sistema:

En general, la respuesta en frecuencia es una función compleja de ω. Esto significa que tiene una magnitud y una fase. En otras palabras, se puede representar como un fasor:

En consecuencia:

Ejemplo 1

Determine la salida y_[n] de un sistema LTI descrito por su Respuesta al Impulso h_[n], cuando la entrada es x_[n]:

Graficar la amplitud y la fase de la Respuesta en Frecuencia H[e^jω].

Solución:

Utilizando la ecuación (1) obtenemos la Respuesta en frecuencia H[e^jω] del sistema:

Utilizando ala ecuación 3.1, podemos obtener la amplitud y la fase de H[e^jω]:

En consecuencia:

Para graficar ampitud y fase de H[e^jω] en Matlab, podemos utilizar el siguiente script:

w=[0:1:500]*pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.9*ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,magH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘|H[e^jω ]|’);
title (‘Magnitude of |H[e^jω ]|’);

w=[0:1:500]pi/500; % [0,pi] axis divided into 501 points H=exp(iw)./(exp(iw)-0.9ones(1,501));
magH=abs(H); angH=angle(H);
plot(w/pi,angH);grid;
xlabel(‘Frequency in pi units’);
ylabel(‘<H[e^jω’);
title (‘Angle of H[e^jω ]’);

Respuesta a entradas arbitrarias

Finally, Equation (2) can be applied to any arbitrary absolutely summable sequence. Suppose an arbitrary sequence x_[n] and its DTFT X[e^jω]. Take any system described by its Transfer Function H[e^jω], then the response y_[n]  of this system to the input x_[n]  can be obtain by applying the IDTFT (inverse discrete-time Fourier transform) to Y[e^jω], where Y[e^jω]  is:

Finalmente, la Ecuación (2) se puede aplicar a cualquier secuencia arbitraria absolutamente sumable que se presente en la entrada del sistema. Suponga una secuencia arbitraria x_[n] y su DTFT X[e^jω]. Tome cualquier sistema, descrito por su Respuesta en Frecuencia H[e^jω], entonces la salida y_[n] de este sistema a la entrada x_[n] se puede obtener aplicando la IDTFT (transformada inversa de Fourier en tiempo discreto) a Y[e^jω], donde Y[e^jω] es:

Por lo tanto, cualquier sistema LTI puede ser representado en el dominio de la frecuencia, por el siguiente diagrama:

Las consecuencias de la ecuación (5) son monumentales en Ingeniería !!! A partir de allí, podemos construir la Transformada de Laplace (Laplace Transform) en el tiempo continuo, así como la Transformada Z (Z-Transform) en el tiempo discreto, lo cual es nuestro siguiente tema.

La Transformada Z es una poderosa herramienta que nos permite evitar el uso de integrales, operación obligada para determinar la IDTFT de Y[e^jω]. Es decir, podremos obtener y_[n] de manera algebraica más sencilla.

Anterior: La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto

Fuentes:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

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• Convolution in Discrete-Time in Matlab (Versión en Español)
• Solving discrete-time differential equations with Matlab (Versión en Español)
• Digital Filters – Moving Average Filters (Versión en Español)
• The Discrete-Time Fourier Transform (Versión en Español)

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Cuando un sistema en tiempo discreto es lineal y invariante en el tiempo (sistema LIT), solo una representación se destaca como la más útil. Se llama Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) y se basa en el conjunto de señales exponenciales complejas {e^jωn}.

THE  DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM (DTFT)

Si x_[n] es absolutamente sumable, esto es:

Entonces, la DTFT de x_[n] está dada por:

Ejemplo 1.

Determine the DTFT of x_[n]:

Solution.

Dado que X(e^jω) es una función de valor complejo, deberá trazar su magnitud y su ángulo (o la parte real y la parte imaginaria) con respecto a ω por separado para poder graficar, es decir, describir visualmente X(e^jω). Ahora ω es una variable real entre –∞ y +∞, lo que significa que solo podemos graficar una parte de la función X(e^jω). Usando dos propiedades importantes de la DTFT, podemos reducir este dominio al intervalo [0, π] para secuencias de valores reales.

Los siguientes scripts de Matlab nos permite graficar cada parte de X(e^jω) del ejemplo 1:

w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501));
magX=abs(X);angX=angle(X);
plot(w/pi,magX); grid
xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Magnitude’);
title(‘Magnitude Part’)

This script yields:

w=[0:1:500]*pi/500; X=exp(i*w)./(exp(i*w)-0.5*ones(1,501));
angX=angle(X);
plot(w/pi,angX); grid
xlabel(‘Frequency in pi units’); ylabel(‘Radians’);
title(‘Angle Part’)

This script yields:

Ejemplo 2.

Determine the DTFT of the following finite-duration sequence:

Solution.

Dos propiedades importamtes

Las siguientes dos propiedades son esenciales para el análisis DTFT:

Algunos pares DTFT de gran importancia

A partir de las propiedades anteriormente mencionadas, la DTFT de las siguientes secuencias, Tabla 1, revelan ser muy útiles:

Propiedades de la DTFT

Ahora presentamos el resto de las propiedades de la DTFT en la Tabla 2:

These properties will be of remarkable value for the next application of the DTFT: The z-Transformation. Estas propiedades serán de notable valor para la próxima aplicación de la DTFT: la transformada z.

Relacionado: Resolver ecuaciones diferenciales en tiempo discreto con Matlab

Evaluación completa de Transformada Discreta de Fourier

Objetivos:

• Calcular la DFT y la DFT inversa
• Analizar las propiedades de la DFT y de la DFT inversa
• Aplicar las ecuaciones de la DFT para resolver cálculos de transformadas
• Resolver la convolución lineal mediante la DFT

Fuentes:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

Puede estar interesado también en:

• What is DSP ?- Digital Signal Processing
• Matlab code for DSP – Introduction
• Elementary sequences in Digital Signal Processing (Versión en Español)
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• The sinusoidal function in discrete-time (Versión en Español)
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